Dm produit scalaire

yoshi · 09-05-2020 11:00:58

Bonjour,

Je t'ai pourtant dit et répété :
pas de démonstrations attendues et tu vas comprendre pourquoi...

J'avais bien dit : que du visuel !!.
Et là tu as un gros problème !!!
Tu devrais faire d'urgence contrôler ta vue, soit pour acquérir des lunettes, soit pour en changer... ^_^
Parce que ça $cos(\pi-x) =\cos(x)$, ce n'est pas acceptable et ce n'est pas la première bourde de ce type...

Mois, je VOIS que
$\cos(\pi-x)=\overline{OH'}<0$
$\cos(x)=\overline{OH}>0$
Comment peux-tu écrire que $cos(\pi-x) =\cos(x)$ ? négatif = positif ?
Qu'est-ce qui t'arrive ?
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Démonstrations

Sans dessin et vrai quel que soit $x$ et modulo $2\pi$.
Pour le démontrer (ce que je ne te demandais pas), le plus simple est de se servir des résultats déjà établis :
$\pi-x=\dfrac{\pi}{2}+\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)$
Je décide d'appeler $\alpha$ l'angle $\dfrac{\pi}{2}-x$ :
$\alpha=\dfrac{\pi}{2}-x$
Donc je peux écrire :
$\pi-x=\dfrac{\pi}{2}+\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right) =\dfrac{\pi}{2}+\alpha$

Donc maintenant, je remplace la recherche de $\cos(\pi-x)$ par celle de $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)$ que tu viens d'établir :
$\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\sin(\alpha)$
Mais maintenant je vais utiliser le fait que j'avais posé $\alpha=\dfrac{\pi}{2}-x$
et je vais remplacer le premier par le second :
$\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\sin(\alpha)=-\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)$

C'est à dire que : $\cos(\pi-x)=-\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)$
Mais $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)$, on l'a vu aussi : $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\cos(x)$

Donc, je résume :
$\cos(\pi-x) =\cos\left[\dfrac{\pi}{2}+\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)\right]=-\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=-\cos(x)$
C''était donc faisable en 1 ligne, mais je t'ai séparé les étapes pour te permettre de suivre plus "facilement"...
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Avec le dessin pour $0<x<\dfrac{pi}{2}$
Démo déjà vue quand je t'avais démontré $\cos(135°)=-\cos(45°)$
Tu m'avais dit que tu l'apprenais, pourtant...
Et je t'avais répondu qu'il était préférable de comprendre avant de vouloir apprendre!
T'as oublié ?

$x=(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OM})$ (je peux tout aussi bien écrire $x=\widehat{IOM}$
Que vaut l'angle $(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{OJ})$ ? (ou encore $\widehat{MOJ}$)
Réponse : $\dfrac{\pi}{2}-x$

Que vaut l'angle $(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OM'})$ ? (ou encore $\widehat{IOM'}$)
Réponse : $\pi-x$
Alors que vaut l'angle $(\overrightarrow{OJ},\overrightarrow{OM'})$ (ou encore $\widehat{JOM'}$)
Réponse : $(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OM'})-(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OJ})$ (ou encore $\widehat{IOM'}-\widehat{IOJ}$)
c'est à dire $\pi-x-\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{2}-x$

Conclusion : $(\overrightarrow{OJ},\overrightarrow{OM'})=(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{OJ})$ (ou encore : $\widehat{JOM'}=\widehat{IOM}$)

La demi-droite (OJ) est donc la bissectrice de l'angle $\widehat{MOJ}$

De plus OM =OM'= rayon, le triangle MOM' est donc isocèle de sommet principal O.
Dans ce triangle, (OJ) est la bissectrice de l'angle au sommet, c'est donc aussi la médiatrice de la base :
$\widehat {OKM}=\dfrac{pi}{2}$
$\widehat {OKM'}=\dfrac{pi}{2}$
et KM=KM'

Par construction $\hat H$ et $\hat{H'}$ sont aussi des angles droits et $(OJ)\perp [I'I]$
Chacun des quadrilatères OJMH et OJM'H possède 3 angles droits ce : sont des rectangles
Donc KM= OH et KM'=OH'
De plus KM=KM"
Donc OH=OH'.
O est le milieu de [H'H] et comme $K \in [OI]$ et $H'\in [OI']$ alors $\overline{OH'}=-\overline{OH}$ et $\cos(\pi-x)=-cos(x)$

