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G Darraud

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Dénombrement, probabilité d'un événement

Bonjour à vous tous.

J'ai un problème de dénombrement et de statistiques que j'ai du mal à résoudre.  Je veux dans un premier temps calculer le nombre de possibilités d'avoir sur 30 jours, une alternance de jours travaillés donnés par un lancer de 2 des à 6 faces, et de jours de repos donnes par un lancer d'un dé à 6 faces.
Ex : en 3 lancers, on peut obtenir 12 jours travaillés,  6 jours de repos, et 12 jours travaillés, soit un total de 30 jours.
Dans un second temps, quelle est la probabilité d'obtenir 20 jours travaillés et 10 jours de repos ?
J'ai commencé un arbre d'événements, mais cela devient vite fastidieux, et je n'ai pas d'application me permettant une automatisation de ce processus.

Je vous remercie d'avance, pour la lecture, la réflexion et la résolution que vous aurez à mon problème.

Cordialement

G Darraud

freddy

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Re : Dénombrement, probabilité d'un événement

Salut,

c'est absolument incompréhensible, quelle est la règle de passage entre les dés et les jours ???
Je pense qu'an départ, tu as un problème de communication. Explique-toi mieux, sans quoi, on ne pourra rien faire.

Dernière modification par freddy (29-04-2020 23:08:41)

G Darraud

Invité

Re : Dénombrement, probabilité d'un événement

je reformule.
Je veux calculer le nombre de possibilités qu'il y a dans un mois de 30 jours, pour avoir une alternance entre jours travaillés et jours de repos. Pour cela, je lance deux dés 6 faces et je note le résultat, et pour les jours de repos, je lance un dé à 6 faces.
Exemple premier lancer 2 dés, j'obtiens 4 et 2 soit 6 jours travaillés
             deuxième lancer 1 dé, j'obtiens 4 soit 4 jours de repos
             troisième lancer 2 dés, j'obtiens 5 et 4 soit 9 jours travaillés
             etc... jusqu'à ce que la somme arrive à 30.
deuxième question. Parmi toutes ces possibilités, quelles sont celles, où je trouve exactement 20 jours travaillés et 10 jours de repos ?

Suis je assez clair pour vous ?

Je vous remercie d'avance, pour la lecture, la réflexion et la résolution que vous aurez à mon problème.

Cordialement

G Darraud

freddy

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Re : Dénombrement, probabilité d'un événement

Salut,

Je ne vois pas où est vraiment le problème, il suffit de former toutes les suites possibles composées de 1-6 dont le total est égal à 30. Ça peut se faire à la main ou avec un automate, je ne connais pas d’autre formule magique.
Par exemple, tu peux avoir au minimum 30 fois 1 et au maximum, 5 fois 6.
Bon courage !

Dernière modification par freddy (03-05-2020 20:16:25)

freddy

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Re : Dénombrement, probabilité d'un événement

Salut yoshi,

là, on a un joli problème de combinatoire à faire avec Python.
J'ai commencé, mais il faut être très, très astucieux, je n'en connais pas assez sur le code pour optimiser.
T'aurais une ou deux idées, hormis la bestiale méthode bourrin ?

yoshi

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Re : Dénombrement, probabilité d'un événement

j'y réfléchis depuis hier soir...

freddy

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Re : Dénombrement, probabilité d'un événement

Salut,

après avoir déroulé le calcul avec 15 dès (il en faudrait 30 pour aller au bout du bout de l'ensemble des combinaisons possibles), je me suis aperçu qu'on peut peut-être raccourcir en regroupant par nombre de dés à utiliser.
En effet, dans le cas de 5 dés, on a qu'une seule solution : que des 6 ; dans le cas de 30 dès, une seule solution aussi : que des 1. Avec 29 dès, le résultat est donné par 28 fois 1 plus 2, qu'on peut positionner sur 28 postions distinctes, inutile de faire tourner l'automate pour ça.
et donc, dans l'intervalle, on peut travailler avec 6 dés, puis 7 dès, puis 8, …
je vais regarder du coté de la partition d'un nombre entier.

freddy

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Re : Dénombrement, probabilité d'un événement

Re,

la partition de 30 de l'ordre 5 à 30 est assez impressionnante (environ 5.000), et on sait que l'ordre de la décomposition n'intervient pas. En ordonnant, je ne te dis pas l'arborescence.

J'aimerais bien savoir ce qui motive la demande de notre ami.

