Equation du second ordre

Zebulor · 12-03-2021 15:12:11

Bonjour,
Dans un quizz Voici l'équation : $\Large z^2-\frac {1+e^2+i(1-e^2)}{e{\sqrt{2}}}z+1=0$

je trouve un discriminant $\Large \frac {-2e^2+i(1-e^4)}{e^2}$

on propose ensuite 4 racines possibles. J'ai trouvé $\Large z_1=\frac {e^{-1}(1+i)}{\sqrt{2}}$ et $z_2=\Large \frac {e(1-i)}{\sqrt{2}}$ mais en utilisant les propriétés des racines de cette équation

Or l'énoncé demande de déduire les solutions à partir du discriminant.. et les calculs semblent pour le moins compliqués..alors si quelqu'un a une idée..

Dernière modification par Zebulor (13-03-2021 06:18:14)

Chlore au quinoa · 12-03-2021 16:21:15

Salut Zebulor !

Ton discriminant (que j'avoue ne pas avoir eu le courage de calculer) peut être réécrit $-2-e^2+\dfrac{1-e^4}{e^2}i$

Ensuite pour trouver une racine carrée (j'aime pas ce terme dans $\mathbb{C}$ mais bon...) de ce complexe, je ne vois aucune autre solution que la méthode bourrine...

Soit $z$ une racine de ton polynôme de départ. On écrit $z=x+iy$ avec $(x,y)\in\mathbb{R}^2$

$x$ et $y$ vérifient $\begin{cases} x^2 +y^2 &=\sqrt{(-2-e^2)^2+\left(\dfrac{1-e^4}{e^2}\right)^2}\\ x^2-y^2 &=-2-e^2\\2xy &= \dfrac{1-e^4}{e^2}\end{cases}$

Et après ben on s'amuse...

Je le fais ce soir si j'ai la foi haha !

Adam

Zebulor · 12-03-2021 16:32:57

re,
.. j'étais aussi parti sur cette méthode là. A voir

merci Chlore au Quinoa

Chlore au quinoa · 12-03-2021 18:33:03

URGENT URGENT URGENT. Annulez la mission. Je répète : Annulez la mission. C'est un véritable supplice de calculer ce truc, je tombe pas sur tes racines et je trouve pas ma faute *je pleure* .....

Zebulor · 12-03-2021 18:46:23

pourtant les racines sont plutôt sympatiques..

Zebulor · 12-03-2021 21:30:46

re,
En creusant un peu :
$ \Delta = \large \frac {-2e^2+i(1-e^4)}{e^2} = \frac {1}{2e^2} (-2ie^4-2*2e^2+2i)= \frac {1}{2e^2} [((1-i)e^2)^2-2(1+i)(1-i)e^2+(1+i)^2]$
Et une identité remarquable apparaît .. si bien que :
$ \sqrt{\Delta} = \large \frac {1}{e\sqrt{2}} [(1-i)e^2-(1+i)]$
d'où : sauf erreur :
$\large z_1=\frac {1+e^2+i(1-e^2)-(1-i)e^2+(1+i)}{2e{\sqrt{2}}}$
et $\large z_2=\frac {1+e^2+i(1-e^2)+(1-i)e^2-(1+i)}{2e{\sqrt{2}}}$

Dernière modification par Zebulor (13-03-2021 06:19:01)

Chlore au quinoa · 13-03-2021 11:09:53

Zebulor comment tu peux écrire $\sqrt{\Delta}$ si $\Delta \in\mathbb{C}\backslash\mathbb{R}$ ?

Dernière modification par Chlore au quinoa (13-03-2021 11:10:08)

Bernard-maths · 13-03-2021 11:54:37

Bonjour !

Désolé de vous déranger ... personnellement, pour Delta, je trouve un coefficient 2 au dénominateur, donc mon Delta vaut la moitié du votre !? J'ai pas poussé plus loin les calculs.

J'ai refait les calculs 3 fois ... mais je sais aussi qu'une "bonne erreur de calcul" a tendance à se perpétuer ...

Donc si j'ai "érreuré", pardon ...