@+

yannD · 09-05-2020 13:05:31

Salut Yoshi, ce n'est pas un problème de vue, c'est un problème d'inattention, c'est un problème récurrent pour moi, et crois bien que je suis désolé.. J'ai oublié de mettre le signe - , et c'est certainement en écrivant les formules en Latex : en effet, il faut que je me concentre sur la réponse que je dois donner et sur l'écriture en Latex ...Mais j'ai bien compris que $\cos(\pi-x) =$ - $ \cos(x)$
Et, à cause de mon inattention, à chaque fois, et bien , cela t'oblige à me m'expliquer des choses que j'ai compris
( désolé) (I am sorry , sir)

Dernière modification par yannD (09-05-2020 13:10:34)

yoshi · 09-05-2020 13:34:03

Re,

Ok.
Mais ça, est-ce que tu l'as compris ?

Sans dessin et vrai quel que soit $x$ et modulo $2\pi$.
Pour le démontrer, le plus simple est de se servir des résultats déjà établis :
$\pi-x=\dfrac{\pi}{2}+\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)$
Je décide d'appeler $\alpha$ l'angle $\dfrac{\pi}{2}-x$ :
$\alpha=\dfrac{\pi}{2}-x$
Donc je peux écrire :
$\pi-x=\dfrac{\pi}{2}+\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right) =\dfrac{\pi}{2}+\alpha$
Donc maintenant, je remplace la recherche de $\cos(\pi-x)$ par celle de $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)$ que tu viens d'établir :
$\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\sin(\alpha)$
Mais maintenant je vais utiliser le fait que j'avais posé $\alpha=\dfrac{\pi}{2}-x$
et je vais remplacer le premier par le second :
$\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\sin(\alpha)=-\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)$
C'est à dire que : $\cos(\pi-x)=-\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)$
Mais $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)$, on l'a vu aussi : $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\cos(x)$
Donc, je résume :
$\cos(\pi-x) =\cos\left[\dfrac{\pi}{2}+\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)\right]=-\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=-\cos(x)$
C''était donc faisable en 1 ligne, mais je t'ai séparé les étapes pour te permettre de suivre plus "facilement"...

Si oui, te sens-tu capable d'essayer avec $\sin(\pi-x)$, avant de passer, mais toujours par lecture du dessin, à :
$\sin(\pi+x)$ et $\cos(\pi+x)$?

yannD · 09-05-2020 13:42:20

Je cherche à comprendre :

Sans dessin et vrai quel que soit $x$ et modulo $2\pi$.
Pour le démontrer, le plus simple est de se servir des résultats déjà établis :
$\pi-x=\dfrac{\pi}{2}+\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)$
Je décide d'appeler $\alpha$ l'angle $\dfrac{\pi}{2}-x$ :
$\alpha=\dfrac{\pi}{2}-x$
Donc je peux écrire :
$\pi-x=\dfrac{\pi}{2}+\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right) =\dfrac{\pi}{2}+\alpha$
Donc maintenant, je remplace la recherche de $\cos(\pi-x)$ par celle de $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)$ que tu viens d'établir :
$\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\sin(\alpha)$
Mais maintenant je vais utiliser le fait que j'avais posé $\alpha=\dfrac{\pi}{2}-x$
et je vais remplacer le premier par le second :
$\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\sin(\alpha)=\dfrac{\pi}{2}+\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)$
C'est à dire que : $\cos(\pi-x)=-\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)$
Mais $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)$, on l'a vu aussi : $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\cos(x)$
Donc, je résume :
$\cos(\pi-x) =\cos\left[\dfrac{\pi}{2}+\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)\right]=-\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=-\cos(x)$
C''était donc faisable en 1 ligne, mais je t'ai séparé les étapes pour te permettre de suivre plus "facilement"...

yannD · 09-05-2020 13:43:31

Est-tu d'accord pour que l'on revienne un chouiia sur la démonstration avec (90-x) ?

yoshi · 09-05-2020 13:52:35

Je ne vois pas ce qui peut t'arrêter puisque tu peux ne travailler qu'avec un triangle rectangle (tu ne parles pas de la démo ci-dessus, n'est-ce pas ?)...
Mais je "t'écoute"...

yannD · 09-05-2020 13:59:13

Si , je parle bien de la démo, ci-dessus, et j'ai envi de la comprendre
Mais , avant tout, j'aimerais re-venir sur $\cos(90-x)$ et $\sin(90-x)$ par ce que je me demande si je ne me suis pas trompé dans mon dessin
quand tu m'as demandé de répondre sur $\cos(90-x) $ et $\sin(90-x)$ ..
Donc , à partir de : https://zupimages.net/viewer.php?id=20/19/tk56.png , est-ce que (90-x) , c'est : https://zupimages.net/viewer.php?id=20/19/6oht.png

yoshi · 09-05-2020 14:28:11

1er dessin : ton $x$ est placé n'importe comment...

