Continued fraction [Résolu]

cléopatre · 12-01-2008 20:31:47

Bonjour à tous et à toutes !

J'ai un petit problème. J'aimerais en savoir plussur les "continued fractions"...

Par exemple, j'ai trouvé un éxo qui fait :

On définit par récurrence des fonctions Fn de n+1 variables strictement positives par les relations :
F0(x)=x(0) et Fn+1(x(0), x(1), x(2) ,...,x(n+1))= x(0) + 1/Fn(x(1),x(2),..,x(n+1))

On me demadne par exemple de démontrer que les fonctions Fn existent et sont définies également par :
F0(x0)=x(0) et Fn+1(x(0),x(1),..,x(n+1)) = Fn(x(0),x(1),...,(xn)+1/x(n+1))

Voilà, si vous pouvez m'éclairer un peu parceque j'ai lu ce que propose Wikipédia et je n'ai pas trop compris car il n'y avait aucune démonstration.

Merci à vous
Bises de Cléo

Fred · 12-01-2008 22:02:13

Bonsoir,

Les fractions continues (en français) sont une méthode pour des approcher très vite des nombres irrationnels par des rationnels.
Il y a beaucoup à dire sur elles, tellement que je n'ai pas encore écrit l'article du dictionnaire les concernant.

Concernant ton exo, l'existence se trouve facilement par récurrence, pour l'autre partie, il s'agit de prouver que, pour tout n
et tout choix de x(0),...,x(n+1), on a :

[tex]F_n(x(0),...,x(n)/1/x(n+1))=x(0)+\frac{1}{F_n(x(1),...,x(n)+1/x(n+1))[/tex]

On peut prouver cela par récurrence sur n. Je te laisse traiter le cas n=0 (facile).
Si l'égalité est vraie au rang n, voici comment la prouver au rang n+1.

On a
[tex]\begin{array}{rcl}F_{n+1}(x(0),...,x(n+1)+1/x(n+2))&=&x(0)+\frac{1}{F_n(x(1),...,x(n+1)+1/x(n+2))}\\&=&x(0)+\frac{1}{x_1+\frac{1}{F_{n-1}(x(2),...,x(n+2))}\end{array}[/tex]

De même,
[tex]x_0+\frac{1}{F_n(x(1)+...+x(n+2))}=x_0+\frac{1}{x(1)+\frac{1}{F_{n-1}(x(2),...,x(n+2))}[/tex]

Cette écriture [tex]x_0+\frac{1}{x_1+\frac{1}{x_2+...}}[/tex] est l'autre façon, plus visuelle, de représenter des fractions continues.
Il s'agit ici, étant donnée une suite (x(0),x(1),...) de trouver un sens à la fraction limite précédente.
L'autre problème est, étant donné un réel, de trouver une suite (x(0),x(1),...) dont la fraction continue engendrée par cette suite
vaut le réel.

Fred.

cléopatre · 12-01-2008 22:48:57

Bonsoir Fred !

Merci d'avoir répondu à mon message. Cette notion m'interesse vrament, je vais essayer de comprendre un peu les choses. Elle pourrait carément faire l'objet d'un chapitre entier j'ai l'impression avec tous les scientifiques qui ont utilisé cet outil...

Bon pour aller dans le concret et dans l'exercice, je ne comprends plusieurs choses:
En effet, je ne vois pas vraiment ce que signifie rouver l'existence d'une fonction. Je n'ai jamais eut à faire cela et c'est en quoi j'ai des difficultés de compréhension.
Pour a premiere égalité meme si tu as fais une erreur de recopiage je pensas la même chose et pour la récurrence aussi. Ce qui me manquer était pour passer de n à n+1 (le plus dur hihi). Je comprends pas pourquoi tu as utilisé s(i)... j'aurais plutôt vu des x(i) à la place. C'est ça que je ne comprends pas dans le passage de n à n+1.

Merci à toi
PS : Si je le comprends et que je finis mon problème, je t'écrirais un article dessus avec plaisir.

Bises de Cléo

Barbichu · 12-01-2008 23:01:01

Salut cléopatre,
ce que tu crois être des s(i) sont en fait des x(i) trop petits. (l'application LaTeX du site est un peu foireuse)
Et (tu l'auras deviné, mais) il y a une petite faute de frappe qui s'est glissée dans le premier morceau de LaTeX : il faut lire x(n)+1/x(n+1) et non x(n)/1/x(n+1).
Et aussi pour l'étape de récurrence au rang n, on peut écrire :
[tex]\begin{array}{rcl}F_{n}(x(0),...,x(n)+1/x(n+1))&=&x(0)+\frac{1}{F_{n-1}(x(1),...,x(n)+1/x(n+1))}\\&=&x(0)+\frac{1}{F_n(x(1),...,x(n),x(n+1))}\;\textrm{en utilisant l'hypothese de recurrence au rang n-1}\\&=&F_{n+1}(x(0),x(1),...,x(n),x(n+1))\;\textrm{en utilisant la definition de F_{n+1}}\end{array}[/tex]

Sinon, prouver qu'une fonction existe, c'est en fait prouver qu'elle a bien le domaine de définition qu'on recherche et qu'à chaque valeur de départ elle associe bien une unique valeur image. Ici ça se fait trivialement par récurence.
++

PS : en quelle classe es-tu Cléopatre ?