Je le renvoie sur dcode, il y a quelques pistes.

Dernière modification par freddy (04-05-2020 10:06:55)

yoshi

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Re : Dénombrement, probabilité d'un événement

Re,

Quelques solutions seulement parce que sinon, on est pas rendus.
Alors, je ne lance pas 2 fois 1 dé, mais 1 fois 2 dés pour les jours travaillés et je somme les résultats :
[2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12]
1 lancer de 2 dés ( travail) et 1 de 1 dé (congé) ne suffisent pas
J'ai donc cherché tous les lancer  de 2 fois 2 dés et de 2 fois 1 dé  donnant 20 et 10...
[(8, 12), (9, 11), (10, 10), (11, 9), (12, 8)]
[(4, 6), (5, 5), (6, 4)]
L'ordre n'important pas, je considère (11,9) et (12,8) par exemple comme des doublons.
J'élimine les doublons.
Reste : :
[(8, 12), (9, 11), (10, 10)]
[(4, 6), (5, 5)]
Et je les ai associés :
(8, 12)
et : (4, 6) ou (5, 5)

(9, 11)
et : (4, 6) ou (5, 5)

(10, 10)
et : (4, 6) ou (5, 5)

Après je suis passé à 3 lancers de 2 dés où j'ai éliminé tous les doublons :
[(2, 6, 12), (2, 7, 11), (2, 8, 10), (2, 9, 9), (3, 5, 12), (3, 6, 11), (3, 7, 10), (3, 8, 9), (4, 4, 12), (4, 5, 11), (4, 6, 10), (4, 7, 9), (4, 8, 8), (5, 5, 10), (5, 6, 9), (5, 7, 8), (6, 6, 8), (6, 7, 7)]

Et j'ai associé chacun 3 lancers de 2 dés (travail) avec 2 lancers de 1 dé (congé)
(2, 6, 12)
et : (4, 6) ou (5, 5)

(2, 7, 11)
et : (4, 6) ou (5, 5)

(2, 8, 10)
et : (4, 6) ou (5, 5)

(2, 9, 9)
et : (4, 6) ou (5, 5)

(3, 5, 12)
et : (4, 6) ou (5, 5)

(3, 6, 11)
et : (4, 6) ou (5, 5)

(3, 7, 10)
et : (4, 6) ou (5, 5)

(3, 8, 9)
et : (4, 6) ou (5, 5)

(4, 4, 12)
et : (4, 6) ou (5, 5)

(4, 5, 11)
et : (4, 6) ou (5, 5)

(4, 6, 10)
et : (4, 6) ou (5, 5)

(4, 7, 9)
et : (4, 6) ou (5, 5)

(4, 8, 8)
et : (4, 6) ou (5, 5)

(5, 5, 10)
et : (4, 6) ou (5, 5)

(5, 6, 9)
et : (4, 6) ou (5, 5)

(5, 7, 8)
et : (4, 6) ou (5, 5)

(6, 6, 8)
et : (4, 6) ou (5, 5)

(6, 7, 7)
et : (4, 6) ou (5, 5)
...

@+

freddy

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Re : Dénombrement, probabilité d'un événement

Salut yoshi,

on est sur le terrain de la composition d'un entier, c'est très velu à faire et ça se complexifie très vite.

yoshi

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Re : Dénombrement, probabilité d'un événement

Re,

C'est bien pour ça que je m'arrête là...
N-B
Pas de solution avant 2 lancés de 2 suivis chacun d'un lancé de 2...

Je ne suis pas sûr que notre ami soit intéressé par l'ordre...
Au cas où, je vais apporter une précision sur l'exemple
(2, 7, 11)
et : (4, 6) ou (5, 5)
Les résultats 2, 7,11 ont pu se produire en tenant compte de l'ordre :   
2 _ 7 _ 11       2 _ 11 _ 7      7 _ 2 _ 11        7 _ 11 _ 2         11 _ 2 _ 7       11 _ 7 _ 2
Pour chaque _
peuvent se produire les résultats de lancé 1 dé :
4  ou 6  ou 5
Je peux donc avoir pour le tirage (2,7,11) dans cet ordre :
2 dés jours travaillés  2     7     11         2     7     11          2     7     11       
1 dé jours de congé      4     6                 6      4                   5     5           

Au delà ça devient vite effroyable : c'est ce que j'ai volontairement voulu shunter dans ma présentation sans ordre...