Qu'est-ce je t'ai écrit plusieurs fois ? Mais ça : $(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OM})=x$
Donc tu as la réponse à ta question sur le dessin 2...
Encore une preuve ?
Voilà (déjà donné 3 fois #218, #236 et \#244, version simplifiée du #195) :
https://www.cjoint.com/c/JEgre6Ln08W... Tu vois qui est $x$ ? Je l'ai toujours placé au même endroit, pourtant...
Quant à $(90-x)$
- dans le triangle MHO, c'est donc $\widehat{OMH}$ (ou encore $(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{OH})$
- hors du triangle MHO, c'est donc $\widehat{MOJ}$ (ou encore $(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{OJ})$

Mais est clair que si tu ne tiens pas compte des dessins fournis, que tu fais les tiens avec des notations différentes, on ne va trouver les mêmes résultats. La question que tu dois donc te poser est pourquoi tu n'as pas tenu compte du placement de $s$ que j'avais choisi (3 fois présenté)

yannD · 09-05-2020 14:46:32

Et bien , je n'avais rien compris...
Et j'ai bien fait de te le redemander, parce que , moi, jusqu'à présent, je pars de ce dessin :https://www.cjoint.com/c/JEgre6Ln08Wet je soustrais un angle de 90° ,

Donc : (90 - x) , c'est cet angle là : https://zupimages.net/viewer.php?id=20/19/wv1m.png
je n'avais rien compris au truc, et j'ai trouvé les bonnes réponses mais avec un autre dessin..

Dernière modification par yannD (09-05-2020 14:49:20)

yoshi · 09-05-2020 15:03:39

Bin oui, où veux-tu que soit l'angle $\widehat{MOJ}$ ?

et je soustrais un angle de 90°

Problème de français...
Pour la 2e fois, quand j'écris :
$\dfrac{\pi}{2}-x$
- je ne soustrais pas un angle de 90°
- je soustrais $x$ à un angle de 90°, parce que soustraire à 90 (à quoi ? à qui ?), c'est écrire : $\cdots - 90°$
c'est juste l'opposé...

je n'avais rien compris au truc

Pas d'accord du tout, mais alors pas du tout du tout du tout...
C'est un problème d'attention (concentration ?) :
par 3 fois fois #218, #236 et #244 je t'ai donné ce dessin version simplifiée du #195 :
https://www.cjoint.com/c/JEgre6Ln08W
Tu vois que j'ai toujours placé $x$ au même endroit, pourtant...
Alors trouve une autre explication parce que celle que tu donnes n'est pas recevable...
Désolé.

yannD · 09-05-2020 15:17:41

oui, ... je soustrais x à un angle de 90° ce qui me donne l'angle des vecteurs $(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{OJ)}$ mais après, je replace le vecteur $\overrightarrow{OM}$ sur le vecteur $\overrightarrow{OI}$ et le vecteur $\overrightarrow{OJ}$ se retrouve un peu en dessous du vecteur $\overrightarrow{OM}$ , donc ce que je faisais est faux..

yoshi · 09-05-2020 16:00:16

Re,

mais après, je replace le vecteur $\overrightarrow{OM}$ sur le vecteur $\overrightarrow{OI}

Pourquoi donc ? Qu'est-ce que c'est ce micmac ?
Le déplacement, s'y en a un ne doit être que mental ?
Tu n'arrives pas à voir que $(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{OJ})$ c'est aussi $\widehat{MOJ}$ avec l'ajout d'un signe ?

