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Sh15

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Variables aléatoires

Bonjour,

Voici l’énoncé :

Deux joueurs lancent chacun n fois Une pièce équilibrée. On note X le nombre de faces obtenues par le premier joueur et Y celui du second.

1.Calculer P(X=Y)
2. En déduire P(X=<Y)

On sait que X suit une loi binomiale de paramètres n et 1/2, tout comme Y.

En utilisant l’indépendance de X et Y, j’ai trouvé P(X=Y) = (1/4)*(n parmi 2n)

Pour répondre à la question 2, j’ai dit que P(X=<Y) = {somme pour i allant de O à n}*{somme pour j allant de i+1 à n} de P(X=i ; Y=j)
Après calculs je tombe sur (1/4)* 2^n *{somme pour j allant de i+1 à n} de (j parmi n)

Mais je n’arrive pas à continuer le calcul. Surtout je n’ai pas utilisé la première question...

Merci de votre aide.

Dernière modification par Sh15 (20-08-2020 16:38:55)

valoukanga

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Re : Variables aléatoires

Bonjour !

D'abord, il me semble qu'il y ait une erreur dans ton calcul pour la première question, la bonne réponse est $\displaystyle \frac{\binom{2n}{n}}{2^{2n}}$. Revois ton calcul, et si jamais tu ne trouves pas ton erreur, je t'aiderai.

Pour ce qui est de la deuxième question, il faut penser à une petite astuce : $P(X > Y) = P(Y > X)$ (facile à voir). Et en utilisant le fait que $P(X=Y) + P(X > Y) + P(Y > X) = 1$ et la première question, le résultat suit immédiatement !

Sh15

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Re : Variables aléatoires

Bonjour,

Merci pour votre réponse.
J’ai trouvé mon erreur dans la 1ère question.

Pour la deuxième question, j’ai obtenu P(X<Y) = 1/2 - (1/2²ⁿ⁺¹)* (n parmi 2n)

Donc on peut calculer P(X=<Y) = P(X<Y) + P(X=Y)

freddy

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Re : Variables aléatoires

Salut,
Je vais essayer d’illustrer la première question. Considère la variable aléatoire Z = X - Y. Cette variable aléatoire prend toutes les valeurs entières comprises entre - n et + n. C’est évidemment une loi binomiale de paramètre $1/4$.
De fait, tu retrouves la réponse de valoukanga.
Pour la réponse à la deuxième question, perso, je t’aurais quand même laissé un petit peu chercher avant de te donner une indication aussi précise que celle qu’on t’a donnée.

Dernière modification par freddy (20-08-2020 17:59:05)

freddy

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Re : Variables aléatoires

Bonjour,

Merci pour votre réponse.
J’ai trouvé mon erreur dans la 1ère question.

Pour la deuxième question, j’ai obtenu P(X<Y) = 1/2 - (1/2²ⁿ⁺¹)* (n parmi 2n)

Donc on peut calculer P(X=<Y) = P(X<Y) + P(X=Y)

Re,

Non, c’est inexact, regarde mieux ce que tu fais et ce que tu écris !

Dernière modification par freddy (20-08-2020 18:02:44)

valoukanga

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Re : Variables aléatoires

Salut !

Bon, pour l'indication de la deuxième question, elle était un peu trop précise, mais je ne voyais pas trop quoi donner d'autre...

Sh15

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Re : Variables aléatoires

Bonjour,

Si j’utilise la formule donnée par valoukanga j’obtiens P(X<Y) = (1/2)*(1-P(X=Y)) = (1/2)*[1-(1/4ⁿ)*(n parmi 2n)]

On sait aussi que (X=Y) = (X=<Y) \ (X<Y) et comme (X<Y) est inclus dans (X=<Y) on a P(X=Y) = P(X=<Y) - P(X<Y).

freddy

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Re : Variables aléatoires

Salut,
Je vais essayer d’illustrer la première question. Considère la variable aléatoire Z = X - Y. Cette variable aléatoire prend toutes les valeurs entières comprises entre - n et + n. C’est évidemment une loi binomiale de paramètre $1/4$.
De fait, tu retrouves la réponse de valoukanga.
Pour la réponse à la deuxième question, perso, je t’aurais quand même laissé un petit peu chercher avant de te donner une indication aussi précise que celle qu’on t’a donnée.

Je viens d’écrire des bêtises et j’en suis désolé, le truc est faux.

En réalité, la proba d’avoir autant de pile pour chaque joueur est constante et égale à 1/2. Pour s’en convaincre, il suffit de faire quelques parties. Intuitivement, il n’y a pas de raison que ce soit autrement.
Exemple ils jouent chacun une fois : ils peuvent avoir chacun 0 P ou 1 P soit 2/4=1/2.
Ils jouent chacun 2 fois et donc avoir 0 ou 1 ou 2 P soit 4/8=1/2 en dénombrant bien les 4 cas favorables sur les 8 possibles.
De proche en proche, on établit le résultat annoncé. Du coup, la question 2 est assez rapide du fait de la remarque de valoukanga.
Il fait trop chaud :-)

valoukanga

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Re : Variables aléatoires

C'est bon @Sh15 ! Reste plus qu'à conclure.