Le nombre de lancers de 1 dé est toujours égal ou inférieur de 1 au nombre de lancers de 2 dés...

@+

freddy

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Re : Dénombrement, probabilité d'un événement

Re,

Je lui ai donné un embryon de réponse via le site dcode, je pense qu’il a disparu. J’ai construit 18 boucles imbriquées, ensuite, il faut être sioux pour éviter des calculs inutiles. J’aurais bien aimé connaître l’origine de sa question.
Je lâche l’affaire aussi !

Dernière modification par freddy (05-05-2020 14:53:51)

G Darraud

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Re : Dénombrement, probabilité d'un événement

Bonsoir à vous tous,

non, je n'ai pas laché l'affaire et vous non plus. Encore merci pour tout ce que vous avez fait. Je pensais, à tort, que la résolution de ce problème devait être un peu plus compliqué que le tirage du loto. Mais je me suis complètement fourvoyé.

L'idée de départ vient d'un petit délire d'une bande de copains, mêlant jours de travail et tirage à la roulette.

Yoshi a parfaitement compris le problème, mais je ne pensais pas enlever les doublons.
A partir de 3 lancés (2 pour les jours travaillés et un pour les jours de repos), on obtient 1 possibilité d'avoir 30 jours (12 - 6 -12)
A partir de 4 lancers (2 pour les jours travaillés et 2 pour les jours de repos), on obtient 82 possibilités d'avoir 30 jours (12-6-11-1 ... 6-6-12-6)
A partir de 5 lancers (3 pour les jours travaillés et 2 pour les jours de repos), les possibilités s'affolent ...

la dernière façon d'arriver à 30 jours est 2-1-2-1-2-1-2-1-2-1-2-1-2-1-2-1-2-1-2-1 soit 20 lancers
J'imagine que le nombre de possibilités suit une courbe (laquelle ?) passant par un maximum (12 lancers ?...)
J'ai ma sœur qui est enseignante en fac de sciences. Peut être pourras-t-elle m'orienter vers un de ses collègues du département de maths, pour esquisser une résolution à ce problème

En tout cas, merci Messieurs d'avoir pris le temps de comprendre, réfléchir et me proposer une solution à ce problème qui au départ parait simple à penser, mais qui se révèle d'une redoutable complexité.

Cordialement

G Darraud

freddy

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Re : Dénombrement, probabilité d'un événement

Salut,

j'aimerais bien savoir ce que le collègue de ta sœur pourrait te dire de plus que les deux pistes que je t'ai données, à savoir regarder du côté de la partition du nombre 30 ou de la composition du même nombre.
Au demeurant c'est plutôt vers un (très jeune) informaticien vers lequel ta sœur devrait se retourner (les solutions requièrent l'aide d'un automate de calcul), à la condition expresse que tu précises exactement ce que tu veux savoir, là, ça reste très flou pour moi.

Enfin, si tu as une réponse satisfaisante (pour toi, moi, je sais ce que je voulais savoir), merci de nous la faire connaître, j'aime bien connaître la fin des histoires.

yoshi

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Re : Dénombrement, probabilité d'un événement

Re,

+1
Cela dit :

Au demeurant c'est plutôt vers un (très jeune) informaticien vers lequel ta sœur devrait se retourner (les solutions requièrent l'aide d'un automate de calcul)

Les solutions proposées (avec suppression des doublons) sont exhaustives...
A partir de 6 lancers, la présentation devra être revue...
Je n'ai pas fait ça à la main, mais en Python brut, et j'ai fichtrement galéré : mon script est affreux (tris + éliminations des doublons en 2 fois) et devra être repris pos être adaptable à des des lancers> 3 + 3...
Je vais aller regarder du côté des bibliothèques spécialisées.

A la main, je serais passé à travers 50 fois...

@+

freddy

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Re : Dénombrement, probabilité d'un événement

Salut,

pour clôturer ce sujet, j'ai les résultats ci-dessous.
La convention est de regarder le tirage successif de dé à 12 faces et de dés à 6 faces tel que la somme des faces = 30.
On commence par D12, puis D6, puis D12, ... On a 20 tirages maximum sous ce format.
Sous Python, j'ai :

114.959.969 = nombre de fois que je passe dans une boucle qui déroule un dé ... J'en ai 20 imbriquées. Python n'en admet pas beaucoup plus, ou alors, il faut faire autrement.

