Forum de mathématiques - Bibm@th.net

carole

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Extension d'une fonction. [Résolu]

Bonjour.
Soit $X$ un espace topologique et soit $M$ un sous ensemble de $X$.
$f$ est une fonction continue de $M$ dans $\R$.
Dans le cas général $f$ n'admet pas une extension continue sur $X$ dans $\R$.
Je me demande si on peut trouver une extension continue dans le cas suivant:
$X$ étant un espace de Fréchet et $M$ est dense dans $X$.
Merci.

Barbichu

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Inscription : 15-12-2007

Messages : 405

Re : Extension d'une fonction. [Résolu]

Hello, si je ne m'abuse, voici un contre-exemple :
Soit X = R est bien un espace de Frechet (et même de Banach)
Soit M = R\{0}, qui est bien dense dans X=R
Soit f : x -> 1/x, qui est bien continue sur M
Et poutant impossible de prolonger f à R tout entier.
(J'ai le sentiment d'oublier de prendre quelque chose en compte ...)
++

carole

Membre

Inscription : 07-12-2007

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Re : Extension d'une fonction. [Résolu]

Bonsoir.
Merci tu as raison.

Fred

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Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 349

Re : Extension d'une fonction. [Résolu]

Salut,

  En revanche, on a le théorème suivant :
Si X est un em, Y un espace métrique complet,
M une partie dense de X, et f:M->Y uniformément continue,
alors f admet une (unique) extension uniformément continue à X tout entier.

C'est notamment souvent utilisée pour prolonger des applications linéaires continues
(qui sont automatiquement uniformément continues).

Fred.