Forum de mathématiques - Bibm@th.net

NicolasTesla

Invité

Montre que (a/b)+(b/c)+(c/d)+(d/a) >4

Bonjour,
        Voilà, j'ai un petit DM à faire, avec cet exercice que j arrive pas a résoudre .le voila:
               
                                     Montre que (a/b)+(b/c)+(c/d)+(d/a) >4

        Pourriez-vous me fournir quelques pistes svp ? Merci !

Zebulor

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Re : Montre que (a/b)+(b/c)+(c/d)+(d/a) >4

Bonjour,
@Nicolas : y aurait pas des conditions sur $a,b,c$ et $d$ ?

NicolasTesla

Invité

Re : Montre que (a/b)+(b/c)+(c/d)+(d/a) >4

ah oui j ai oublie on a : a,b,c et d des nombres réels non nuls strictement positifs

Bernard-maths

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Re : Montre que (a/b)+(b/c)+(c/d)+(d/a) >4

Bonsoir,

il n'est pas dit que les 4 nombres sont distincts ?
Donc si on essaye a = b = c = d, on aura : (a/b)+(b/c)+(c/d)+(d/a) = 4, et non > 4 ...
On doit pouvoir supposer que a > b > c >d ... ?

Dernière modification par Bernard-maths (17-01-2021 17:43:43)

mattouxdz

Invité

Re : Montre que (a/b)+(b/c)+(c/d)+(d/a) >4

met tout sous le meme denominateur et c'est bon

Matou

Invité

Re : Montre que (a/b)+(b/c)+(c/d)+(d/a) >4

Bonjour,

Je ne vais pas beaucoup faire avancer le problème :

@Bernard-maths, je ne crois pas qu'on puisse poser a > b > c > d parce que cela imposerait une contrainte plus forte que l'énoncé initial : on demande de montrer que (a/b)+(b/c)+(c/d)+(d/a) >4 et si tu supposes que a > b > c... tu supposes implicitement qu'on divise le plus grand nombre par celui qui lui est juste inférieur... alors que l'énoncé n'impose pas cette contrainte.

@mattouxdz, j'ai eu la même idée que toi, mais je suis vite arrivé à une impasse (calculs inextricables)... Il faut que tu en dises un peu plus pour guider Nicolas. Pour ma part, j'ai résolu le problème avec une méthode assez tordue que je ne préfère pas exposer car je pense qu'on peut trouver plus élégant.

A plus

Matou

Black Jack

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Re : Montre que (a/b)+(b/c)+(c/d)+(d/a) >4

Bonjour,

Les extrema locaux d'une fonction à plusieurs variables, s'ils existent, sont sur des points critiques, donc sur des points pour lesquels les dérivées partielles premières de la fonction par rapport à chacune des variables sont nulles.

f(a,b,c,d) = (a/b)+(b/c)+(c/d)+(d/a)

En résolvant le système de 4 équations d'annulation les dérivées partielles premières de la fonction par rapport à chacune des variables ... on trouve qu'une condition nécessaire pour avoir un extremum local est : a = b = c = d

Donc, s'il y a un extremum local, c'est forcément avec a = b= c = d.

On vérifie que ce point critique correspond à f(a,b,c,d) = 4 avec a = b= c = d = n'importe quel réel strictement positif.
et que si toutes les variables ne sont pas égales, on trouve f(a,b,c,d) < 4

Je ne sais pas si c'est suffisant ou s'il faut pousser plus loin pour montrer que c'est vraiment un max de f pour a=b=c=d

Chlore au quinoa

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Re : Montre que (a/b)+(b/c)+(c/d)+(d/a) >4

Salut Black Jack,

Je pensais être le seul client à avoir pensé à ça.... Sauf que le sous-forum est "entraide COLLEGE-LYCÉE"

Je ne pense pas que notre ami ait des notions de calcul différentiel... ça ne risque pas de beaucoup l'aider.

