devoir maison 3 [Résolu]

sedah · 11-01-2008 17:23:21

Bonjour , j 'aurais besoin de vous pour mon devoir maison , si vous voulez bien SVP ? MERCI

exo 3

Soit a et b deux elements de R+ tel que a est inferieur ou égal à b
1)a)Developper et reduire (Va-Vb)(Va+Vb)
b) en deduire que Va est inferieur à Vb

2) a) Expliquer pourquoi les nombres Vb-Va et Vb-a sont dans le meme ordre que leurs carrés
b) Comparer alors les 2 nombres Vb -Va et Vb-a

voici mes resultats
1)a)
( Va-Vb)(Va+Vb)
(Va)aucarré + Va*Vb - Vb*Va - (Vb)aucarré
je simplifie cela me donne
(Va)aucarré - (Vb)aucarré
si je reduis

( Va)aucarré - (Vb) aucarré
= (Va-Vb)(Va+Vb) voici l 'identité remarquable

b) pour la deduction j 'ai regardé dans mon cour et voilà ce que j 'ai trouvé

si a est superieur ou egal à 0 et b est superieur ou egal à 0 ( ces 2 nombres sont positifs)
a est inferieur à b
cela implique que 1/a est inferieur à 1/b
ou

si a est inferieur à 0 et b est inferieur à 0 ( a et b sont positifs)
a est inferieur à b cela implique que a aucarré est inferieur à b aucarré
puis :
Deux nombres positifs sont dans le meme ordre que leurs carrés .
2)a) je n 'ai pas trouvé , je bloques
b) Vb-Va comparer à Vb-a ?
Ces 2 calculs sont differents l 'un de l 'autre déjà car :
- leurs resultats sont differents
ex:prenons
Vb = V9
Va = V4

Vb - Va
V9 - V4
3 -2
1
alors que
Vb-a
V9-4
V5
( environ 2.23)

puis je pense que avec un des nombres negatifs , le resultat est aussi different
-je crois qui a un truc avec les identités remarquables.
deja si on remplace Vb par V9 et Va par V4 on trouve l 'identité remarquable (a+b)(a-b) avec (V3-V2)(V3+V2)
en revanche pour Vb-a j 'ai pas d 'idée.

Pouvez vous me dire si le debut est bon , et m 'eclaircir les calculs puis apres je pense que j 'arriverais à me debrouiller .

MERCI

Barbichu · 11-01-2008 18:56:06

Salut sedah,
après 5 bonnes minutes avant de comprendre que ton "V" signifiait "racine de", je peux désormais t'apporter des éléments de réponse. Quand tu prends une notation non standard, pense à le préciser.
1)a) Ok, mais pourquoi tu ne simplifie pas [tex](\sqrt a)^2[/tex] et [tex](\sqrt b)^2[/tex] ?
b) Attention, la fonction [tex]x \mapsto \frac{1}{x}[/tex] est décroissante, donc [tex]\forall a,b \in \mathbb{R}_+,\; a \leq b\; \Rightarrow\; \frac{1}{a} \geq \frac{1}{b}[/tex] mais je ne vois pas le rapport avec la question, donc peut-être à tu écris ça en pensant plutôt à : [tex]\forall a,b \in \mathbb{R}_+,\; a \leq b\; \Rightarrow\; \sqrt{a} \leq \sqrt{b}[/tex] qui est vrai par contre. Mais on te demande de le montrer en utilisant la question a), qui une fois la simplification - que je te suggère - faite, te sera très utile ;)

2) Si je lis ce que tu écris je pense qu'il y a une erreur d'énoncé (dimensionnellement incorrect), mais je crois plutôt qu'il s'agit d'une faute de parenthèsage (c'est important) et que tu voulais comparer [tex]\sqrt b - \sqrt a[/tex] et [tex]\sqrt{b - a}[/tex] (moi je prolonge le trait du radical, mais toi tu dois mettre des parenthèses), même si je trouve que le sujet aurait mieux fait de te faire comparer [tex]\sqrt a + \sqrt b[/tex] et [tex]\sqrt{a + b}[/tex].
a) on te demande d'appliquer la propriété que tu as énoncé (au mauvais endroit) en 1)b) sur la comparaison des carrés.
b) fait le calcul de la différence des carrés et tu trouvera la réponse (qui ne s'intuite pas)

Courage
++

Dernière modification par Barbichu (11-01-2008 19:01:37)

sedah · 11-01-2008 19:32:29

bonsoir er excusez moi pour mon V , j 'aurais dut vous le precisez
si je simplifie Va au carré - Vb aucarré je trouve
a -b
et pour apres j 'ai trouvé que a-b=(a-b)(a+b)
a-b<=0 donc le produit (a-b)(a+b)<=0 comme des racines sont toujours positives ou nul le signe de (a-b)<=0 donc
a<=b

est ce que c 'est mieux ?

2) oui il faut que je compare Vb - Va avec Vb-a ( avec le trait de la racine qui se prolonge jusqu 'au a pour le 2 eme calcul )
b) vous pensez que c 'est la bonne propriété car sinon il y a ça :

2/d'après la question précédente si a<b alors
a<b donc b-a>0
b-a est positif la racine existe . Une racine est toujours positive
On sait que deux nombre positif sont rangés dans le même ordre que leur carré
On compare donc (b-a)² et b-a on pourra alors en déduire la comparaison demandée

Mais par contre je bloques sur la comparaison demandée , vous pouvez me conseillé SVP

Barbichu · 11-01-2008 19:43:06

re, pourrais-tu rajouter les symboles "V" manquants à ton message pour que je puisse savoir ce que tu as fait ? merci

sedah · 12-01-2008 17:41:34

bonjour il ne manque aucun des V ;

voilà mon exo complet et rediger .

