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Caroline254

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Messages : 26

Cardinalité nombre algébrique [Résolu]

Bonjour a vous, voici ma question:

On dit qu,un nombre réel algébrique est de degré 2 si il est irrationnel et racine d'au moins un polynôme de degré 2 à coefficients rationnels. Montrez que l'ensemble des nombre réels algébriques de degré 2 est dénombrable.

Je vous montre ma réponse, j'aimerais savoir si c'est suffisant.

Posons I, l'ensemble des nombre réels algébriques de degré 2. Demontrons que |I| = |N| (|| = cardinalité)

On sait que A = ( x| x est algébrique) est dénombrable. Aussi I C A. De plus, on peut fixer une énumération exacte des polynome rationnels de degré 2:     f0, f1, f2, f3,.......,fn, ......

Et chaque polynome fn n'a qu'un nombre fini rn de racines irrationnelles ( posiblement aucune) qu'on peut mettre en ordre croissant, p0,1, plus petit que pm,rn . . . . . Les racines irrationnelles de fn. On peut obtenir une énumération exacte des racines de I en passant successivement a travers les fn mais en ne gardant au fur et a mesure que les racines irrationnelles qui ne se répète pas. Donc l'ensemble I est dénombrable. CQFD

Est-ce suffissant ou montrer par le thme de Cantor Bernstein serait meiux?

tibo

Membre expert

Inscription : 23-01-2008

Messages : 1 097

Re : Cardinalité nombre algébrique [Résolu]

Bonsoir,

Au risque de m'avancer un peu trop, si tu sais que l'ensemble des réels algébriques est dénombrable, alors tout sous-ensemble (en sens de l'inclusion) est dénombrable.

Ne maitrisant pas le sujet, et encore moins le théorème de Cantor Bernstein, je ne peux pas t'en dire plus.

++

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 349

Re : Cardinalité nombre algébrique [Résolu]

Salut Caroline,

  Ta démonstration est à peu près correcte, mais tu n'utilises nulle part que A est dénombrable.
Une "jolie" démonstration formelle serait :
* Soit (Pn) une énumération des polynômes à coefficients rationnels de degré 2.
* Soit I_n l'ensemble des racines de P_n.
Alors chaque I_n est fini et I est la réunion dénombrable des I_n.
Donc I est finie ou dénombrable comme réunion dénombrable d'ensembles finis.

La partie de la preuve ou tu numérotes les racines etc... ressemble
à une preuve du fait que la réunion dénombrable d'ensembles finis est au plus dénombrable.

Pour tibo : Le théorème de Cantor-Bernstein.

Fred.