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yoshi

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Re : Dm produit scalaire

Bonjour,

Je vois que tu es revenu (je t'ai déjà vu passer, hier je crois) et en bon état... Parfait !

$\sin(\pi+x) = \sin(-x)$  et  $\cos(\pi+x) = -\cos(x)$

Pas terminé...
$\sin(\pi+x) = \sin(-x)=$$-\sin(x)$

J'ai une démo dans le même style que les précédentes :
$\cos(\pi+x)=\cos(2\pi-pi+x)=\cos(2\pi-(\pi-x))$
Les cos (et les sin) étant définis modulo $2\pi$, je peux écrire  :
$\cos(2\pi-(\pi-x))=\cos(-(\pi-x))$
J'ai donc :
$\cos(\pi+x)=\cos(2\pi-pi+x)=\cos (2\pi-(\pi-x))=\cos(2\pi-(\pi-x))=\cos(-(\pi-x))$
Mais on a déjà vu (on a même commencé par là) que $cos(-\alpha)=\cos(\alpha)$
Donc
$\cos(\pi+x)=\cos(2\pi-pi+x)=\cos (2\pi-(\pi-x))=\cos(2\pi-(\pi-x))=\cos(-(\pi-x))=\cos(\pi-x)$
                 $=-\cos(x)$

Plus court.
$\cos(\pi+x)=\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{2}+x\right)=\cos\left[\dfrac{\pi}{2}+\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)\right]=-\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)=-\cos(x)$

Saurais-tu imiter l'un ou l'autre pour $\sin(\pi+x)$ ?

@+

yannD

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Re : Dm produit scalaire

$\sin(\pi+x) = \sin(2\pi -\pi+x) = \sin(2\pi $$-$$ (\pi-x))$
$\sin(2\pi - (\pi-x ) ) = \sin($ $-$$(\pi-x) ) $
$\sin(\pi+x ) = \sin(2\pi -\pi+x) = \sin(2\pi $$-$$ (\pi-x)) = \sin\left(-(\pi-x) \right)$

1ère propriété :
$\sin(-x) = -\sin(x)$   // je prends l'opposé de l'ordonnée $\sin(x)$ pour avoir l'ordonnée de $\sin(-x)$

Puisque que  :  $\sin(-x) = -\sin(x)$   alors
$\sin(\pi+x)$$ = \sin(2\pi-(\pi+x) = \sin(2\pi-(\pi-x) = \sin(-\pi-x) =$$ -\sin(x)$

Dernière modification par yannD (25-05-2020 13:53:14)

yoshi

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Re : Dm produit scalaire

Re,

Bin te voilà rentré en pleine forme : tu avais besoin de cette coupure !
Parfait !
Alors ne t'arrête pas en si bon chemin et attaque la 2e décomposition, après quoi on passera aux calculs pratiques dont j'avais parlé...

@+

yannD

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Re : Dm produit scalaire

La 2e décomposition ?

yoshi

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Re : Dm produit scalaire

Oui, en partant cette fois de  $sin(\pi+x) =\sin\left[\frac{\pi}{2}+\left(\frac{\pi}{2}+x\right)\right]$

yannD

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Re : Dm produit scalaire

je dois dire que $\alpha = \left(\dfrac{\pi}{2} + x\right)$
c'est ça ?

Dernière modification par yannD (25-05-2020 14:50:19)

yoshi

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Re : Dm produit scalaire

oui

yannD

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Re : Dm produit scalaire

$\sin(\pi+x) =\sin\left[\frac{\pi}{2}+\left(\frac{\pi}{2}+x\right)\right]$
$\alpha = \left(\frac{\pi}{2} +x\right)$
$\sin(\pi+x) = \sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha \right)$

yoshi

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Re : Dm produit scalaire

Et ensuite ?

yannD

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Re : Dm produit scalaire

je trouve : $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{2} + x\right)$

je précise que j'ai trouvé ce résultat en faisant un dessin

Dernière modification par yannD (25-05-2020 16:06:50)

yoshi

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Re : Dm produit scalaire

Désolé, c'est faux...
Probablement dessin faux.
Contre exemple
sur mon dessin (pourtant tracé à main levée),
si je prends un angle x = 30°
90+30 = 120
et 180+30 = 210
Je vois que sin(210)<0 et que cos(120)<0 donc -cos(120) >0

Donc il est impossible que sin(210)=-cos(120).