Bon, si c'est tout ce que tu voulais, alors où en es-tu de la compréhension de :

Sans dessin et vrai quel que soit $x$ et modulo $2\pi$.
Pour le démontrer, le plus simple est de se servir des résultats déjà établis :
$\pi-x=\dfrac{\pi}{2}+\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)$
Je décide d'appeler $\alpha$ l'angle $\dfrac{\pi}{2}-x$ :
$\alpha=\dfrac{\pi}{2}-x$
Donc je peux écrire :
$\pi-x=\dfrac{\pi}{2}+\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right) =\dfrac{\pi}{2}+\alpha$
Donc maintenant, je remplace la recherche de $\cos(\pi-x)$ par celle de $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)$ que tu viens d'établir :
$\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\sin(\alpha)$
Mais maintenant je vais utiliser le fait que j'avais posé $\alpha=\dfrac{\pi}{2}-x$
et je vais remplacer le premier par le second :
$\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\sin(\alpha)=\dfrac{\pi}{2}+\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)$
C'est à dire que : $\cos(\pi-x)=-\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)$
Mais $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)$, on l'a vu aussi : $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\cos(x)$
Donc, je résume :
$\cos(\pi-x) =\cos\left[\dfrac{\pi}{2}+\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)\right]=-\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=-\cos(x)$
C''était donc faisable en 1 ligne, mais je t'ai séparé les étapes pour te permettre de suivre plus "facilement"...

Es-tu prêt à essayer avec $\sin(\pi-x) ?

@+

yannD · 09-05-2020 16:20:29

Je ne suis pas prêt pour essayer avec $\sin(\pi-x)$
je bloque là où j'ai mis en rouge

Sans dessin et vrai quel que soit $x$ et modulo $2\pi$.
Pour le démontrer, le plus simple est de se servir des résultats déjà établis :
$\pi-x=\dfrac{\pi}{2}+$$\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)$
Je décide d'appeler $\alpha$ l'angle $\dfrac{\pi}{2}-x$ :
$\alpha=\dfrac{\pi}{2}-x$
Donc je peux écrire :
$\pi-x=\dfrac{\pi}{2}+\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right) =\dfrac{\pi}{2}+\alpha$
Donc maintenant, je remplace la recherche de $\cos(\pi-x)$ par celle de $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)$ que tu viens d'établir :
$\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\sin(\alpha)$
Mais maintenant je vais utiliser le fait que j'avais posé $\alpha=\dfrac{\pi}{2}-x$
et je vais remplacer le premier par le second :
$\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\sin(\alpha)=\dfrac{\pi}{2}+\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)$
C'est à dire que : $\cos(\pi-x)=-\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)$
Mais $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)$, on l'a vu aussi : $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\cos(x)$
Donc, je résume :
$\cos(\pi-x) =\cos\left[\dfrac{\pi}{2}+\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)\right]=-\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=-\cos(x)$
C''était donc faisable en 1 ligne, mais je t'ai séparé les étapes pour te permettre de suivre plus "facilement"...

Dernière modification par yannD (09-05-2020 16:21:52)

yannD · 09-05-2020 16:28:58

Je voudrais refaire le 2. $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)$ et $\sin(x)$ ; $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)$ et $\cos(x)$
parce que je t'ai donné des réponses en partant d'un dessin qui est faux
est - ce que $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)$ c'est le segment que j'ai mis en rouge : https://zupimages.net/viewer.php?id=20/19/d46o.png

Dernière modification par yannD (09-05-2020 16:32:47)

yoshi · 09-05-2020 17:54:27

As-tu réfléchi avant de poser ta question ?
Je ne crois pas !
1. On a choisi $x$ au hasard, donc quelconque tel que $0<x<90°$ pour faire le dessin. D'accord ?
2. Donc $0< 90-x<90$. D'ACCORD ?
3. On est sur le cercle trigonométrique donc OJ =1. D'accord ?
4. Donc ta question est équivalente à : << Est ce que, quel que soit x tel que $0<x<90$, $\sin (90-x)=1$ ?, autrement dit encore, est-ce que le sinus de cet angle vaut toujours 1 ? >>
Réponds à ta question !!!

▼A lire seulement après avoir répondu à la question

Je sens venir la palanquée de questions qui va me tomber sur la tête...

@+

yoshi · 11-05-2020 09:36:11

Salut,

Quand sauras-tu "à quelle sauce tu vas être mangé" :
- Accès au Self, si tu y allais avant ?
- Pauses-récréations ? (distanciation physique et port du masque obligatoires)
- Cours
* demi-groupes ? donc 1 sem/2...
* Le prof avancera-t-il le cours ou pas ? Et question subsidiaire : à quel rythme ?
Plus lent, le même, le plus rapide ?
Logiquement, au début plus lent, puis en accélérant la cadence selon la qualité du travail fourni par les confinés.
Moi, j'essaierai de faire un état des lieux c à d de voir ce qu'il en reste à chacun :
repartir "bille en tête" serait la quasi certitude d'en larguer un bon paquet en route...

yannD · 11-05-2020 13:05:28

Bonjour Yoshi, ce que j'ai compris, c'est la réintégration début Juin

yannD · 11-05-2020 13:07:11

j'attendais que tu m'en dise plus, parce que

yoshi · 11-05-2020 13:13:57

En tout cas, ce n'est pas le moment de lâcher prise...