Adam

Dernière modification par Chlore au quinoa (18-01-2021 15:04:55)

Matou

Invité

Re : Montre que (a/b)+(b/c)+(c/d)+(d/a) >4

Bonjour,

c'était aussi ce que j'ai fait, mais, je suis d'accord avec Adam pour dire que c'est bien compliqué à ce niveau

Matou

Black Jack

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Re : Montre que (a/b)+(b/c)+(c/d)+(d/a) >4

Bonjour,

c'était aussi ce que j'ai fait, mais, je suis d'accord avec Adam pour dire que c'est bien compliqué à ce niveau

Matou

Bonjour,

Oui, mais on peut le faire en trichant un peu, mais ce n'est probablement pas ce qui est attendu.

f(a) = (a/b)+(b/c)+(c/d)+(d/a)

avec a variable et b,c et d des nombres positifs quelconques fixés.

f'(a) = 1/b - d/a²
f'(a) = (bd-a²)/(a²b)

f'(a) a le signe de (bd-a²)
f'(a) > 0 pour a² > bd
f'(a) = 0 pour a² = bd
f'(a) < 0 pour a² < bd

max de f pour a = sqrt(bd) et ceci quels que soient b, c , d fixés.

On recommence avec b variable et a, c et d des nombres positifs quelconques fixés ...
et on trouve : max de f pour b = sqrt(ac) et ceci quels que soient a, c , d fixés.

...

Et en regroupant les résultats on trouve f max pour :

a = sqrt(bd)
b = sqrt(ac)
c = sqrt(bd)
d = sqrt(ac)

--> a = c et b = d
et remis dans a = sqrt(bd) --> a = sqrt(d²) = d
--> f est max pour a = b = c = d

...

Ici, c'est accessible niveau lycée, mais reste à voir si c'est rigoureux comme démo.

Roro

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Re : Montre que (a/b)+(b/c)+(c/d)+(d/a) >4

Bonsoir,

Je vous propose une solution qui n'utilise pas d'outil très sophistiqué (niveau collège ?) :

Considérons $a$, $b$, $c$, $d$ quatre entiers pour lesquels on atteint le minimum*. Notons $m$ ce minimum : $m=\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}$.

En élevant au carré, on en déduit :
$$m² = \underbrace{\big( \frac{a}{b} \big)^2 +  \big(\frac{b}{c} \big)^2+  \big(\frac{c}{d} \big)^2 +  \big(\frac{d}{a} \big)^2}_{A} + 2 \big( \underbrace{\frac{a}{c}+\frac{b}{d}+\frac{c}{a}+\frac{d}{b}}_{B}\big) + 2 \big( \underbrace{\frac{ac}{bd}+\frac{bd}{ac}}_{C}\big).$$

Par définition de $m$ (qui réalise le minimum...), on sait que $A\geq m$.

Ensuite, il faut savoir aussi que pour tout $\alpha$, $\beta$ réels positifs, on a $\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha} \geq 2$ (c'est plus simple car c'est équivalent à $\alpha²+\beta² \geq 2 \alpha \beta$...). Autrement dit, on a $C\geq 2$ et aussi $B\geq 4$.

Finalement, on obtient
$$m² \geq m+12,$$
ce qui équivaut à $(m-4)(m+3) \geq 0$ et donc à $m\geq 4$.

Roro.

* Bon, en fait une des difficultés serait de savoir que ce minimum est effectivement atteint. Je ne vois pas comment faire sans utiliser de compacité. On peut par exemple dire que lorsqu'une des valeurs ($a$, $b$, $c$ ou $d$) tend vers $+\infty$ alors $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}$ devient infini... mais ce n'est plus trop niveau collège !

Dernière modification par Roro (18-01-2021 20:02:14)

Zebulor

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Re : Montre que (a/b)+(b/c)+(c/d)+(d/a) >4

Bonsoir,
@Roro : Astucieux ! j'ai du mal à voir pourquoi $A \ge m$

Roro

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Re : Montre que (a/b)+(b/c)+(c/d)+(d/a) >4

Bonsoir,
@Roro : Astucieux ! j'ai du mal à voir pourquoi $A \ge m$

Parce que $A$ est de la forme $\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\gamma} + \frac{\gamma}{\delta} + \frac{\delta}{\alpha}$ et que $m$ est le plus petit de cette forme.

En fait, le problème me semble difficile pour "Collège/Lycée". Il y a peut être une astuce permettant de faire apparaitre des carrés comme pour le cas à deux variables $\frac{a}{b}+\frac{b}{a} \geq 2$ mais je ne trouve pas.

Si on veut généraliser, on se trouve assez rapidement à utiliser de l'analyse convexe (niveau sup.) pour montrer l'inégalité arithmético-géométrique (qui est la généralisation avec $n$ variables).

Roro.