Dernière modification par Barbichu (12-01-2008 23:18:05)

cléopatre · 12-01-2008 23:32:21

Bonsoir Barbichu !

Je suis en prépa première année.

Merci de me répondre Barbichu, c'est simpas de ta part ;). J'essais de refaire cela sur feuille et je compléterai sur ce messagepour te dire mes impressions. Par contre tu ne pourrais pas me faire la récurrenc pour prouver que Fn existe parceque sérieu, c'est pas évident pour moi (désolé mais en même temps je suis là pour comprendre ;))
Et toi tu fais quoi dans la vie?

Rajout après écriture sur papier : j'ai bien compris la démonstration pour prouver l'égalité.

Bises de Cléo

Dernière modification par cléopatre (12-01-2008 23:45:29)

Barbichu · 12-01-2008 23:58:11

Re,
il s'agit de prouver par récurrence sur n, que [tex]F_n[/tex] est bien définie sur [tex]\mathbb{N}^{n-1}\times\mathbb{N}^*[/tex] et qu'elle ne s'annule pas sur son domaine de définition.
Cela n'a rien de compliqué hormis trouver l'hypothèse de récurrence (renforcée, car comme tu peux le voir, j'ai du rajouter des éléments à mon hypothèse de récurrence (la non annulation), alors que pour conclure je n'utilise que la partie "bien définie").
++

cléopatre · 13-01-2008 00:20:00

Rebonsoir !

Oui j'ai bien compris. Je vais faire tout cela demain maintenant je vais me coucher...

Bises de Cléo

cléopatre · 13-01-2008 11:55:33

Bonjour Bibmath !

Après une petite nuit ou plutôt une bonne nuit de réflexion, j'ai réussi ce matin à faire pas mal de démonstrations. Cependant, j'ai du laisser tomber la deuxième question car je n'arrivais pas.
Question : étudier les variations de Fn en fonction de sa dernière variable.
J'ai penser à étudier F2n et F2n+1 mais je ne vois pas vraiment comment faire.

Bises de Cléo

Barbichu · 13-01-2008 12:13:46

Salut Cléopatre,
Plutot que d'étudier séparement F2n et F2n+1, etudie Fn en discutant suivant la parité de n.
Hypothèse de récurrence : "si n pair, ..., si n impair ..." tu verra, ça passe tout seul.
Bonne continuation de réflexion.
++

PS: sinon tu pouvais étudier F2n et F2n+1 séparement, mais il faut faire 2 fois plus de boulot et dans l'étape de récurrencee il faut descendre systématiquement de deux rangs.

cléopatre · 13-01-2008 14:00:54

Bonjour !

Bon j'essai donc de trouver les variations :

J'initialise pour les pairs : Fo(xo)<F2(x2)
Maintenant, je dois montrer que si n pair, Fn(x0,..xn)<Fn+2(x0,..,xn+2)
Après je fais : Fn+2=x0+1/(Fn+1)=x0+1/(x1+(1/Fn))=x0+Fn/(x1+Fn)=(x0(x1+Fn)+Fn)/(x1+Fn)>Fn
Donc on a bien Fn+2>Fn
Est ce juste ?

Bises de CLéo

Fred · 13-01-2008 21:42:48

Salut Cleo,

Je ne vois pas en quoi tu étudies les variations de Fn en fonction de sa dernière variable dans ce que tu fais.
L'hypothèse de récurrence serait plutôt :
"Si n est pair, Fn(x0,x1,...,xn) est une fonction croissante de xn,
Si n est impair, Fn(x0,x1,...,xn) est une fonction décroissante de xn".

Et Barbichu a raison.
Une fois que l'on a écrit cela, la récurrence est très facile.

Fred.

PS : As-tu à ta disposition un scanner pour m'envoyer une copie de l'exo ou du DM par mail.
J'aimerais y jeter un coup d'oeil pour préparer une page sur les fractions continues.

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 12-01-2008 20:31:47

Continued fraction [Résolu]

#2 12-01-2008 22:02:13

Re : Continued fraction [Résolu]

#3 12-01-2008 22:48:57

Re : Continued fraction [Résolu]

#4 12-01-2008 23:01:01

Re : Continued fraction [Résolu]

#5 12-01-2008 23:32:21

Re : Continued fraction [Résolu]

#6 12-01-2008 23:58:11

Re : Continued fraction [Résolu]

#7 13-01-2008 00:20:00

Re : Continued fraction [Résolu]

#8 13-01-2008 11:55:33

Re : Continued fraction [Résolu]

#9 13-01-2008 12:13:46

Re : Continued fraction [Résolu]

#10 13-01-2008 14:00:54

Re : Continued fraction [Résolu]

#11 13-01-2008 21:42:48

Re : Continued fraction [Résolu]

Pied de page des forums