@freddy, la chaleur m'a fait accepté ce que tu as raconté, du coup c'est aussi un peu de ma faute ;)

freddy

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Re : Variables aléatoires

C'est bon @Sh15 ! Reste plus qu'à conclure.

@freddy, la chaleur m'a fait accepté ce que tu as raconté, du coup c'est aussi un peu de ma faute ;)

Pas grave, l’important est de corriger nos erreurs dès qu’on s’en aperçoit !

astro400

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Re : Variables aléatoires

En réalité, la proba d’avoir autant de pile pour chaque joueur est constante et égale à 1/2. Pour s’en convaincre, il suffit de faire quelques parties. Intuitivement, il n’y a pas de raison que ce soit autrement.
Exemple ils jouent chacun une fois : ils peuvent avoir chacun 0 P ou 1 P soit 2/4=1/2.
Ils jouent chacun 2 fois et donc avoir 0 ou 1 ou 2 P soit 4/8=1/2 en dénombrant bien les 4 cas favorables sur les 8 possibles.)

Bonjour pas d' accord! Si chacun lance 2 fois la pièce il y a 16 tirages possibles equiprobables .On va les coder par un mot abcd  où ab est le tirage du premier joueur et cd du second. Il y a 6 tirages favorables seulement:
1 tirage avec 2 Faces par joueur FFFF
4 tirages avec 1 face par joueur FPFP,FPPF, PFFP,PFPF
1 tirage avec 0 face par jouer PPPP
Donc cette probablité est bien les 6/16 de la formule de Valoukanga.

Une preuve de cette formule. Imaginons n lancés pour chaque jouer. L'événement X=Y est la réunion   disjointe des événements X=Y=k pour k de 0 à n. Comme X et Y sont indépendantes on a P(X=Y=k)=P(X=k).P(Y=k).
X et Y suivent  une loi binomiale de parametre (n,1/2).
On a donc P(X=Y)= $\sum_{k=0}^{n}(\frac{\binom{n}{k}}{2^n})^2$ et on obtient la formule en utilisant l’identité  $\sum_{k=0}^{n}(\binom{n}{k})^2=\binom{2n}{n}$. On peut par exemple montrer cette identité en comptant de 2 façons différentes le nombre de parties  à n éléménts de l ensemble {1,2,...,2n}. C est  d' une part $ \binom{2n}{n}$. D'autre part on peut écrire que ce sont les les parties où on a k elements dans {1,..,n} et n-k dans {n+1,..,2n} pour k variant de 0 à n. ce qui fait bien la somme indiqué puisque $\binom{n}{n-k}=\binom{n}{k}$.

astro400

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Re : Variables aléatoires

On peut aussi montrer la même identité en indiquant que $\binom{2n}{n}$ est le coefficient de $x^n$ dans développement de $(1+x)^{2n}$ . En écrivant que $(1+x)^{2n}=(1+x)^n (1+x)^n$ on peut obtenir $x^n$ dans le produit à partir de $x^k$ dans la première parenthèse et $x^{n-k}$ dans la seconde pour k variant de 0 à n. D'où l identité.

freddy

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Re : Variables aléatoires

PPPP. Ok
PPPF
PPFF
PFPP
PFPF. Ok
PFFP  Ok
PFFF
FPPP
FPPF. Ok
FPFP. Ok
FPFF
FFPP
FFPF
FFFP
FFFF. Ok

C’est dommage j’aimais bien mon idée vu le contexte dans lequel j’essaye de la projeter sans papier ni crayon ... ça occupe l’esprit mais il faut être en bonne condition :-)

astro400

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Re : Variables aléatoires

Bonjour, après un peu   de réflexion l' expression correspond obtenue correspond à la probabilité que Z=n où Z est une v.a.  qui suit une loi binomiale  de paramètres (2n, 1/2).
Peut on en trouver une interprétation directe?
Considérons la suite X₁..X_n Y₁...Y_n des tirages de Bernoulli du joueur 1 suivi de ceux de ceux du joueur 2 ( 1 si le tirage est Face 0 sinon).  Associons à un tel tirage  une suite de 2n  épreuves de Bernoulli  définie ainsi :
pour i=1 jusqu'à n si Z_i=X_i , pour i=n+1  jusqu'à 2n si Y_i=1-Y_i.
La suite  Z₁...Z_2n est une suite de 2n tirages de Bernoulli indépendants de probabilité 1/2. Baptisons Z  La somme des Z_i , i variant de 1 à 2n . La variable aléatoire Z suit donc une loi binomiale de paramètres ( 2n,1/2).
Si X est le nombre de Piles du premier joueur et Y celui du second  L’événement X=Y correspond à l’événement Z=n . CQFD

En fait la variable aléatoire Z vaut Z= X+n-Y.