Dernière modification par Roro (18-01-2021 20:52:11)

Zebulor

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Re : Montre que (a/b)+(b/c)+(c/d)+(d/a) >4

Bonjour,
@Roro ; je persiste à penser qu'il manque une chose dans ta démonstration ou alors j'ai loupé quelque chose : la preuve que $m \gt 1$.  Parce que pour $m$ strictement compris entre $0$ et $1$, on a $A \lt m$.
C'est pourquoi je rajouterai : si $m$ strictement compris entre $0$ et $1$, chacune des fractions $\frac {a}{b}$, $\frac {b}{c}$, $\frac {c}{d}$ et $\frac {d}{a}$ l'est aussi.  Tous les numérateurs et dénominateurs étant positifs.
Or si 3 de ces fractions sont comprises entre $0$ et $1$ la quatrième ne peut pas l'être parce qu'elle est l'inverse du produit des 3 autres.
Conclusion : on a bien $m \gt 1$

Roro

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Re : Montre que (a/b)+(b/c)+(c/d)+(d/a) >4

Bonjour,

Je ne pense pas qu'il y ait d'erreur ici. Je considère $m=\min\big\{\displaystyle \frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\gamma}+\frac{\gamma}{\delta}+\frac{\delta}{\alpha},\; \alpha>0,\, \beta>0,\, \gamma>0,\, \delta>0\big\}$.

Il me semble bien correct de dire que pour tout $\alpha>0$, $\beta>0$, $\gamma>0$ et $\delta>0$, on a $m\leq \displaystyle \frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\gamma}+\frac{\gamma}{\delta}+\frac{\delta}{\alpha}$.

C'est vrai en particulier pour $\alpha=a^2$, $\beta=b^2$, $\gamma=c^2$ et $\delta=d^2$ lorsque $a>0$, $b>0$, $c>0$ et $d>0$.

Encore une fois, la "vraie" difficulté ici est de montrer que le minimum $m$ est bien atteint...

Roro.

Dernière modification par Roro (19-01-2021 07:46:12)

yoshi

Modo Ferox

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Re : Montre que (a/b)+(b/c)+(c/d)+(d/a) >4

Bonjour,

J'ai fini par retrouver une trace de ce sujet sur la toile, ici https://www.ilemaths.net/sujet-une-egal … 39663.html:

1 Soit x un réel strictement positif
Déterminer le signe de x+ (1/x) -2

2 Soit a,b,c,d des nombres réels strictement positifs.
montrer que a/d +b/c +c/b +d/a supérieur ou égal à 4

3 soit a,b,c,d,e,f des nombres réels strictement positifs.
Montrer que a/f +b/e +c/d +d/c + e/b + f/a supérieur ou égal à 6.

@+

Zebulor

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Re : Montre que (a/b)+(b/c)+(c/d)+(d/a) >4

Rebonjour,
@Yoshi : OK. La réponse de Roro ne m'en inspire pas moins une réponse..

Roro

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Re : Montre que (a/b)+(b/c)+(c/d)+(d/a) >4

Bonjour,

Bonjour,

J'ai fini par retrouver une trace de ce sujet sur la toile, ici https://www.ilemaths.net/sujet-une-egal … 39663.html:

1 Soit x un réel strictement positif
Déterminer le signe de x+ (1/x) -2

2 Soit a,b,c,d des nombres réels strictement positifs.
montrer que a/d +b/c +c/b +d/a supérieur ou égal à 4

3 soit a,b,c,d,e,f des nombres réels strictement positifs.
Montrer que a/f +b/e +c/d +d/c + e/b + f/a supérieur ou égal à 6.

@+

La question du lien donné par Yoshi n'est pas la même : regardez bien ce qui est demandé !
Dans le lien que cite Yoshi, la réponse est immédiate une fois qu'on connait le cas avec 2 réels (ce qui est nettement plus simple - voir mon premier post sur le sujet).

Roro.

Dernière modification par Roro (19-01-2021 08:34:46)

Black Jack

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Re : Montre que (a/b)+(b/c)+(c/d)+(d/a) >4

Bonjour,

J'ai fini par retrouver une trace de ce sujet sur la toile, ici https://www.ilemaths.net/sujet-une-egal … 39663.html:

1 Soit x un réel strictement positif
Déterminer le signe de x+ (1/x) -2

2 Soit a,b,c,d des nombres réels strictement positifs.
montrer que a/d +b/c +c/b +d/a supérieur ou égal à 4

3 soit a,b,c,d,e,f des nombres réels strictement positifs.
Montrer que a/f +b/e +c/d +d/c + e/b + f/a supérieur ou égal à 6.

