Forum de mathématiques - Bibm@th.net

bridgslam

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presque contenu

Bonjour,

Un exercice du cours de maths de Choquet (Gustave) m'interpelle mais la solution ne me saute pas aux yeux:
Etant donnée une famille dénombrable de parties infinies de N totalement ordonnée [par la relation "presque contenu"] montrer qu'il existe une partie infinie de N presque contenue dans toutes les autres.

La relation (de préordre) A "presque contenue dans" B  signifie que A \ B est finie (A est contenu dans B à quelques points près).

On peut voir dans un premier temps que la relation est réflexive et transitive (facile).
Quelqu'un a-t-il une idée pour la question principale ?

Merci pour toute idée.

Dernière modification par yoshi (31-08-2020 09:31:13)

Fred

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Re : presque contenu

Bonjour,

  Je dois rater quelque chose.... Si je note $A_n=2^n \mathbb N$ et $N=\{A_n:n\geq 0\}$, alors $N$ est un ensemble totalement ordonné pour la relation presque contenue, non? Et je ne vois pas de partie infinie de $N$ presque contenue dans toutes les autres.

F.

Rodot

Invité

Re : presque contenu

Bonjour,

Et merci pour vous être intéressé à la question.
Vôtre famille dénombrable d' ensembles est donc: les entiers, les entiers pairs, les entiers multiples de 4 etc, qui sont emboîtés.
Effectivement si X est un ensemble d'entiers infini répondant à la question, ceux impairs étant en nombre fini, à partir d'un certain rang ils sont tous pairs, et alors ensuite un sur deux ( donc une infinité quand-même) n'est pas multiple de 4.
Vôtre  contre-exemple fonctionne mais je préfère expliciter même si c'est quasi-trivial.
Quelque chose doit donc clocher dans l'énoncé ( livre disponible en ligne, "cours de mathématique de G. Choquet, exercice chapitre 1 ).
Etonnant pour un membre (sauf erreur ) de l'académie des sciences, ou alors c'est l'éditeur qui a m...é.
Je n'avais pas cherché de contre-exemple, mais mon cousin (qui est dans les maths, surtout en analyse ) m'avait aussi suggéré une erreur possible d'énoncé.
Bonne fin de journée.

bridgslam

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Re : presque contenu

Re- bonjour,

Excuses, il y a une faille dans mon raisonnement ( on n'est pas obligé de prendre tous les pairs après le plus grand impair...).
Par-contre la partie X = { 1 , 2 , 4 , 8 , 16 ,... } vérifie la propriété.
X\N = vide,  X\2N = {1},  X\4N = { 1 , 2 } , ... X\2ⁿN = l'ensemble des entiers dans X inférieurs à 2ⁿ etc.
Et X est bien infini et pour tout n   X\2ⁿN est fini..

Ton contre-exemple est donc faux sauf erreur.
Cordialement.
Alain

Fred

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Re : presque contenu

Certes, mais $X$ n'est pas un élément de la famille de départ, ce que demande ta question initiale....

