Forum de mathématiques - Bibm@th.net

sedah

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devoir maison 4 : aire maximale [Résolu]

Bonsoir j 'ai le dernier exo de mon devoir maison à faire pour mardi , pourriez vous me donner un petit coup de main SVP et MERCI  D ' AVANCE .

Consigne .
ABC est un triangle rectangle en A , tel que AB = 4 cm et AC = 3cm , le point C se trouve au dessus de A ( perpendiculaire) et B sur la meme horizontale que A
Un point M se deplace sur le segment BC
P est un point place sur le segment AC
N est un point placé sur le segment AB
A partir de M on construit comme indiqué sur la figure le rectangle ANMP . On voudrait savoir où doit etre placé le point M pour que l 'aire du rectangle ANMP soit la plus grande possible
Pour cela , on pose BM = x et on note a l 'aire du rectangle ANMP

1)
a) Demontrer que 0 < (ou egal) x < (ou egal ) 5
b) Demontrer que a=3/5x(4-4/5x)

2) On pose alors a=f(x) avec x appartient à l 'ensemble 0 jusqu 'a 5 (0;5)
Tracer l 'allure de la courbe representative de la fonction f

3)D 'apres la courbe precedente , il semblerait que a est maximale lorsque x=5/2
Demontrons le :
a) Demontrer d 'abord que a= -12/25(x-5/2)aucarré+3
b)Demontrer enfin que 3 est la valeur maximale de a , et qu 'elle est obtenue pour x=5/2

Voici mes resultats :
1)
a) je ne sais pas comment faire pour le demontrer
b)a= 3/5x(4-4/5x)
j 'ai developpé

a= 3/5x(4/1-4/5x)
a= (3/5x * 4/1)-(3/5x*4/5x)
a= 12/5x - 12/25xaucarré
a= 12/5x= 60/25x
a=60/25x-12/25xaucarré

je peux mettre x en facteur cela donne
x(60/25-12/25x)
je peux reduire 60/25 = 12/5 ( mais je ne peux pas reduire 12/25)
x(12/5-12/25x)

2)j 'ai tracé la courbe : en ordonné j 'ai mis des nombres de 0 à 5 et pour l 'axe des abcisses j 'ai placé les valeurs de x qui vont de 0 à 5 , et donc ma courbe monte
(pour 1 en ordonné = 1 en abcisse ...jus qu 'à 5)
est ce que c 'est ça ?
je pense que l 'axe des ordonné = a ( l 'aire ) puis  pour l 'axe des abcisses = x
je suis pas sure  de mes placement a et x sur ma courbe ?
je pense que c 'est l 'inverse car à la toute derniere question 3 b) on me dit que :
3 est la valeur maximale de a et q 'elle est obtnue pour x = 5/2 (5/2=2,5)
donc en ordonné on place x et pour l 'axe des abcisse c 'est a .

3)
a) a = -12/25(x-5/2)aucarré + 3
je commence par developpe l 'identité remarquable
a = -12/25  ( xaucarré -5/2x-5/2x+25/4)+3
puis je developpe le -12/25

a= -12/25xaucarré + 12/5x - 3/1 +3
a= -12/25xaucarré + 12/5x

je peux reduire

a= x(-12/25x+12/5)

b) pour demontrer que 3 est la valeur maximale de a et qu 'elle est obtenue pour x =5/2
je me place à 3 sur l 'axe des ordonné je trace une droite jusqu ' a ce que je coupe ma courbe puis je descend et sur l 'axe des abcisses je lis 2.5 ( soit 5/2)

john

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Re : devoir maison 4 : aire maximale [Résolu]

Hello,
Pour 1/ a...
M se promène sur l'hypothénuse du triangle rectangle ABC.
Si M est en B, alors x=0.
Si M est en C alors x = 5 (longueur de l'hypothénuse).
Si M est entre B et C alors x est compris entre 0 et 5.
La traduction mathématique de ceci, c'est x € [0 ; 5] ou encore l'inégalité proposée. C'est beaucoup plus simple non ?
A+

john

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Re : devoir maison 4 : aire maximale [Résolu]

Suite...
1/b
Pour démontrer que a = la formule proposée, il faut partir de ton schéma. On calcule les longueur AN et AP en fonction de x et on en déduit l'aire a(x) du rectangle ANMP. On vérifie qu'on obtient bien la même formule...
Tu dois trouver a(x) = 12.x.(5-x)/25 (attention, tes notations sont très ambigües).
2/
Le graphique donne a = f(x) (pareil que y = f(x) auquel tu es habitué).
x en abscisse varie entre 0 et 5.
3/
a- Aucune difficulté.
b- Tu dois savoir (cours) que le graphe de a(x) est une partie de parabole.
Les racines de a(x) sont les valeurs de x pour lesquelles a(x) = 0.
Ceci se produit lorsque M est situé en B et lorsque M est situé en C.
On sait que le sommet d'une parabole est situé exactement au milieu des racines soit (0 + 5)/2.
A+