Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Naxmouk

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Limite d'intégrale

Bonjour,
J'essaie de faire un exercice mais je ne sais pas par où commencer :

Calculer la limite de l’intégrale suivante lorsque n → ∞

[tex]\int_{[0,1]}^{}\frac{1+nx^3}{(1+x^2)^n}\, \mathrm{d}x[/tex]

Avez vous des pistes ?
Merci d'avance

Dernière modification par Naxmouk (10-12-2020 21:47:12)

Roro

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Re : Limite d'intégrale

Bonsoir,

Je ne sais pas si c'est le plus efficace mais je couperai l'intégrale en deux morceaux, par exemple :
$$\int_0^1 f_n(x)\, \mathrm dx = \int_0^{1/n^{1/3}} f_n(x)\, \mathrm dx + \int_{1/n^{1/3}}^1 f_n(x)\, \mathrm dx,$$
puis j'étudierai les deux morceaux.

J'ai l'impression que le premier tend vers $0$ car $|f_n|$ est bornée (par $1$, à vérifier ?), et que le second tend vers $0$ car $(f_n)_n$ converge uniformément vers $0$ sur $[\delta,1]$ pour tout $\delta >0$ (idem, à vérifier que pour $n$ assez grand $f_n$ décroit...).

Roro.

Romaiys

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Re : Limite d'intégrale

Bonsoir,

Peut-être faut-il appliquer le théorème de Lebesgue/convergence dominée ? Il faudrait vérifier les hypothèses, c'est-à-dire regarder si $f_n$ peut être "dominée" par une fonction intégrable notée $g$ par exemple sur $[0,1]$. La limite semble être 0 (à vérifier). Ainsi on aurait facilement par application du théorème la limite de cette intégrale (qui vaudrait 0 dans le cas où $f_n$ tend bien vers 0 à l'infini).

Zebulor

Membre expert

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Re : Limite d'intégrale

Bonjour,
Une autre piste peut être ?
[tex]\int_{[0,1]}^{}\frac{1+nx^3}{(1+x^2)^n}\, \mathrm{d}x=\int_{[0,1]}^{}\frac{1}{(1+x^2)^n}\, \mathrm{d}x+\int_{[0,1]}^{}\frac{nx^3}{(1+x^2)^n}\, \mathrm{d}x[/tex]

On peut calculer $\int_{[0,1]}^{}\frac{nx^3}{(1+x^2)^n}\, \mathrm{d}x$ en posant $u=x^2$ puis en intégrant par parties.
Et par exemple poser $x=tan(t)$ dans  $\int_{[0,1]}^{}\frac{1}{(1+x^2)^n}\, \mathrm{d}x$ puis comparer l'intégrale obtenue avec une intégrale de Wallis, et même donner un équivalent de ton intégrale lorsque n → ∞ puisque pour $n$ assez grand $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} cos^{n}(x)\, \mathrm{d}x  \underset{n +\infty}{\sim} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} cos^{n}(x)\, \mathrm{d}x$

Autre méthode : celle de Roro appliquée à $\int_{[0,1]}^{}\frac{1}{(1+x^2)^n}\, \mathrm{d}x$

Dernière modification par Zebulor (15-12-2020 19:34:32)

Naxmouk

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Messages : 4

Re : Limite d'intégrale

Bonjour,

Merci à tous ! Je essayer de me débrouiller avec vos pistes :) !