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TERAHI

Invité

dénombrement

bonjour à tous
je suis en L2 Maths  et je galère un peut sur cet exo..

on note P(N) l'ensemble  des parties de N et P°(n) l'ensemble des parties finies de N
a) montrer que P°(N) est dénombrable.
b) montrer que IR n'est pas dénombrable

tibo

Membre expert

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Messages : 1 097

Re : dénombrement

Bonsoir,

voilà déja pour la seconde question:
BibM@th - Ensemble dénombrable

Quand à la première question, j'ai juste une petite idée, à améliorer:
Qq soit un élément de P°(n), il est fini donc admet un cardinal A fini appartenant à lN
Il suffit de démontrer que qq soit A, l'ensemble des élément de P°(n) de card=A est dénombrable
autrement dit qu'il existe une injection:lN -> lN^A

Gar

Invité

Re : dénombrement

Ne sachant pas quelles connaissances sont supposées, je propose une méthode directe. De toutes façons, ce n'est pas pour un cours de théorie des ensembles, puisque le résultat est évident si l'on peut utiliser [tex]\aleph_0.\aleph_0=\aleph_0[/tex]

Méthode directe : tu codes les ensembles finis :
A={a1,...,an} -> <A> := 2^a1.3^a2...pn^an
où pn est le n-ième nombre premier.
C'est clairement injectif, et tu as terminé.
Remarque que cela fonctionne aussi pour les suites finies (pour lesquelles ce codage est utilisé à la base).

Gar

Invité

Re : dénombrement

Ah oui, j'oubliais que dans le codage il faut ordonner les éléments de ton ensemble avant pour obtenir une définition correcte, par exemple a1<a2<...<an.