bridgslam

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Re : presque contenu

Bonjour Fred,

Oui, du coup je comprends mieux ta première réponse avec ce point de vue ( avec ta notation N notamment qui désignait la famille et non l'ensemble naturel N).
Mais que X ne soit pas exigé dans la famille est évident: quasi toute famille str. décroissante ( dont tu donnes un exemplaire particulier )
du style A0 contient A1 contient A2 contient .... etc , et même sans se situer dans N, conduira à une impossibilité évidente dans le sens où tu le prends  ( avec un choix de famille afin que chaque Ai \ Aj  soit  infini tout de même ) .
Désolé si je n'ai pas été plus précis (ou ambigu). Je reprends donc l'énoncé pour la peine que tu t'es donnée, et qui donne tout l'intérêt à la question, que je trouve très intéressante sur un plan ensembliste.
Un ensemble A est dit presque contenu dans un ensemble B ssi A\ B est fini.
Etant donnée une famille ( Ei) dénombrable de parties infinies de N, famille totalement ordonnée par la relation "presque contenue", montrer qu'il existe une partie X infinie de N qui est contenue dans tous les Ei.
Là je ne peux pas être plus clair j'espère.
En fait la relation binaire n'étant pas anti-symétrique ( elle tout de même réflexive et transitive, ce qui est déjà intéressant à montrer ),
selon la logique, le fait déjà de parler de famille totalement  "ordonnée" sous entend la chose suivante ( de deux choses l'une, disjonction des cas ):
Soit un des Ei est presque contenu dans tout Ej, et la question est résolue avec X = Ei.
Soit pour tout Ei, il existe un Ej tel que Ei\Ej est infini, et forcément Ej\Ei est fini pour que la relation soit totale.
Il faut alors construire une partie X dans N ( ensemble des entiers naturels ) vérifiant la propriété.
J'espère avoir été plus clair et que ces quelques remarques aideront pour trouver X.
Cordialement,
Alain

bridgslam

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Re : presque contenu

Bonjour,

On peut aussi lire l'énoncé original dans le bouquin de Choquet ( cours de mathématique ), chapitre 1, disponible par exemple sur pdf drive, ou si on est riche chez Ellipses entre autres.
La plupart des exos sont très didactiques et faisables avec toutefois un peu d'imagination parfois.
Mais quelques uns ( tel celui-ci) donnent du fil à retordre si on veut être propre dans la résolution.
Je n'ai pas de solution claire pour l'heure.

Cordialement
Alain

bridgslam

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Re : presque contenu

Bonjour,

Une idée serait de piocher un élément x_i quelconque dans l'intersection pour j différent de i  des ( E_j \ E_i ),
partie que je note F_i.
On aurait bien un ensemble infini dont le seul ( donc fini) élément non dans E_i serait justement x_i.
Mais il faudrait pour cela que pour tout i, F_i soit non vide, ce qui ne me semble pas couler de source.
Enfin c'est une idée, peut-être à creuser.

Cordialement,
Alain

yoshi

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Re : presque contenu

RE,

Oui, du coup je comprends mieux ta première réponse avec ce point de vue ( avec ta notation N notamment qui désignait la famille et non l'ensemble naturel N).

Alors j'imagine que tu n'as pas remarqué que beaucoup ici, les habitués en particulier - dont Fred le fondateur du site - font usage du code Latex, lien figurant, pour une page d'initiation, en bas à gauche de la boîte de rédaction des messages.
Avec ce codage, il y a l'ensemble $N$ quelconque et l'ensemble $\mathbb N$ des entiers naturels, tu vois mieux la différence ? ;-)

@+

bridgslam

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Re : presque contenu

Bonjour,

La première approche brute ( sans adaptation en tous cas ) est vouée à l'échec puisque de toute façon dès qu'il existe un E_j
réellement inclus dans E_i  ( par exemple pour une suite dénombrable emboitée comme dans l'exemple de Fred ) E_j \ E_i sera vide, et l'intersection finale aussi.
On doit donc restreindre intelligemment cette intersection, si la piste est bonne en tous cas...
On peut aussi se demander ( puisqu'on est dans [tex]\mathbb{N}[/tex] ) si on peut exploiter la suite des minimums de chaque E_i,
à l'instar du contre contre-exemple (si je puis dire ) pour l'exemple de Fred, dont on aimerait généraliser la démarche.
En gros j'ai l'impression de tourner autour du pot ( hélas ).

Cordialement,

Alain

bridgslam

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Re : presque contenu

Bonjour,

Pour conclure la question, je raisonne de la façon suivante ( l' idée en soi est simplissime, mais délicate à formaliser ), cette méthode se rapproche en fait du contre-contre-exemple fourni à Fred.
Comme déjà dit, s'il existe un indice i tel que pour tout j  E_i est presque contenu dans E_j la question est résolue.
Dans le cas contraire, pour tout i, il existe un indice j tel que E_j est infini et E_i \ E_j fini ( hypothèse H).