@+

Bonjour,

J'avais aussi pensé à cela ... sauf que on s'aperçoit vite que le problème est ici différent.

Dans tous les exemples que tu donnes, si on trouve un terme x dans la somme, on y trouve aussi son inverse, soit le le terme 1/x ...

Mais ce n'est pas le cas dans l'exercice proposé.
On trouve par exemple dans la somme le terme a/b ... mais on n'y retrouve pas son inverse, soit b/a, pareil pour les autres termes de la somme.

Zebulor

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Re : Montre que (a/b)+(b/c)+(c/d)+(d/a) >4

re,
J'ai l'impression qu'on ne parle pas de la même chose. Alors je pose le problème autrement :
On considère $a$, $b$, $c$, $d$ quatre réels strictement positifs pour lesquels on atteint le minimum noté m de la somme cette fois ci réduite à 3 fractions $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}$.
On a $A=\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{d^2}$. A ton toujours $A \ge m$ ?

Dernière modification par Zebulor (19-01-2021 08:42:55)

Roro

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Re : Montre que (a/b)+(b/c)+(c/d)+(d/a) >4

Re-bonjour,

Je ne vois pas de problème dans mon raisonnement et je ne vais pas le ré-écrire à nouveau.

Concernant le "nouveau" problème de Zébulor, si le minimum est atteint alors la réponse sera oui !

Sauf qu'ici, le minimum (plus exactement la borne inférieure) est $0$ et n'est donc pas atteinte...

Roro.

Dernière modification par Roro (19-01-2021 08:52:09)

Chlore au quinoa

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Re : Montre que (a/b)+(b/c)+(c/d)+(d/a) >4

En élevant au carré, on en déduit :
$$m² = \underbrace{\big( \frac{a}{b} \big)^2 +  \big(\frac{b}{c} \big)^2+  \big(\frac{c}{d} \big)^2 +  \big(\frac{d}{a} \big)^2}_{A} + 2 \big( \underbrace{\frac{a}{c}+\frac{b}{d}+\frac{c}{a}+\frac{d}{b}}_{B}\big) + 2 \big( \underbrace{\frac{ac}{bd}+\frac{bd}{ac}}_{C}\big).$$

Salut Roro et waouw c'était très astucieux chapeau !

* Bon, en fait une des difficultés serait de savoir que ce minimum est effectivement atteint. Je ne vois pas comment faire sans utiliser de compacité. On peut par exemple dire que lorsqu'une des valeurs ($a$, $b$, $c$ ou $d$) tend vers $+\infty$ alors $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}$ devient infini... mais ce n'est plus trop niveau collège !

Dommage pour le minimum, j'essaie de voir si c'est possible de prouver qu'il y en a un sans invoquer de différentiabilité, je reviens vers vous si je trouve !

Zebulor

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Re : Montre que (a/b)+(b/c)+(c/d)+(d/a) >4

Re,
serais-je mal reveillé ... je ne l'exclus pas après tout..
alors supposons que le miminum soit atteint (c'est très probablement faux) et qu'il soit m=$\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}$.
On est bien d'accord que $A \lt m$ ?

Dernière modification par Zebulor (19-01-2021 09:09:38)

Roro

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Re : Montre que (a/b)+(b/c)+(c/d)+(d/a) >4

Re,
serais-je mal reveillé ... je ne l'exclus pas après tout..
alors supposons que le miminum soit atteint (c'est très probablement faux) et qu'il soit m=$\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}$.
On est bien d'accord que $A \le m$ ?

Mais je viens de dire à mon post précédent que le minimum ($0$) n'est pas atteint !!!

Dommage pour le minimum, j'essaie de voir si c'est possible de prouver qu'il y en a un sans invoquer de différentiabilité, je reviens vers vous si je trouve !

Pour prouver que le minimum est atteint, il n'y a à mon avis pas besoin de différentiabilité. Un argument de compacité (topologique) suffit... mais c'est pas simple à expliquer au niveau du lycée. Je persiste à croire qu'il y a une façon astucieuse de faire apparaître des carrés.

Roro.

Dernière modification par Roro (19-01-2021 09:12:27)

Zebulor

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Re : Montre que (a/b)+(b/c)+(c/d)+(d/a) >4

Mais je viens de dire à mon post précédent que le minimum ($0$) n'est pas atteint !!!

Dont acte... mais je ne vois pas bien le rapport avec mon dernier post