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Lola678

Invité

Etude de fonction

Bonjour à tous ! J'ai un exercice sur les exponentielles à compléter pour la rentrée, je ne suis pas sûre de mes réponses pourriez-vous m'aider svp ?

Voici l'énoncé:
Soit g la fonction définie par: g(x) = e^x-xe^x+1

1. Déterminer les limites de g en -l'infini et en +l'infini. Que peut on en déduire pour la représentation graphique de la fonction g ?
2. Déterminer les asymptotes éventuelles de la représentation graphique de g .
3. Etablir le tableau de variations complet de la fonction g .
4. a) Démontrer que l'équation g (x) = 0 admet sur R une unique solution. On note alpha cette solution.
b) A l'aide de la calculatrice, déterminer un encadrement d'amplitude 10^2 de alpha.
c) Montrer que e^alpha = 1/alpha-1
5. Déterminer le signe de g(x) suivant les valeurs de x

Voici mes réponses:

1. Quand x tend vers plus l'infini:
g(x)= e^x(1-x)+1
Donc la limite de e^x = + l'infini
La limite de 1-x = moins l'infini
La limite de 1 = 1
Par opération sur les limites on obtient lim g(x)= moins l'infini

Quand x tend vers moins l'infini:
La limite de e^x=0
La limite de xe^x= 0
La limite de 1=1
Par opération de limites, on obtient lim g(x)= 1

Mais par contre je ne comprends pas ce qu'ils veulent dire par "Que peut on en déduire pour la représentation graphique de la fonction g"?

2. Je ne suis pas sûre du tout. Il y a une asymptote horizontale y=1 ? C'est tout ?

3. Pour le tableau de variations j'y suis bien arrivée, j'ai calculé g(0)=2, j'ai dérivé g'(x)= -xe^x. Ce qui fait que j'ai d'abord + et - pour la dérivée (parce que le coeff devant x est négatif) et une courbe strictement croissante de 1 à 2 puis décroissante de 2 à moins l'infini pour g(x).

4. a) Il faut montrer qu'il y a un changement de signe, une continuité, et une stricte monotonie.
--> La fonction g est dérivable, donc continue sur R
--> Comme vu dans le tableau de variations, la fonction est strictement décroissante sur [0; plus l'infini[
--> g(-4) = 1,09 et g(4)= -162,8, donc il y a bien un changement de signe dans R. Aussi, 0 est une valeur intérmédiaire de g dans R, car g(0)= 2 et lim g(x)= - l'infini (quand x tend vers + l'infini)
Donc g(x)=0 admet une unique solution alpha sur R.

b) Je peux lire sur la calculatrice:
--> g(1)=1 et g(2)= 6,4, donc 1<alpha<2
--> g(1,2)= 0,3 et g(1,3)= -0,1, donc 1,2 < alpha < 1,3
--> g(1,27)= 0,04 et g(1,28)= -0,007, donc 1,27< alpha < 1,28

c) g(alpha) = 0
Donc (1-alpha ) e^alpha +1 = 0
(1-alpha ) e^alpha = -1
e^alpha = -1/1-alpha = 1/alpha-1

5. J'ai répondu grâce au tableau de variation et à la définition de alpha
--> Pour - l'infini < x <0, on a g(x)>1
--> Pour 0 <x<alpha, g(0)>g(x)>g(alpha)=0, on a g(x)>0
--> Pour x>alpha, g(x)<g(alpha)=0, donc g(x)<0;
Alors g(x)<0 pour x>alpha et g(x)>0 pour x<alpha

C'était très long à taper
Merci d'avance pour votre aide !

yoshi

Modo Ferox

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Re : Etude de fonction

Bonjour,

1. Oui, bizarre comme question...
    J'ajouterais alors que puisque la limite en $-\infty$, la courbe amdet une asymptote.
2. Là tu précises que  puisque g admet une asymptote il, et puisque en  $-\infty$, cette limite vaut 1, cette asymptote est horizontale d'équation y = 1
   Si tu veux en dire plus et que tu appris à déterminer si une courbe est au-dessus ou au-dessous de son asymptote, alors tu peux aussi prouver que la courbe représentative de g est au-dessus de son asymptote sur $]-\infty \;1[$ mais qu'elle  la traverse pour x=1 (g-(1) =1).