Résumé de ce qu'on sait sur les angles orientés :
$\sin(-x) = -\sin(x)$ et $\cos(-x)=\cos(x)$ (les points M et M' sont symétriques par rapport à (I'I)).

$\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right) =\cos(x)$ et $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\sin(x)$ (les points M et M' sont symétriques par rapport à la bissectrice de $\widehat{IOJ}$.

$\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right) =\cos(x)$ et $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)=-\sin(x)$

$\sin(\pi-x) = \sin(x)$ et $\cos(\pi-x)=-\cos(x)$ (les points M et M' sont symétriques par rapport à (J'J)).

Il reste à voir (facile à trouver graphiquement) :
$\sin(\pi+x)$ et $\cos(\pi+x)$ (les points M et M' sont symétriques par rapport à O)...

N-B
Dans toutes ces formules, selon l'expression favorite de Zebulor, $x$ est une lettre muette : que je la remplace par $a$, $y$, $\alpha$, $\beta$, $\theta$... ces formules restent valables. OK ?

Je vais rejouer avec les formules précédentes pour répondre à $\sin(\pi+x)=?$...
Alors, je cherche parmi : $\dfrac{\pi}{2}-x$, $\dfrac{\pi}{2}+x$ et $\pi-x$, l'angle le plus intéressant à utiliser...

Et parce que je vais utiliser cela pour décomposer $\pi+x$ : $\pi+x=\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{2}+x$

Et pour que soit plus clair, je vais associer les deux derniers termes :
$\pi+x=\dfrac{\pi}{2}+\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)$ pour écrire : $\sin(\pi+x)=\sin\left[\dfrac{\pi}{2}+\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)\right]$
Rien ne m'interdit d'appeler $\alpha$, l'angle $\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)$

Pourquoi ?
Pour écrire : $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)$ à la place de $\sin\left[\dfrac{\pi}{2}+\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)\right]$
Pourquoi ?
Parce que dans $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)$ je reconnais l'une des formules ci-dessus où $\alpha$ est une lettre muette, un conteneur...
En effet : $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)=\cos(\alpha)$ où je vais m'empresser d'ouvrir le conteneur $\alpha$ et de le remplacer par son contenant :
$\sin\left[\dfrac{\pi}{2}+\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)\right]=\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)$

Mais $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)$, je connais aussi : $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)=-\sin(x)$

J'ai donc écrit que :
$\sin(\pi+x)=\sin\left[\dfrac{\pi}{2}+\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)\right]=\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)=-\sin(x)$
Soit :
$\sin(\pi+x)=-\sin(x)$

C'est clair ?
Alors tu as deux essais à faire...

Pour quoi faire tout ça ?
Exemples
Simplifier $\sin\left(\dfrac{4\pi}{3}\right)+\sin\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)$
Je vais chercher à piocher dans les formules...
Observation :
je vois que
$\dfrac{4\pi}{3}> \pi$ : $\dfrac{4\pi}{3}=\dfrac{3\pi}{3}+ \dfrac{\pi}{3}=\pi+\dfrac{\pi}{3}$

$ \dfrac{\pi}{2}<\dfrac{2\pi}{3}<\pi$ : $\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{3\pi}{3}- \dfrac{\pi}{3}=\pi-\dfrac{\pi}{3}$

Donc :
$\sin\left(\dfrac{4\pi}{3}\right)+\sin\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=\sin\left(\pi+\dfrac{\pi}{3}\right)+\sin\left(\pi-\dfrac{\pi}{3}\right)=-\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)+\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=0$

------------------------------------------
$\sin^2\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)+\cos^2\left(\dfrac{7\pi}{3}\right)$
Observation :
je vois que
$ \dfrac{\pi}{2}<\dfrac{2\pi}{3}<\pi$ : $\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{3\pi}{3}- \dfrac{\pi}{3}=\pi-\dfrac{\pi}{3}$

$\dfrac{7\pi}{3}>2\pi$ : $\dfrac{6\pi}{3}+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\pi}{3}\;[2\pi]$
Donc :
$\sin^2\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)+\cos^2\left(\dfrac{7\pi}{3}\right)=\sin^2\left(\pi-\dfrac{\pi}{3}\right)+\cos^2\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\sin^2\left(\dfrac{\pi}{3}\right)+\cos^2\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=1$