Adapte ce que je t'ai montré pour le cosinus :
$\cos(\pi+x)=\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{2}+x\right)=\cos\left[\dfrac{\pi}{2}+\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)\right]=-\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)=-\cos(x)$
au sinus.
Et va au bout : au bout il n'y aura plus que l'angle $x$, c'est le but du jeu.

yannD

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Re : Dm produit scalaire

$(\pi+x) = \frac{\pi}{2} + \left(\frac{\pi}{2}+x \right)$

$\sin(\pi+x) = \sin \left(\frac{\pi}{2} + \left(\frac{\pi}{2}+x \right) \right)$

$\sin$(210) < 0  et $\cos$(90+30) <0

$\sin(\pi+x) = \sin\left(\frac{\pi}{2}+\left(\frac{\pi}{2}+x\right) \right) = \cos \left(\frac{\pi}{2} + x\right)$

Propriété 3 : $\cos\left(\frac{\pi}{2} + x \right) =$ $-\sin(x)$

Puisque $\cos\left(\frac{\pi}{2} + x \right) =$ $-\sin(x)$ alors $\sin(\pi+x) =  $$-\sin(x)$

Dernière modification par yannD (25-05-2020 17:31:04)

yoshi

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Re : Dm produit scalaire

Re,

C'est bon.

Calculer :
$A =\cos\left(\frac{\pi}{7}\right)+\cos\left(\frac{9\pi}{7}\right)+\cos\left(\frac{15\pi}{7}\right)+\cos\left(\frac{23\pi}{7}\right)$

$B=\sin\left(\frac{\pi}{5}\right)-\sin\left(\frac{4\pi}{5}\right)+\sin\left(\frac{6\pi}{5}\right)+\sin\left(\frac{11\pi}{5}\right)$

Il faut te servir des formules (avec les angles associés) qu'on vient de voir...

@+

[EDIT]
Retourne voir la fin du #269...

Dernière modification par yoshi (26-05-2020 14:48:59)

yannD

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Re : Dm produit scalaire

Bonsoir Yoshi, pour $\cos\left(\frac{\pi}{7}\right)$, est-ce que c'est ça :  https://zupimages.net/viewer.php?id=20/22/yf5n.png

yoshi

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Re : Dm produit scalaire

Bonsoir,

Tu vas être très déçu ? Surtout que tu y as mis du cœur...
$\dfrac{\pi}{7}\approx 12,857°$ Et après ? Ça va t'apporter quoi ?
Pas vraiment utile...
Tu n'avais quand même pas  l'intention soit de tout mesurer sur ton dessin, soit de tout additionner avec la calculatrice ?
Ça, n'importe quel élève de 4e est capable de le faire.
Que veux-tu en faire ? Difficile de le deviner....

Je reprécise donc la consigne, il te faut jouer avec les formules des angles associés...

Sont associés :
$x$ et $-x$        ---------------------> $\sin(-x)=-\sin(x)$  et  $\cos(-x)=\cos(x)(x)$

$x$  et  $\dfrac{\pi}{2}-x$ ---------------------> $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\cos(x)$  et  $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\sin(x)$

$x$  et  $\dfrac{\pi}{2}+x$ ---------------------> $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)=\cos(x)$  et  $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=-\sin(x)$

$x$  et  $\pi-x$  ---------------------> $\sin(\pi-x)=\sin(x)$  et  $\cos(\pi-x)=-\cos(x)$
et j'ai rajouté :
$x$  et  $\pi-x$  ---------------------> $\sin(\pi+x)=-\sin(x)$  et  $\cos(\pi+x)=-\cos(x)$

Tu dois te débrouiller avec ça...

Pour te montrer ce dont je voulais que tu t'inspires, je t'avais donné, je te l'ai redit et je te copies/colle ceci :

Simplifier $\sin\left(\dfrac{4\pi}{3}\right)+\sin\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)$
Je vais chercher à piocher dans les formules...
Observation :
je vois que
$\dfrac{4\pi}{3}> \pi$  : $\dfrac{4\pi}{3}=\dfrac{3\pi}{3}+ \dfrac{\pi}{3}=\pi+\dfrac{\pi}{3}$

$ \dfrac{\pi}{2}<\dfrac{2\pi}{3}<\pi$  : $\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{3\pi}{3}- \dfrac{\pi}{3}=\pi-\dfrac{\pi}{3}$

Donc :
$\sin\left(\dfrac{4\pi}{3}\right)+\sin\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=\sin\left(\pi+\dfrac{\pi}{3}\right)+\sin\left(\pi-\dfrac{\pi}{3}\right)=-\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)+\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=0$

