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billy

Invité

Statistique

Hola!
je suis entrain de reviser les stats et j'arrive pas à résoudre l'exo suivant :

Philippe, virologue à l’institut Pasteur, est chargé d’évaluer la sensibilité TV P de Detecovid.
L’entreprise qui produit Detecovid affirme que TV P = 98%, tandis que Philippe pense que
TV P = 92%. Afin de savoir qui a raison, Philippe applique Detecovid à des prélèvements effectués
sur 200 patients dont on sait qu’ils sont immunisés contre le Covid-19. Il note ensuite N, le nombre
de résultats positifs obtenus sur ces 200 patients.
1. Déterminer la loi de N (on exprimera ses paramètres en fonction de TV P et TV N si besoin).
2. À l’aide de la statistique de test N, et en utilisant les valeurs approchées indiquées dans les
tableaux ci-dessous, construire un test d’hypothèse de niveau 5% de H0 : « TV P = 98% »
contre H1 : « TV P = 92% », puis déterminer sa puissance.

Valeurs approchées de FX(k) = P(X 6 k) pour X ∼ B(200, p)
p = 0.92
k         175      176     177       178     179      189     190     191     192     193
FX(k) 0.0178 0.0306 0.0507 0.0804 0.1225 0.9309 0.9626 0.9817 0.9921 0.997
p = 0.95
k 182 183 184 185 186 193 194 195 196 197
FX(k) 0.0121 0.0238 0.0444 0.0781 0.1299 0.8763 0.9377 0.9736 0.991 0.9977
p = 0.98
k         191       192     193      194      195     196      197     198    199    200
FX(k) 0.0202 0.0493 0.1086 0.2133 0.3712 0.5685 0.7649 0.9106 0.9824  1

3. Philippe observe 183 résultats positifs parmi les 200 patients sur lesquels il a utilisé Detecovid. Que peut-il conclure sur la sensibilité du test Detecovid ?
4. Philippe pense que sous l’hypothèse H0 définie à la question 2, il est possible d’approcher
la loi de (200 − N) par une loi de Poisson de paramètre λ > 0. Justifier cette affirmation
à l’aide d’un résultat mathématique, et préciser la valeur de λ.

B. Utilisation sur une personne
On suppose dans les questions 5 et 6 que le test sérologique Detecovid a une sensibilité
TV P = 85% et une spécificité TV N = 95%.
5. Cédric n’a eu aucun symptôme de la Covid-19, et l’on estime à 4% ses chances d’être
aujourd’hui immunisé. On lui applique le test Detecovid. Quelle est la probabilité que le
résultat soit positif ?
6. Le résultat du test Detecovid est positif. Quelle est la probabilité que Cédric soit immunisé
contre la Covid-19 ?
7. On aimerait que la probabilité d’être immunisé au Covid-19, pour un individu comme
Cédric (qui a priori avait 4% de chances d’être immunisé) et qui a un résultat positif
au test sérologique Detecovid, soit d’au moins 95%. En supposant que la sensibilité de
Detecovid est TV P = 85%, quelle est la valeur minimale de la spécificité TV N de Detecovid
permettant d’avoir une telle propriété

billy

Invité

Re : Statistique

Voici qlq une de mes reponse :

1) N suit la loi binomiale B(200,p) avec p Tvp
2) j'ai trouvé un intervalle de [193,+infini[
    puissance = 0.3%
3) sensibilité de 91,5%
4) je sais pas du tout :/
partie B, totalement perdu

freddy

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Messages : 7 457

Re : Statistique

Salut,

c'est quoi, P(X 6 k) ???
t'es en quelle année de quoi ?
C'est normal que tu parles de N et de TV N, je ne comprends pas ?

C'est possible que tu nous donnes en français le sens des acronymes que tu utilises, merci !

Donne moi aussi, stp, le raisonnement attaché à tes calculs, j'ai horreur des chiffres balancés sans explication.

loupi

Invité

Re : Statistique

Salut,

c'est quoi, P(X 6 k) ???
t'es en quelle année de quoi ?
C'est normal que tu parles de N et de TV N, je ne comprends pas ?

C'est possible que tu nous donnes en français le sens des acronymes que tu utilises, merci !

Donne moi aussi, stp, le raisonnement attaché à tes calculs, j'ai horreur des chiffres balancés sans explication.

désolé,
enfaite j'ai copié mon enoncé c'est pour ça.
le  P(X 6 k) veut dire P(X<=k) et :
— sa sensibilité (ou taux de vrais positifs), notée TVP , égale à la probabilité de déclarer
immunisé un individu qui est réellement immunisé contre le Covid-19 ;
— sa spécificité (ou taux de vrais négatifs), notée TVN , égale à la probabilité de déclarer
non-immunisé un individu qui n’est pas immunisé contre le Covid-19.
Ces deux quantités doivent être aussi grandes que possible.

N :  le nombre de résultats positifs obtenus sur ces 200 patients

1) P = TVP , sans calcul
2) j'ai cherché à avoir N>N' tq N' est le seuil,  N' doit garantire les 5%.
donc d'après le tableau N' = 193
zone de rejet donne donc [0,192]
puissance = 1 - erreur 2eme espece = 1 - 0.997 = 3e-3
3) sensibilité 183/200
4) je sais pas :/
et B) ouut

PS : je suis en L2 Maths

billy

Invité

Re : Statistique

Enfaite j'ai avancé,
il me reste la question 4 de la partie B. Et j'ai une autre partie que voila :
Dans cette partie, pour simplifier, on suppose le test Detecovid parfait (c’est-à-dire qu’il a une
sensibilité TV P = 100% et une spécificité TV N = 100%). Les plus motivé(e)s peuvent réfléchir
au cas général (mais cela ne sera pas noté).
8. On effectue 1000 tests sérologiques « au hasard » au sein de la population de Tapiocapolis
(capitale du San Theodoros), avec le test Detecovid. On obtient R = 58 résultats positifs.
À combien peut-on estimer p, la proportion de personnes immunisées contre la Covid-19
dans la population de Tapiocapolis ?
9. En utilisant l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, proposer un intervalle de confiance pour
p de probabilité de couverture au moins 95%. Cet intervalle vous semble-t-il suffisant pour
connaître l’ordre de grandeur de p ? Si non, comment pourrait-on l’améliorer ?

et là je bloque à la question 9 mais vraiment j'essaie d'appliquer mon cours mais j'y arrive absolument pas :/ :/ :(

Fred

Administrateur

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Messages : 7 352

Re : Statistique

Bonjour,

  Tu as une population dans laquelle tu observes un caractère avec une probabilité $p$ d'apparition.
Tu observes un échantillon de $n$ individus dans cette population. La variable aléatoire obtenue est une variable aléatoire
suivant une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ (avec ici n=1000). Tu cherches à connaitre $t$ tel que
$$P(|X_n-p|\leq t)\geq 0.95$$
L'intervalle $[p-t,p+t]$ te donnera un intervalle de confiance au seuil de 95%.
Et tu peux estimer $P(|X_n-p|\leq t)$ en utilisant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

F.