1)
a) (Va-Vb)(Va+Vb)
= (Va)aucarré + Va*Vb - Vb*Va - (Vb)aucarré
= (Va) aucarré - (Vb) au carré
= a-b

b)Va est inferieur ou egal à Vb ?
on sait que a est inferieur à b , d 'apres ma question precedente j 'ai trouvé que a-b = (Va-Vb)(Va+Vb)
a-b est inferieur ou egale à 0
donc (Va-Vb)(Va+Vb) est inferieur ou egale à 0
D 'autant plus une racine carré est toujours postif ou nul .
le signe de (Va+Vb)(Va-Vb) est inferieur ou egale à 0
alors on peut conclure que Va est inferieur à Vb.

2)
a)Vb -Va et Vb-a( le trait de la racine se prolonge jusqu 'au a du second calcul ) sont dans le meme ordre que leur carrés car : voici 1 façon pouvez vous me dire laquelle si elle est compréhensible pour cette question ? SVP si elle ne l 'ai pas pouvez vous m 'aider à mieux la formulée ? MERCI

ma façon :
on sait que Va est inferieur ou egale à Vb donc Vb-Va sera superieur à 0
b-a est postif (ou nul) czr une racine carré est toujours positif .
Soit a inferieur à b et b inferieur à 0
a aucarré - b au carré =(a+b)(a-b)
le signe de a aucarré - b aucarré est le meme que a-b comme a est inferieur à b alors a aucarré sera inferieur à b aucarré
si a est inferieur à b alors Va sera inferieur à Vb et a-b est postif (une racine existe)
De plus une racine est positif , d 'apres la proprieté : 2 nombres positifs sont rangés dans le meme ordres que leur carrés .

Pouvez vous m 'aider à faire le tri et pouvez vous me conseillée pour comparer les 2 nombres Vb-Va avec Vb-a ( le trait du deuxieme calcul continue jusqu 'au a )

yoshi · 12-01-2008 18:57:43

Bonsoir Sedah,

C'est bon à quelques détails près (oui, je sais, je suis ch...)
Dans l'ordre
1 a) R.A.S
b) On a [tex](\sqrt a - sqrt b)(\sqrt a + sqrt b)= a - b\;et\;a-b\le 0\;donc\;(\sqrt a - sqrt b)(\sqrt a + sqrt b)\le 0[/tex]
Mais puisque [tex]a,b \in \mathbb{R}^+\;alors\;\sqrt a,\,\sqrt b \in \mathbb{R}^+\;et\;\sqrt a + sqrt b \ge 0[/tex]
Donc, puisque [tex](\sqrt a - sqrt b)(\sqrt a + sqrt b)\le 0\;et\;que\;sqrt a + sqrt b \ge 0^\;alors\;sqrt a - sqrt b \le 0[/tex]
Attention à ne pas faire sauter de maillon...
2 a) Comparaison de [tex]\sqrt b - \sqrt a\;et\;\sqrt{b-a}[/tex]
Il faut commencer par expliquer que [tex]\sqrt b - \sqrt a\ge 0\;et\;\sqrt{b-a}\ge 0[/tex]
La racine carrée est une fonction croissante, donc puisque a<=b alors racine(b) - racine >=0
Comme b >= a >=0 alors b -a >= et comme la racine carrée est toujours positive...
b) Après tu peux effectivement dire que 2 nombres positifs sont dans le même ordre que leurs carrés et que donc tu es amenée à comparer :
[tex](\sqrt b - \sqrt a)^2\;et\;\(sqrt{b-a})^2[/tex]
[tex](\sqrt b - \sqrt a)^2=b+a-2\sqrt{ab}\;et\;\(sqrt{b-a})^2=b-a[/tex]
D'où :
[tex]b+a-2\sqrt{ab}-b+a=2a-2\sqrt{ab}=2(a-\sqrt{ab})[/tex]
Quel est le signe de cette quantité ? Celui de [tex]a-\sqrt{ab}[/tex]
On va majorer cette différence en minorant le 2e terme...
Ca tombe bien : on sait déjà que b>=a, et que [tex]\sqrt b \ge \sqrt a[/tex]
On peut donc écrire que [tex]a-\sqrt{ab}\le a - sqrt{a^2}[/tex]
Donc que [tex]a-\sqrt{ab}\le a - a[/tex] et enfin [tex]a-\sqrt{ab}\le 0[/tex]
Donc
[tex]\sqrt b - \sqrt a\le \sqrt{b-a}[/tex]

Désolé, je ne vois pas plus simple pour l'instant (ce qui ne veut pas dire qu'on ne peut pas trouver plus simple !)

@+

Barbichu · 12-01-2008 21:54:03

Hello,

yoshi a écrit :

b) [...]
Désolé, je ne vois pas plus simple pour l'instant (ce qui ne veut pas dire qu'on ne peut pas trouver plus simple !)

Moi je vois ça :
[tex](\sqrt{b-a})^2 - (\sqrt b - \sqrt a)^2= (b-a) - (b+a-2\sqrt{ab})[/tex]
[tex]=2\sqrt{ab} - 2a[/tex]
[tex]=2\sqrt{a}(\sqrt{b}-\sqrt{a})[/tex]
Et donc [tex]\sqrt b - \sqrt a[/tex]et [tex]\sqrt{b-a}[/tex] sont dans le même ordre que a et b.
++

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