------------------------------------------
$\sin^2\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)+\cos^2\left(\dfrac{7\pi}{3}\right)$
Observation :
je vois que
$ \dfrac{\pi}{2}<\dfrac{2\pi}{3}<\pi$  : $\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{3\pi}{3}- \dfrac{\pi}{3}=\pi-\dfrac{\pi}{3}$

$\dfrac{7\pi}{3}>2\pi$  : $\dfrac{6\pi}{3}+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\pi}{3}\;[2\pi]$
Donc :
$\sin^2\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)+\cos^2\left(\dfrac{7\pi}{3}\right)=\sin^2\left(\pi-\dfrac{\pi}{3}\right)+\cos^2\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\sin^2\left(\dfrac{\pi}{3}\right)+\cos^2\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=1$

Ce sera toujours un peu les mêmes astuces...

Ai-je utilisé un dessin ? Non...
Si c'est seulement pour t'aider à voir où se placent $\frac{9\pi}{7},\;\frac{15\pi}{7},\;\frac{23\pi}{7}$ par rapport à $\frac{\pi}{7}$ pourquoi pas, si tu ne peux pas trouver directement par le calcul.
Mais ça ne te dispensera pas de le montrer par le calcul... après !

@+

yannD

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Re : Dm produit scalaire

Bonjour Yoshi ,

$A =\cos\left(\frac{\pi}{7}\right)+\cos\left(\frac{9\pi}{7}\right)+\cos\left(\frac{15\pi}{7}\right)+\cos\left(\frac{23\pi}{7}\right)$

       1.$\cos\left(\frac{\pi}{7}\right) = \cos\left(-\frac{\pi}{7}\right)$
       2.$\cos\left(\frac{9\pi}{7}\right) = $
                        $\frac{9\pi}{7} = \frac{7\pi}{7} + \frac{2\pi}{7} = \pi + \frac{2\pi}{7}$
                        $\sin\left(\pi+x\right) = -\sin(x) $ donc $\sin\left(\pi+\frac{2\pi}{7}\right) = -\sin\left(\frac{2\pi}{7}\right)$
       
       3.$\cos\left(\frac{15\pi}{7} \right)= $
                        $\frac{15\pi}{7} = \frac{14\pi}{7} + \frac{\pi}{7} = 2\pi+\frac{\pi}{7}$

       4.$\cos\left(\frac{23\pi}{7}\right) = $
                        $\frac{23\pi}{7} =  \frac{21\pi}{7} + \frac{\pi}{7} = 3\pi+\frac{\pi}{7}$

Dernière modification par yannD (27-05-2020 13:01:28)

yoshi

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Re : Dm produit scalaire

Re,

$\cos\left(\frac{\pi}{7}\right) = \cos\left(-\frac{\pi}{7}\right)$ inutile, plus simple que $\frac{\pi}{7}$ impossible...
Pour les 3 suivants, toujours le même reproche :
As-tu répondu à la question ? Non... Alors qu'attends-tu ?

$\frac{23\pi}{7} =  \frac{21\pi}{7} + \frac{\pi}{7} = 3\pi+\frac{\pi}{7}$  Là, tu n'est pas dans les clous : le boulot n'est pas fini...

@+

yannD

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Re : Dm produit scalaire

$\dfrac{9\pi}{7} = \dfrac{7\pi}{7} + \dfrac{2\pi}{7} = \pi + \dfrac{2\pi}{7}$
$\sin\left(\pi+x\right) = -\sin(x) $ donc $\sin\left(\pi+\dfrac{2\pi}{7}\right) = -\sin\left(\dfrac{2\pi}{7}\right)$

yoshi

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Re : Dm produit scalaire

$\sin\left(\pi+\frac{2\pi}{7}\right) = -\sin\left(\frac{2\pi}{7}\right)$

L'énoncé de cet exercice ne contient que des cosinus...
Que vient donc faire là le $\sin\left(\pi+\frac{2\pi}{7}\right)$ ?

yannD

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Re : Dm produit scalaire

$\dfrac{9\pi}{7} = \dfrac{7\pi}{7} + \dfrac{2\pi}{7} =\left( \pi + \dfrac{2\pi}{7}\right)$
$\cos\left(\pi+x\right) = -\cos(x) $ donc $\cos\left(\pi+\dfrac{2\pi}{7}\right) = -\cos\left(\dfrac{2\pi}{7}\right)$

yannD

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Re : Dm produit scalaire

et pour les deux derniers, je dis que c'est 2 fois et 3 fois le tour du cercle don c que c'est modulo $\pi$

yoshi

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Re : Dm produit scalaire

Je te l'ai déjà dit : j'attends...