Si une courbe strictement croissante de 1 à 2 puis décroissante de 2 à moins l'infini pour g(x).

Il faut plutôt le dire de cette façon (d'ailleurs, tu as rectifié le tir ensuite).
La fonction est strictement croissante sur  $]-\infty \,;\,0]$ passe par un maximum pour x=0 et décroît sur $|0\,:\,+\infty[$

4.

--> Comme vu dans le tableau de variations, la fonction est strictement décroissante sur [0; plus l'infini[
--> g(-4) = 1,09 et g(4)= -162,8, donc il y a bien un changement de signe dans R. Aussi, 0 est une valeur

g(-4) est un mauvais choix...
Tu sais qu'elle décroît sur $[0 \,;\,+\infty[$ mais entre -4 et 0 ta fonction est encore croissante et donc dans ton intervalle [-4 ; 4], g est loin d'être monotone puisqu'elle croît puis décroît...
A quoi te sert-il d'invoquer la monotonie, si c'est pour l'ignorer ?
Tu as une calculatrice graphique sers-t-en.
Si tu choisissais g(0) et g(4), là, tu serais cohérente...
Je dirais mieux je restreindrais les recherches sur[1 ; 2] : g(1)=1  et g(2)=-6,389.

b) Je peux lire sur la calculatrice:

Hmmm... Ce n'est pas tout à fait vrai, sauf si tu lis directement les valeurs sur la calculatrice en ayant zoomé sur le partie de la courbe entre les abscisses 1 et 2 et dans ce cas, il n'y a pas d'essai à faire, c'est direct. Sur ma machine, c'est ce que je fais avec Geogebra...

Hors-sujet.
Je me suis aussi amusé à programmer la recherche en Python par dichotomie et par balayage (c'est à cette dernière méthode à laquelle tu dois faire allusion dans ton devoir : http://www.bibmath.net/dico/index.php?a … ayage.html
Je ne peux pas "rétrécir un  intervalle, mais je peux l'élargir, donc je vais rechercher un intervalle à $10^{-3}$ près puis je l'élargirai à
$10^{-2}$ près.

#!/usr/bin/env python
# -*- coding: UTF8 -*-

from math import exp

""" Recherche de la solution  de l'équation (1-x)*exp(x)+1=0"""
""" Par dichotomie"""

a,b=1,2
while b-a>10**-2:
    m=(a+b)/2
    if (1-m)*exp(m)+1>0:
        a=m
    else:
        b=m

print (round(a,3),"<",chr(955),"<",round(b,3))

""" Recherche de la solution  de l'équation (1-x)*exp(x)+1=0"""
""" Par balayage """
a,b=1,2
for i in range(1,3):
    pas =10**(-i)
    fa,fb=1,1
    while fa*fb>0:
        a=a+pas
        b=a+pas
        fa=exp(a)*(1-a)+1
        fb=exp(b)*(1-b)+1
    print(round(a,i),"<",chr(955),"<",round(b,i))
 

Réponses de Python.

Dichotomie

1.278 < λ < 1.279

Et comme 1,27<1.278 < λ < 1.279<1,28, l'encadrement retenu est : 1,27 < λ < 1,28

Balayage.
On obtient directement :
1.2 < λ < 1.3
1.27 < λ < 1.28

@+

Dernière modification par yoshi (29-12-2020 21:08:27)

Lola678

Invité

Re : Etude de fonction

Merci énormément ! Pour la dernière question je suis obligée d'utiliser Python ou Geogebra pour la méthode de balayage alors ?

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 404

Re : Etude de fonction

Re,

Connais-tu la méthode à employer pour dire si la courbe est au-dessus ou au-dessous de son asymptote ?
- Si oui, tu peux le faire,
- Si non (pas étudiée en classe), ne le fais pas.

Pour la dernière question je suis obligée d'utiliser Python ou Geogebra pour la méthode de balayage alors ?

Non.
L'énoncé dit "calculatrice".
Dans ton devoir, on ne te  demande pas de donner un code de programme...
On te demande un résultat.
Je ne me suis pas étendu sur le sujet calculatrice : je ne sais pas quel modèle tu utilises.
Vos calculatrices sont programmables et ça peut se faire avec.
Cela dit
1. je doute que vous ayez tous et toutes le même modèle ou la même marque
2. et que votre prof les connaisse tous.

