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Einstein

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équation d'une droite

Bonjour tout le monde
je cherche à démontrer que lorsqu'on a deux droites qui sont perpendiculaires le produits de leurs coefficients directeurs a et a' est égale à -1
tel que (a*a'=-1)
Cordialement

Einstein

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Re : équation d'une droite

En fait je je cherche à démontrer que si on a deux droites qui sont perpendiculairs alors a*a'=-1
Car si je prend les deux droit D:2x-3 et D':-(1/2)x+5 alors
D et D' sont perpendiculars

Wiwaxia

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Re : équation d'une droite

Bonjour,

(M₀) désignant le point d'intersection des deux droites (D, D') dans le plan, (M, M') deux autres points appartenant à chacune de celles-ci et distincts du précédent, les vecteurs (M₀M , M₀M') admettent pour composantes:

M₀M = (x - x₀).i + (y - y₀).j ; M₀M' = (x' - x₀).i + (y' - y₀).j .

Les coefficients directeurs correspondants peuvent être définis lorsque (x) et (x') sont différents de (x₀); il vient alors:

a = (y - y₀)/(x - x₀) ; a' = (y' - y₀)/(x' - x₀) ,

et le produit scalaire des deux vecteurs admet pour expression:

p = (M₀M|M₀M') = (x - x₀).(x' - x₀) + (y - y₀).(y' - y₀) = (x - x₀).(x' - x₀).(1 + a.a') .

Ce produit scalaire ne s'annule que dans le cas de deux vecteurs orthogonaux, puisque les normes ne sont pas nulles, et l'on observe dans ce cas que

p = 0 équivaut à a.a' = -1 .

Dernière modification par Wiwaxia (26-12-2020 07:50:39)

Einstein

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Re : équation d'une droite

Merci pour votre réponse Wiwaxia.
En fait j'ais trouvé dernièrement une autre réponse.
En effet on peut écrire a'=(a+tan(x))/(1-a*tan(x))
et lorsqu'on fait la limite de a' quand x tand vers 90 on va obtenir que a'=-(1/a)  d'où la résultat
Cordialement

yoshi

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Re : équation d'une droite

Bonjour

Effectivement a.a' = -1 ou plus précisément a.a' = -i²

Tu as  sûrement voulu dire :
ou plus précisément $a\times a' =  -(-i)^2$ ?
(parce que $i^2=-1$ et donc  $-i^2=1$)

@+

Wiwaxia

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Re : équation d'une droite

Si l'on note (r, r') les normes respectives (non nulles) des deux vecteurs et (t, t') les angles orientés qu'ils définissent avec le demi-axe (Ox), il vient:

(x - x₀) = r.Cos(t) ; (y - y₀) = r.Sin(t) ;
(x' - x₀) = r'.Cos(t') ; (y' - y₀) = r'.Sin(t') ,

d'où:

p = r.r'(Cos(t)Cos(t') + Sin(t)Sin(t')) = r.r'.Cos(t' - t) .

La condition d'orthogonalité (p = 0) devient: Cos(t' - t) = 0 , soit: t' = t + π/2 + k.π  .

Si aucun des deux vecteurs n'est parallèle à l'axe (y'y), les pentes correspondantes sont données par les relations:

a = Tan(t) , a' = Tan(t') = Tan(t + π/2 + k.π) = -1/Tan(t) = -1/a .

yoshi

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Re : équation d'une droite

Niet tovarich,

$i$ est tel que $ i^2=-1$ et lorsqu'on multiplie les deux membres de cette égalité par -1, on obtient $-i^2 = 1$
Sans quoi tu mets à bas $\mathbb C$
Je sais que tu me l'as déjà dit :
je suis un mauvais matheux
j'ai eu de mauvais profs (la prof de maTerm était sortie 3e de Normale Sup, et par la suite elle était devenue IPR).
Il manquait quelque chose à ces éloges :
J'ai aussi de mauvaises lectures...
J'ai pris le temps d'en trouver un exemple.
Ce qui suit est un extrait du cours de TS :

Selon toi, $i^2=1$, alors j'attire ton attention sur l'exercice.
$8i^2$ devrait donc être égal à 8 et par voie de conséquence, 15 + 8 devrait donc donner 23...
Or, il est écrit 8 !
$15+8i^2=15-8=7$
Il y a aussi la remarque :  $(a+ib)(a-ib)=a^2+b^2$
Si $i^2= 1$, alors on devrait avoir $(a+ib)(a-ib)=a^2-i^2b^2=a^2-b^2$

@+

Wiwaxia

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Re : équation d'une droite

... Effectivement a.a' = -1 ou plus précisément a.a' = -i², i étant une rotation de -90° de l'axe des x sur l'axe des y perpendiculaire à l'axe des x et i le nombre imaginaire

-i² = -(-1) = + 1

La remarque de Yoshi était fondée.

... que i2 = 1 car i est la racine carré de -1 et que racine de moins 1 au carré a toujours été égal à 1, un carré est toujours positif ...

... Pas trop mal aux cheveux ?

yoshi

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Re : équation d'une droite

Re,

Sincèrement désolé de devoir te contredire (si je t'ai mal lu, oublie ce que je vais écrire), mais le sens positif de rotation est le sens trigonométrique (soit inverse du sens des aiguilles d'une montre).
Le sens que que tu décris est celui qui applique le vecteur $\vec j$ de l'axe des ordonnées sur le vecteur $\vec i$ de l'axe des abscisses, et non l'inverse.
Qu'on soit dans le plan complexe ne change rien à l'affaire.
$(\vec j,\vec i)=-\frac{\pi}{2}$ mais $(\vec i,\vec j)=+\frac{\pi}{2}$

Au cas où tu penses que je ne peux raconter que des âneries et comme je n'ai plus le temps (un mal de crâne sévère qui va m'obliger à aller me coucher dans le noir, et beaucoup de choses à préparer : je me rends demain matin à la sépulture de mon beau-père à 400 km de chez moi - sans internet - de faire des scans redimensionnés, recadrés, aux nombre dpi modifiés, voilà un lien :
https://www.educastream.com/angles-orientes-1ere-s
Pour des copies de pages de manuel, il faudra attendre mon retour.
Mais probablement qu'en fouillant la bibliothèque de BibMath, tu devrais trouver ça là aussi.

@+