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pentium mix

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algèbre 2

Bonjour

S'il vous plaît comment montrer que :
Tout groupe fini est isomorphe a un sous groupe du groupe symétrique

Moi je pensais au théorème de calley mais ce n'est pas ça ici
J'aimerai savoir comment faire

Romaiys

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Re : algèbre 2

Bonjour,

C'est une étape dans la démonstration du théorème de Cayley.

Il faut considérer un morphisme injectif de groupe allant de G ton groupe fini dans l'ensemble des permutations de G (définit une action de groupe...) et tu pourras en déduire le résultat voulu.

pentium mix

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Re : algèbre 2

Bonjour,

C'est une étape dans la démonstration du théorème de Cayley.

Il faut considérer un morphisme injectif de groupe allant de G ton groupe fini dans l'ensemble des permutations de G (définit une action de groupe...) et tu pourras en déduire le résultat voulu.

S'il te plaît là moi je ne comprends plus est-ce qu'un groupe de permutation peut être considéré comme un groupe symétrique?

Romaiys

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Re : algèbre 2

Oui en effet, par définition le groupe symétrique d'un ensemble E est le groupe des permutations de E.

Et en définissant le morphisme de groupe injectif, il vient de suite par le théorème d'isomorphisme que G sera isomorphe à un sous groupe de S(G) groupe de permutation des éléments de G. Pour conclure, on prend le cas particulier G fini d'ordre n et il vient que G sera isomorphe à un sous groupe du groupe symétrique (Sn dans ce cas là).

Dernière modification par Romaiys (10-11-2020 18:33:05)

pentium mix

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Re : algèbre 2

Oui en effet, par définition le groupe symétrique d'un ensemble E est le groupe des permutations de E.

Et en définissant le morphisme de groupe injectif, il vient de suite par le théorème d'isomorphisme que G sera isomorphe à un sous groupe de S(G) groupe de permutation des éléments de G. Pour conclure, on prend le cas particulier G fini d'ordre n et il vient que G sera isomorphe à un sous groupe du groupe symétrique (Sn dans ce cas là).

C'est noté

Merci beaucoup