En outre, cos et sin étant définis modulo $2\pi$,  tu peux remballer ton modulo $\pi$...

yannD

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Re : Dm produit scalaire

$\dfrac{15\pi}{7} = \dfrac{14\pi}{7} +\dfrac{\pi}{7} = \left(2\pi+\dfrac{\pi}{7}\right) $
$\cos(\pi+x) = -\cos(x)$
$\cos\left(\dfrac{15\pi}{7}\right) =\cos\left(2\pi+ \dfrac{\pi}{7} \right)=\cos\left(\pi+\dfrac{\pi}{7} \right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{7}\right)$

$\dfrac{23\pi}{7} =  \dfrac{21\pi}{7} + \dfrac{2\pi}{7} = 3\pi+\dfrac{2\pi}{7}$
$\cos(\pi+x) = -\cos(x)$
$\cos\left(\dfrac{23\pi}{7}\right) =\cos\left(3\pi+\dfrac{2\pi}{7}\right) =  \cos\left(\pi+\dfrac{2\pi}{7}\right) = $$-\cos\left(\dfrac{2\pi}{7}\right)$

$A =\cos\left(\dfrac{\pi}{7}\right)+\cos\left(\dfrac{9\pi}{7}\right)+\cos\left(\dfrac{15\pi}{7}\right)+\cos\left(\dfrac{23\pi}{7}\right)$

      $A =  \cos\left(-\dfrac{\pi}{7}\right) -\cos\left(\dfrac{2\pi}{7}\right) -\cos\left(\dfrac{\pi}{7}\right) -\cos\left(\dfrac{2\pi}{7}\right)$

        $ A = 2 \cos\left(\dfrac{2\pi}{7}\right)$

Dernière modification par yannD (27-05-2020 14:52:41)

yoshi

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Re : Dm produit scalaire

Salut,

Je t'ai signalé aussi : $\cos\left(\dfrac{\pi}{7}\right)=\cos\left(-\dfrac{\pi}{7}\right)$ est inutile...
En fait c'était même dangereux :
ça t'a même empêché de voir, dans l'autre sens, que $\cos\left(-\dfrac{\pi}{7}\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{7}\right)$
Dommage !

$A =\cos\left(\dfrac{\pi}{7}\right)+\cos\left(\dfrac{9\pi}{7}\right)+\cos\left(\dfrac{15\pi}{7}\right)+\cos\left(\dfrac{23\pi}{7}\right)$

$\dfrac{9\pi}{7}=\pi+\dfrac{2\pi}{7}$

$\dfrac{15\pi}{7}=2\pi+\dfrac{\pi}{7}=\dfrac{\pi}{7}\quad [2\pi]$

$\dfrac{23\pi}{7}=2\pi+\pi+\dfrac{2\pi}{7}=\pi+\dfrac{2\pi}{7}\quad [2\pi]$

$A= \cos\left(\dfrac{\pi}{7}\right)+\cos\left(\pi+\dfrac{2\pi}{7}\right)+\cos\left(\pi+\dfrac{\pi}{7}\right)+\cos\left(\pi+\dfrac{2\pi}{7}\right)$

$A= \cos\left(\dfrac{\pi}{7}\right)-\cos\left(\dfrac{2\pi}{7}\right)+\cos\left(\dfrac{\pi}{7}\right)-\cos\left(\dfrac{2\pi}{7}\right)$

$A=2\cos\left(\dfrac{\pi}{7}\right)-2\cos\left(\dfrac{2\pi}{7}\right)$

Pas très satisfaisant je te l'accorde...
Alors, je modifie.

Simplifier :
$C=\cos\left(\dfrac{\pi}{7}\right)+\cos\left(\dfrac{5\pi}{7}\right)+\cos\left(\dfrac{8\pi}{7}\right)+\cos\left(\dfrac{12\pi}{7}\right)$
Le résultat doit être 0.

@+

Dernière modification par yoshi (27-05-2020 16:14:48)

yannD

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Re : Dm produit scalaire

$\cos(x)=\cos(-x)$
un réel et son opposé ont le même cosinus
donc $\cos\left(\frac{\pi}{7}\right) = \cos\left(-\frac{\pi}{7}\right)$