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TERAHI

Invité

récurrence

bonjour à tous
d'abord je remercie tous ceux qui m'ont aidé sur mon premier problèmme
voici ma question

soit n droites du plan telles que deux droites quelconques soient concourranteset que trois droites quelconques ne le soient pas.
Calculer le nombre de régions ainsi délimitées.
Même question avec n cercles deux à deux sécants. tels que trois cercles n'aient  jamais de point commun

tibo

Membre expert

Inscription : 23-01-2008

Messages : 1 097

Re : récurrence

bonjour,

Qu'appelles tu "région"? Est-ce un espace fermé par les droites? ou peut-il étre ouvert?
La seule chose que j'ai réussi à faire, c'est conjecturer le nombre de régions Un :
Pour les régions fermé
U(n+1)=Un+n-1
U2=0
Pour les régions ouvertes:
U(n+1)=Un+n+1
U0=0

Mais après, comment le prouver?...

Dernière modification par tibo95640 (15-02-2008 20:59:37)

darw

Invité

Re : récurrence

C'est [tex]U_{n+1}=U_{n}+1[/tex].
Pour le prouver, il suffit de voir que lorsque l'on rajoute une droite, elle contient exactement n points "de coupe", points communs avec les autres droites (un avec chaque droite). Dans ce cas, il est clair que chaque segment (ou demi-droites, aux extrémités) de cette droite (segment crée par deux points "de coupe" consécutifs) coupe une région en deux, ajoutant donc une région de plus. Comme il y a n-1 segments, et deux demi-droites, on trouve bien que l'on a rajouté n+1 régions en ajoutant une doite.
Au final, cela nous donne [tex]U_{n}=\frac{1}{2}(n+1)(n+2)[/tex]

darw

Invité

Re : récurrence

Oui, j'oubliais, mais il faut préciser qu'il y a exactement n points "de coupe" car la droite rajoutée coupe chacune des autres droites, et que deux points de coupe ne peuvent être égaux (puisque trois droites ne peuvent être concourrantes).

Barbichu

Membre actif

Inscription : 15-12-2007

Messages : 405

Re : récurrence

Bonsoir,
Il est clair, il est clair ... moi je ne suis pas d'accord,
c'est bien parce que les regions sont des convexes et que la droite passe par un point interieur à chaque région, que chaque région est coupée en deux régions exactement (à leur tour convexes, pour passer à la récurrence) ! Cette hypothèse doit venir renforcer la récurrence et ne peut donc pas être implicite.
De plus la convexité des régions sert à montrer qu'on ne passe pas deux fois par la même region en suivant une droite.
Il faut donc montrer le lemme préliminaire suivant : Une droite passant par un point interieur à un convexe sépare celui-ci en exactement 2 parties convexes.
++

Ted

Invité

Re : récurrence

Tout dépend du niveau, mais c'est écidemment connexe par arcs. Le résultat est quasi-immédiat.