Cordialement, Bernard-maths

Zebulor · 13-03-2021 12:05:26

Bonjour à tous,
@Chlore au Quinoa: tu as raison pour delta.
Dans ce cas je pose $\large \delta= \frac {1}{e\sqrt{2}} [(1-i)e^2-(1+i)]$ et on a bien $\large \delta^2=\Delta$

@Bernard maths : alors il se peut que je me sois trompé quelque part. Merci pour la remarque.

Re : après vérification je pense que mon delta est bon...

Dernière modification par Zebulor (13-03-2021 12:28:56)

Bernard-maths · 13-03-2021 13:41:30

Bonjour Zebulor !

Je suis ... très sceptique. Je ne trouve pas mon erreur ?

Je te joins mes calculs, et dis moi, s'il te plaît, où je me plante ... ?

https://cjoint.com/c/KCnmKZH7hXG

"Ces calculs sont de plus en plus difficiles ! Il faut que ça cesse ?"

Cordialement, B-m

POURTANT, avec tes 2 racines z1 et z2, je trouve bien que z1+z2 = -b/a, et que z1*z2 = c/a !!!
ALORS où est le problème ?

Dernière modification par Bernard-maths (13-03-2021 14:03:04)

Zebulor · 13-03-2021 14:01:19

rebonjour Bernard Maths,
en tout cas je devrais éviter de faire des maths à 5h du mat ... pour éviter d'écrire des racines de delta sachant de delta est irrationnel..

je regarde ce que tu m'as joins..

Cordialement

Zebulor · 13-03-2021 14:08:02

re,
je ne vois pas d'erreur dans ce que tu as fait et ne te joins pas mes calculs parce que j'ai fait la même chose que toi en ayant oublié de diviser par 2.. tout simplement. une bonne erreur de calcul se pertétue en effet..
Je ne sais pas dans quelle mesure ça impacte la suite pour la recherche des solutions.

Zebulor · 13-03-2021 14:10:29

Bernard-maths a écrit :

POURTANT, avec tes 2 racines z1 et z2, je trouve bien que z1+z2 = -b/a, et que z1*z2 = c/a !!!
ALORS où est le problème ?

En effet..

Bernard-maths · 13-03-2021 14:11:18

Re,

il y a eu "sans doute" une erreur d'écriture quelque part", qui a été "rectifiée autre part" ...

Recherche dans tes calculs (non joints) !

Lis ce que j'avais rajouté, tes 2 racines sont bonnes ...

A plus donc, B-m

Dernière modification par Bernard-maths (13-03-2021 14:12:42)

Zebulor · 13-03-2021 14:34:04

oui, j'ai du faire une deuxième erreur qui a compensé la première..c 'est le coup de bol.

Les 2 racines sont bonnes çà c est sur..

Merci et a plus

Zebulor · 13-03-2021 14:56:00

re,
@Bernard maths : bon... le sommeil m'a manqué...
Voilà ton erreur : tu as écrit $\Delta= \frac {b^2-4ac}{2a}$ au lieu de $\Delta=b^2-4ac$ tout simplement..

$\large z_1=\frac {1+e^2+i(1-e^2)}{2e{\sqrt{2}}}-\frac {\delta}{2}$
et $\large z_2=\frac {1+e^2+i(1-e^2)}{2e{\sqrt{2}}}+\frac {\delta}{2}$

où $\delta= \large \frac {1}{e\sqrt{2}} [(1-i)e^2-(1+i)]$

Ouf.

Dernière modification par Zebulor (13-03-2021 15:08:20)

Bernard-maths · 13-03-2021 15:31:05

OUF !

Eh ben, voilà une preuve que je traverse une période de "fatigue intellectuelle", comme cela m'arrive parfois ! Et là je suis déconnecté !!!

Désolé de t'avoir chahuté Zebulor ...

A la prochaine incartade ... hum ?

Je retourne au cube de Paul Schatz, je vous enverrai un patron pour le faire.

B-m

Zebulor · 13-03-2021 21:40:59

Bernard-maths a écrit :

A la prochaine incartade ... hum ?

Ce forum est fait pour ça à mon sens !

A la prochaine Bernard Maths.

Bernard-maths · 13-03-2021 22:23:24

Bonsoir !

Oui ! C'est une bonne expression ...

Merci, bonne nuit.

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

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Equation du second ordre

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