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bridgslam

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Assez gros entiers

Bonjour,

Un bon exercice pour manipuler l'arithmétique:

Montrer que l'on peut toujours trouver  une suite finie d'entiers naturels consécutifs, aussi grande que l'on veut (jusque-la pas de souci), telle qu'aucun d'entre eux ne soit une puissance d' un nombre premier.
J'ai une solution assez triviale ( je vous laisse chercher pour vous amuser) , mais on est rapidement sur du gros, voire très gros gibier. Peut-on faire moins lourd?
Pour manipuler [tex]\LaTeX[/tex] et écrire la chose proprement:
[tex]\forall n \in \mathbb{N} \,\, \exists m \in  \mathbb{N} \,\, \forall p \,\, premier \, \forall k \in  \mathbb{N} \,  p^{k} \notin \{ m, m+1, ... , m+ n \}  [/tex]

Bonne chance
Alain

bridgslam

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Re : Assez gros entiers

Bonjour,

Voici ce que j'ai fait, mais je me demande s'il n'a pas moyen de tomber sur du moins gros "gibier" (j' en doute fort cependant).

Solution :
Donnons nous N.
En donnant une valeur convenable à x, on montre qu’alors aucun des N entiers
[tex] x +2 , …, x + (N +1 ) [/tex] n’est une puissance d’un nombre premier.

Si p est un nombre premier quelconque, et  [tex] i \in \{ 2,…, N+1 \} [/tex]  notons   [tex] v_{p} ( i )[/tex] la p-valuation de i.
Alors en notant [tex]\alpha_{p}[/tex] le max des [tex] v_{p} ( i )[/tex]  lorsque i décrit { 2,…, N+1 } , posons [tex]\beta_{p} = \alpha_{p} + 1[/tex]  (*) lorsque  [tex]\alpha_{p}  \ne 0[/tex]  ,  0 sinon.
Soit [tex] x = \prod_{p} p^{\beta_{p}} [/tex] ( produit nécessairement fini ).

Considérons [tex] x + i, \,\, où \, i \in  \{ 2,…, N+1 \} [/tex].
On va montrer que [tex] x + i [/tex] ne peut pas s’écrire sous la forme [tex] q^{λ} [/tex]  avec q premier et λ non nul.
Supposons donc le contraire : [tex] x + i = q^{λ} [/tex] avec q premier et λ non nul.

Comme [tex] i = \prod_{p} p^{v_{p}(i) } [/tex] ( par définition) et que [tex] v_{p}(i) < β_{p} [/tex] par construction , on est sûr que
[tex] i [/tex] divise [tex] x [/tex] , donc [tex] i [/tex] divise [tex]  x + i = q^{λ}  [/tex] .
Les entiers [tex] p [/tex] et  [tex] q [/tex] étant premiers, il s’ensuit que [tex] i [/tex] se réduit à [tex] q^{v_q}(i) [/tex] .

Alors [tex] x + i [/tex] se factorise en : [tex]  x + i = q^{v_q}(i) . ( 1 + q^{β_q - v_q(i) } . \prod_{ p \ne q } p^{\beta_{p} } ) [/tex]

Visiblement,  q ne peut diviser le facteur de droite  (supérieur strictement à 1)  sinon il diviserait 1.
On aboutit à une absurdité:
En effet, puisque par hypothèse [tex] x + i = q^{λ} [/tex] , le facteur de droite  doit être divisible par [tex] q [/tex] puisque égal à [tex] q^{λ - v_q(i) } [/tex] .

Conclusion : l'entier [tex] x = \prod_{p} p^{\beta_{p} }  [/tex] ( produit nécessairement fini ) convient.

Exemple : [tex] N = 20 [/tex]
Les nombres premiers « qui jouent » pour 2, 3,…, 21 sont :
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 ( premiers inférieurs ou égaux à 21 ).
Les valuations max en rapport sont :
4 ( à cause de 16 ), 2 ( pour 9 et 18 ) , puis 1 pour tous les autres.
On prend donc pour x le nombre [tex] 2^5 3^3 5^2 7^2 11^2 13^2 17^2 19^2 [/tex], les exposants étant pris comme les
valuations max incrémentées de 1.
D’après la preuve précédente, aucun des 20 entiers consécutifs [tex] x +2, x +3, … , x +20, x + 21 [/tex]  n’est
une puissance d’un nombre premier. Je l'ai vérifié pour m'amuser avec le site Wolfram.
L'inconvénient est d'obtenir des valeurs énormes...

Cordialement,
Alain