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Red_Y17

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L'ensemble des réels

Est ce que l'ensemble ℝ des réels fermé ?

Chlore au quinoa

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Re : L'ensemble des réels

Salut !

Déjà il faut préciser un espace vectoriel normé de référence pour définir la notion de fermeture.

Ensuite pour répondre à ta question : existe-t-il une suite de réels qui converge vers une valeur hors de $\mathbb{R}$ ?

Adam

Red_Y17

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Re : L'ensemble des réels

Salut.

J'ai pas compris ta réponse, puisque j'ai pas encore vu le cours, mais durant ma recherche j'ai trouvé que l'ensemble des réels est un

ensemble ouvert et fermé en même, mais j'avais un peu de souci. Pour cela j'ai posé cette question.

Concernant la suite des réels qui converge vers l'extérieur de R, je pense pas qu'elle existe, puisque R est dense dans lui même, donc toute 

suite des réels va converger vers un réel, c-à-d l'intérieur de R.

Dernière modification par Red_Y17 (01-02-2021 12:43:10)

Chlore au quinoa

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Re : L'ensemble des réels

Si tu n'as pas vu le cours, comment peux-tu comprendre le concept de fermé ? C'est une notion certes intuitive mais loin d'être évidente. Et en effet $\mathbb{R}$ est un ouvert-fermé (dans le(s) bon(s) espace(s) vectoriel(s) normé(s)), mais si tu ne connais pas les définitions je vois mal comment t'expliquer... quel est ton niveau en topologie générale (ou en analyse ça devrait suffire) histoire que je vois quels termes je peux employer ?

EDIT : attention dire que $\mathbb{R}$ est dense dans lui-même signifie que pour tout $x$ dans $\mathbb{R}$, il existe une suite réelle $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ telle que $\lim\limits_{n\to\infty}u_n=x$ (il suffit de prendre : $\forall \,n\in\mathbb{N},\,u_n=x$). Cela n'implique en rien que les suites réelles convergentes convergent FORCÉMENT dans $\mathbb{R}$.

Dernière modification par Chlore au quinoa (01-02-2021 14:33:44)

Red_Y17

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Re : L'ensemble des réels

Je suis en première année après le bac, on a étudié seulement la topologie réelle sans approfondir dans la topologie générale qui contient

des notions comme les boules ,etc. Concernant ma question, j'ai trouvé dans l'internet que R est un intervalle fermé puisqu'il est le

complémentaire l'ensemble vide qui est ensemble vide.

Dernière modification par Red_Y17 (01-02-2021 21:21:06)

Chlore au quinoa

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Re : L'ensemble des réels

En terminale on ne fait qu'effleurer l'analyse hélas, donc la topo... :'(

Alors je vais tenter d'expliquer ! Dis-toi qu'en topologie (enfin en dimension finie en tout cas...  quand on en sort il se passe des trucs bizarres), les boules ouvertes représentent la même chose qu'un disque ouvert (sans le bord) de $\mathbb{R}^2$. C'est un voisinage d'un point.

On dit qu'un ensemble est ouvert si pour tout point dudit ensemble, on peut trouver une boule centrée en ce point et contenue dans l'ensemble. Par exemple considère un rectangle de $\mathbb{R}^2$ sans le contour, et choisis un point dedans. Tu pourras toujours trouver un disque centré sur ce point et contenu dans le rectangle. Je te mets un petit dessin ici pour illustrer.

On dit qu'un ensemble $E$ est fermé si c'est le complémentaire d'un ouvert. On peut montrer que cette définition est équivalente à :
Toute suite convergente d'éléments de $E$ converge dans $E$, et c'est souvent plus pratique pour démontrer une fermeture (pas dans notre cas, dommage).

Dernier point : $\{\emptyset\}$ est considéré comme étant ouvert.

Maintenant nous possédons tous les éléments nécessaires. Dans $\mathbb{R}$, tous les intervalles $]a,b[$ sont des boules ouvertes. Pour tout point $x$ de $\mathbb{R}$, l'intervalle $]x-1,x+1[$ est une boule ouverte centrée sur $x$ et contenue dans $\mathbb{R}$, donc $\mathbb{R}$ est ouvert.

De plus, $\mathbb{R}$ est le complémentaire de $\{\emptyset\}$ qui est ouvert, donc $\mathbb{R}$ est fermé.

Donc c'est un ouvert-fermé :) J'espère avoir été clair, hésite pas si des points demeurent flous !

Adam

[edit] Oui je sais je n'ai pas parlé d'espace métrique ni normé, ni même de norme, mais pas besoin pour faire visualiser la chose

Dernière modification par Chlore au quinoa (02-02-2021 17:09:25)

Red_Y17

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Re : L'ensemble des réels

Oui ça devient plus clair. J'ai compris ton explication.

Donc, tu m'a dis que l'ensemble R est ouvert-fermé.

R est ouvert :

puisque pour tout réel on peut trouver un intervalle ouvert(boule ouverte) centrée en ce réel, et cet boule ouverte est incluse dans R. Donc

comme si on a dit que R est voisinage de tous ses points, c'est pour cela, R est ouvert.

R est fermé :

puisque R est le complémentaire de l'ensemble vide qui est un ensemble ouvert.

Merci beaucoup pour votre explication.