Ce sera toujours un peu les mêmes astuces...

yannD · 11-05-2020 16:22:16

Salut, pour la démonstration sans dessin # 251
tu remplaces la recherche de $\cos(\pi-x)$ par la recherche de $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)$
et sur mon dessin, pour le calcul de $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+ x\right)$ la longueur sur l'axe des cosinus n'est pas la même que la longueur du cosinus pour $\cos (\pi-x) $ donc on ne peut pas dire que $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right) = -\sin(x)$ , ??

Dernière modification par yannD (11-05-2020 16:22:32)

yoshi · 11-05-2020 19:17:28

Salut,

Là, sur un dessin, pas simple de suivre la démonstration, tu as dû te mélanger les crayons...
Je ne crois pas avoir écrit :
$\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right) = -\sin(x)$
Je vais vérifier une 2e fois, quand même.

En attendant
Parmi les propriétés déjà vues à ce stade, il y a $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right) = -\sin(x)$ D'accord ?
$x$ étant une lettre muette, selon l'expression favorite de Zebulor, que je la remplace par $a$, $y$, $\alpha$, $\beta$, $\theta$... cette formule reste valable. OK ?

Donc j'ai le droit d'écrire $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right) = -\sin(\alpha)$ Toujours d'accord ?

Mais j'avais décidé que ma lettre muette $\alpha$ était mise pour $\dfrac{\pi}{2}-x$ Tu suis toujours ?

Alors, dans l'égalité précédente, je vais remplcer $\alpha$ par $\dfrac{\pi}{2}-x$ et j'obtiens :
$\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{2}-x\right) = -\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)$
soit :
$\cos(\pi-x) = -\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)$ Oui/ Non ?
Or je sais encore que :
$\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\cos(x)$ Oui/ Non ?

Donc $\cos(\pi-x) = -\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=-\cos(x)$ Oui/Non ?

@+

[EDIT] J'ai écrit : $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\sin(\alpha)$ et non : $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\sin(x)$
Je vais tenter de faire un dessin pour ma démo...

[EDIT2]https://www.cjoint.com/c/JEltQXsk5YW
$x$ est l'angle rouge.
Tu dois voir que l'angle orange noté $pi/2-x$ est aussi l'angle $\alpha$
Tu dois voir que le rayon orange (côté de l'angle $\alpha=\dfrac{\pi}{2}-x$) et le rayon bleu (côté de l'angle $\pi-x$) sont perpendiculaires donc qu'on a bien sur le dessin $\pi-x=\dfrac{\pi}{2}+\alpha$...

Pour une fois, le recours au dessin complique un peu les choses, mais ce n'est que mon avis !

Dernière modification par yoshi (11-05-2020 19:19:51)

yannD · 12-05-2020 12:43:59

Bonjour Yoshi, tu as raison , j'ai dû me mélanger les crayons...tu n'as pas écrit $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right) = -\sin(x)$
c'est moi qui me suis me trompé ..
et pour $\pi-x$ , je suis parti de ce dessin : https://www.cjoint.com/c/JEgre6Ln08W
voici ce que j'ai fait pour $\pi-x$ : https://zupimages.net/viewer.php?id=20/20/fin9.png

Dernière modification par yannD (12-05-2020 12:47:06)

yannD · 12-05-2020 13:45:53

Yoshi, je vais pas pouvoir répondre tout de suite, il faut que j'aille dans ma famille et je n'aurais pas la wi-fi.
j'espère que le déconfinement se passe bien pour toi et pour tes proches, mes parents te remercie pour l'aide que tu m'as apporté pendant cette période, grâce à toi, j'ai fait beaucoup de progrès

yoshi · 12-05-2020 14:04:06

Bin, bonne route (moins de 100 km à vol d'oiseau depuis chez toi, hein !)
Mais voilà, le dessin refait à partir du tien...
https://www.cjoint.com/c/JEmm7PpAQ8W
avec les mêmes conventions de couleur que mon précédent....

yannD · 25-05-2020 08:53:28

Bonjour Yoshi ,

$\sin(\pi-x) = \sin(x)$ et $\cos(\pi-x)=-\cos(x)$

$\sin(\pi+x) = \sin(-x)$ et $\cos(\pi+x) = -\cos(x)$

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