Forum de mathématiques - Bibm@th.net

bridgslam

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normes, inégalités à manipuler

Bonjour,

Voici un bon exo ( tiré de l'un des tomes d'Alfred Doneddu, assez anciens ).
Il est bien à mon sens pour s'entraîner sur les inégalités, sup, normes...
Il n'y a pas de théorème particulier à connaître, que des majorations ( souvent grossières en plus) ..
Vos idées m'intéressent, afin de déceler une preuve plus élégante éventuellement que la mienne.
Bonne manip en plus pour écrire du latex, vu la bonne quantité de sommations et d'indices divers et variés.

▼ l'exo

Bonne chance

Cordialement,
Alain

bridgslam

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Re : normes, inégalités à manipuler

Bonjour,

Voici ce que j'avais fait, à grand renfort de Latex, cela peut intéresser ceux qui avait regardé...

Toute solution moins lourde sera bienvenue...

Cordialement
Alain

Chlore au quinoa

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Re : normes, inégalités à manipuler

Re Alain,

J'avais eu l'idée de séparer partie négative et positive pour la question 1 après avoir revu par hasard la démonstration "convergence absolue implique convergence simple" je ne sais pas si tu vois de laquelle je parle. Par contre sans ça je ne pense pas que j'aurais eu l'idée.

Pour la 2 j'avais essayé une récurrence sur la dimension de l'espace mais je ne voyais pas trop comment utiliser le cas $n-1$ donc échec. Ta solution est bien bourrine comme on les aime ♥ je n'ai pas mieux à proposer sorry :/

Adam

bridgslam

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Re : normes, inégalités à manipuler

Bonjour,

C'est déjà super de ta part d'avoir cherché, en tous cas la récurrence n'a pas été une piste à laquelle j'ai pensé, elle est peut-être à explorer tout de même ( mais j'ai vraiment peu de temps en ce moment, je suis en télétravail avec des soucis de retours graphiques sous linux d'une machine distante située à Toulouse...) .
A vrai dire la première question ne m'a pas rattaché du tout aux questions de convergences simples/absolues.
Je pense que tu fais allusion à ce sujet à l'utilisation de l'inégalité triangulaire quand l'espace est complet, en utilisant Cauchy:
En appelant [tex] S_n [/tex] les sommes partielles d'une série, et [tex] T_n [/tex] les sommes partielles des normes, on a
[tex]|| S_n  - S_m ||  \le  || T_n - T_m|| [/tex] ( qui revient à utiliser l'inégalité triangulaire ), on a le résultat classique immédiatement.
A noter que la question 1/ me sert de jalon à moment donné pour la 2/.

J'avais parlé de ce résultat à un prof de La Rochelle, i l a essayé en transitant par une autre norme ( intermédiaire ) issue d'un produit scalaire en exploitant Cauchy-Schwartz, sans succès.

A+
Alain

Chlore au quinoa

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Re : normes, inégalités à manipuler

Re,

Non je faisais plutôt référence à ceci : si $\sum |u_n|$ converge, on note pour chaque terme $u_n^+$ et $u_n^-$ la partie positive et négative, on remarque que $|u_n|=u_n^++u_n^-$ et $u_n=u_n^+-u_n^-$ et en sommant ça marche tout seul pour voir que $\sum u_n$ converge !

C'est juste l'idée de séparer partie positive et négative, pas vraiment de rapport ^^