Chaque E_i ( partie de [tex]\mathbb{N}[/tex]  ) étant rangée suivant l'ordre naturel des entiers, et possédant un plus petit élément (ppe) , considérons en une  parmi la famille (pour démarrer quelque part ) ayant ce ppe.
Je l'appelle Numéro 0 (N₀ ) et note son ppe m₀.
Pour "serrer au plus près sans en sauter dans la famille"  N₀, je considère un ensemble de  la famille donnée( nommé N₁)
telle que N₀ \ N₁ soit fini et minimum. C'est donc possible d'après H.
N₀ étant infini, à partir d'un certain élément dans cet ensemble, ils sont tous dans N₁.
Je prends cet élément s'il est strictement supérieur à m₀( ou son suivant  on n'est pas à ça près avec un ensemble infini...),
et je le nomme m₁.
On continue indéfiniement ainsi, à l'étape k par exemple, on obtient une infinité d'éléments présents dans E₀, E₁, ... E_k.
En posant X = { m₀, m₁, ... } ( infini ) (en suivant cette construction), on se rend compte que pour i fixé à l'avance,
m_i, m_i+1, .... sont tous dans E_i, et donc que X\E_i est inclus dans l'ensemble de ceux qui précédent m_i, donc en nombre fini.
Ainsi, pour tout i, X est presque contenu dans E_i.
Le fait de considérer un Card( E_i \ E_j ) minimum à chaque étape permet de ne pas en oublier dans la famille, càd
les suivre en respectant l'ordre "presque contenu" sans en sauter un seul.
Ma difficulté était de parcourir toute la famille dans un ordre adéquat ( l'ordre ici n'est pas dense, malgré une apparence trompeuse,  contrairement par exemple à  d'autres ensembles dénombrables, comme [tex]\mathbb{Q}[/tex], grâce à la propriété de finitude des différences (\) qui se révèle assez forte.
Cordialement
Alain

bridgslam

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Re : presque contenu

Bonjour,

[ Dans le cas contraire, pour tout i, il existe un indice j tel que Ej est infini et Ei \ Ej fini ( hypothèse H).  ]
Lire bien sûr E_j \ E_i infini (coquille).
Mes excuses les plus plates...
Alain

bridgslam

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Re : presque contenu

Bonjour,

Si on veut résumer la méthode en estompant au maximum le formalisme, on fabrique une suite ( m_i ) d'entiers naturels, strictement croissante,
qui parcourt tous les indices i de la famille, et telle que pour chaque i, m_i appartienne à
tous les E_j pour j [tex]\le[/tex] i.
Les hypothèses ( et dans le cas a priori défavorable où il n'existe pas de E_i presque-contenu dans tous les E_j  ) permettent de s'assurer qu'on peut faire cette échafaudage.
L'ensemble X des éléments de cette suite répond à la question puisque infini, et que pour tous i, j,  i [tex]\lt[/tex] j => m_j [tex]\in[/tex] E_i ( X\E_i est donc fini [tex]\forall[/tex] i ), donc presque contenu dans tous les E_i.

Cela ne fait que généraliser le contre-contre-exemple dans la discussion avec Fred:
La différence majeure est que dans l'exemple de Fred, on parcourt naturellement toute la famille donnée suivant l'indice des exposants de 2,
dans le cas général il faut bien s'arranger pour définir un critère de parcours sans en sauter.
La toile, après moult essais infructueux, n'évoque pas apparemment de correction de cet exercice, ni de manière plus générale cette notion de "presque contenu", sauf erreur ( j'ai cherché dans les wiki, les vieux bouquins géniaux comme Ovaert/Chambadal ... niet).
Bien-sûr la notion n'a d'intérêt je pense que dans le cadre d'un ensemble infini ( les entiers ici ), sinon n'importe quoi est toujours presque contenu dans n'importe quoi.

Cordialement,
Alain