Moi, je me limiterais à dire (c'est une explication très succincte de l'application de la méthode, ça doit suffire à laisser croire que l'as réellement appliquée, parce que c'est bien ce qui se passe) :

La "méthode de balayage" appliquée sur ma calculatrice
- entre 1 et 2 par pas de 0,1 me donne : $1,2 <\lambda <1,3$
- entre 1,2 et 1,3 par pas de de 0,01 me donne finalement :  $1,27 <\lambda <1,28$

@+

[EDIT]
En fait tu n'es même pas obligée de savoir programmer.
Tu sais que g(1)=1>0, tu calcules g(1.1) : positif !
Alors, tu calcules g(1.2) : positif
Tu calcules g(1.3) : négatif -Tu arrêtes là)
Donc : $1,2 <\lambda <1,3$

Alors tu passes au pas de 0.01
Tu calcules g(1.21) : positif : g(1.22) : positif ; g(1.23) positif.... g(1.27) >0 ; g(1.28) <0.
Donc :
$1,27 <\lambda <1,28$

C'est quand mieux de programmer ça...
J'ai simplifié mon code de recherche par balayage :

""" Recherche de la solution  de l'équation (1-x)*exp(x)+1=0"""
""" Par balayage """
a=1
for i in range(1,3):
    pas=10**(-i)
    f_de_b=1
    b=a
    while f_de_b>0:
        a=b
        b=b+pas
        f_de_b=(exp(b)*(1-b)+1)
    print(round(a,i),"<",chr(955),"<",round(b,i))

Explications.
je donne au départ la valeur 1 à la variable a.
La première boucle for sert
- à déterminer le pas
- réinitialiser la variable f_de b (qui sera recalculée ensuite) à 1 (valeur arbitraire positive) pour permettre de rentrer dans la boucle tant que (while) :
    Tant que f_de_b>0

Dans cette boucle, je garde l'ancienne valeur de b (c'est le  a=b), avant de l'augmenter de la valeur du pas  (c'est le b=b+pas), puis de calculer f_de_b.
Et je reviens au Tant que
si f_de_b est toujours positif, on recommence un tour de boucle : on garde l'ancienne valeur de b, on augmente b, on calcule f_de_b
si f_de_b est <0, on sort de Tant que, on affiche l'encadrement avec le premier pas de 0,1.

Et on revient à la boucle pour i de 1 à 2 (en Python= une boucle de 1 à n s'arrête dès qu'on atteint n+1.

Le pas devient 0,01  et comme le dernier f_de_b calculé était négatif, pour renter dans la boucle Tant que avec le nouveau pas et redémarrer avec son ancienne valeur (qui donnait f_de_b>0),
- on redonne à b la dernière la dernière valeur de a (qui est l'ancienne valeur de b donnant un résultat f_de_b positif)
- et à f_de_b une valeur quelconque positive et on rentre dans la boucle Tant que...

A cause de l'écrire de certains nombres décimaux dans la mémoire des ordinateurs.
Certains langages cachent ce problème,  pas Python. En mode console, si je tape :
>>> 0.2+0.1 j'obtiens 0.30000000000000004

Si je corrigeais pas l'affichage, j'obtiendrais
(1.2700000000000002 < λ <  1.2800000000000002

Est-ce que c'est plus clair avec le langage AlgoBox ?

Résultat :

***Algorithme lancé***
1.2 < lambda < 1.3
1.27 < lambda < 1.28

***Algorithme terminé***

N-B :Tu n'as même pas besoin de savoir écrire une double boucle, tu peux te contenter d'une seule... mais faire le boulot deux fois : ub ne pas =0.1 et l'autre avec pas =0.01

Dernière modification par yoshi (30-12-2020 11:18:36)

yoshi

Modo Ferox

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Messages : 17 404

Re : Etude de fonction

RE,

Tu trouves ça normal ?
https://www.ilemaths.net/sujet-exponent … 61119.html
Poster sur plusieurs sites le m^me sujet, ça ne se fait pas !

@+