Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Dragonite

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Dériver avec le symbole produit

Bonjour,bonsoir,

J’aimerais de l’aide pour savoir comment dériver deux expressions avec des symboles produit:

Tout d’abord la dérivée n-ème de cette expression par rapport à t, on doit apparemment trouver n!

https://www.casimages.com/i/210327031944332051.jpg.html

Et ensuite la dérivation simple de cette application

https://www.casimages.com/i/210327032128552347.jpg.html

Je sèche totalement sur ces calculs...

Merci d’avance.

Roro

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Re : Dériver avec le symbole produit

Bonjour,

Pour la première, tu peux te passer de comprendre ce qu'est la dérivée d'un produit en remarquant que $f$ est un polynôme de degré $n$.
Quand tu le dérives $n$ fois, il te reste une constante. Je te laisse conclure sans calculs.

Pour la seconde, je dirais que de manière générale, pour dériver
$$F(x) = \prod_{i=1}^n F_i(x)$$
on peut écrire
$$F'(x) = \sum_{i=1}^n \Bigg( F'_i(x) \prod_{j=1, j\neq i }^n F_j(x) \Bigg).$$

Roro.

Dernière modification par Roro (27-03-2021 08:29:23)

Dragonite

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Re : Dériver avec le symbole produit

Merci j’ai compris pour la première dérivée.

Par curiosité, comment on arrive à établir la formule pour la seconde?

Chlore au quinoa

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Re : Dériver avec le symbole produit

Hey je m'incruste !

(Salut Roro !)
Par récurrence sur le nombre de $F_i$ ça se goupille pas trop mal !

Adam