Nombre de composition possibles : le nombre de dés utilisés selon la convention ci-dessus est égal au rang de la colonne.
On commence par 5 (1 résultat possible), puis 6, puis 8, ... Bien entendu, à la fin (rang=30), on a qu'une seule composition possible.

[0, 0, 0, 0, 0, 1, 82, 0, 2925, 17343, 0, 89169, 275840, 0, 556974, 1063029, 0, 1046540, 1277765, 0, 635726, 493500, 0, 318930, 54256, 0, 4845, 1140, 0, 19, 1]

91.45794081687927 = temps de calcul en seconde.

Merci yoshi pour ton initiation à Python :)

Dernière modification par freddy (07-05-2020 08:51:59)

yoshi

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Re : Dénombrement, probabilité d'un événement

Salut m'sieu,

On commence par D12, puis D6, puis D12, ... On a 20 tirages maximum sous ce format.

Si je ne m'abuse, ce faisant, tu omets les nombres impairs de tirages tel :
D12, D6, D12, D6, D12. Non ?

Je vois que tu t'amuses bien maintenant avec Python...
Tiens va jeter un œil sur le module itertools
Il y a un petit quelque chose qui va t'interpeller (pas propre à itertools) le mot clé yield.
Supposons que dans une fonction, tu aies une boucle qui fasse 1000 tests, tu aies un résultat positif au 500e : tu quittes la fonction pour revenir dans le corps de ton programme...
Si tu voulais chercher un autre résultat positif après le 500e et que tu rappelles ta fonction, tu devrais refaite les 500 premiers avant d'arriver au 501e ...
L'instruction yield suspend l'exécution au 500e, et te permet en revenant dans la fonction de démarrer directement le 501e test...

freddy

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Re : Dénombrement, probabilité d'un événement

Re,

Python n'accepte pas 30 boucles imbriquées, il bloque au delà de 20, donc oui, je simule 5 et 6 dès comme suit D12-D6-D12/D6, puis 8 et 9 : D12-D6-D12-D6-D12/D6, puis 11 et 12, puis 14 et 15, … Le nombre de dé = nombre de dé à 6 faces ; D12 = deux dés à 6 faces.
Avec le confinement, je découvre le code et la meilleure manière d'apprendre est de faire, donc je fais ! IDLE est confortable pour gérer l'indentation entre autres. C'est un code puissant et pas mal intuitif (pour moi), il faut maintenant que j'aille voir dans les bibliothèques spécialisées qui peuvent m'intéresser. Mais j'en suis au tout début du commencement, j'ai encore bcp à apprendre. Ce que j'aime bien en informatique est qu'on apprend en regardant le code des autres, c'est très bon pour le partage des connaissances.

itertool : ok, je vais regarder.

Dernière modification par freddy (07-05-2020 10:25:39)

yoshi

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Re : Dénombrement, probabilité d'un événement

J'avais oublié le lien vers la doc officielle : https://docs.python.org/fr/3.6/library/itertools.html

Pourquoi diable, as-tu besoin de 30 boucles imbriquées ?

freddy

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Re : Dénombrement, probabilité d'un événement

J'avais oublié le lien vers la doc officielle : https://docs.python.org/fr/3.6/library/itertools.html

Pourquoi diable, as-tu besoin de 30 boucles imbriquées ?

Pour  regarder les 30 dés à 6 faces, par tirage successif pour simuler la suite qui forme 30 jours. IL te faut au minimum 5 dés à 6 faces et au maximum 30 dés à 6 faces.
Mais je pense qu'on peut faire autrement, je n'ai pas encore trouvé (utiliser un truc qui s'appelle récursivité par exemple : c'est là où on a besoin d'un bon informaticien, je fais un truc très bourrin).

PS : itertools devrait permettre de résoudre ce sujet plus facilement, à voir !

Dernière modification par freddy (07-05-2020 10:39:50)

G Darraud

Invité

Re : Dénombrement, probabilité d'un événement

Bonjour à vous deux,

je suis en train de "m'amuser" avec le site dcode que vous m'avez donné. Et je fais la liste de toute les partitions pour le nombre 30 dont la taille de partition est comprise entre 3 et 20, avec les nombres compris entre 1 et 12. Ensuite, j'élimine les solutions non compatibles avec la valeur des jours travaillés et de repos. Je ne peux pas lui demander de prendre les valeurs de 2 à 12 pour les lancers impairs et de 1 à 6 pour les lancers pairs. A la fin, j'obtiendrai le nombre total de partitions, mais qui ne correspond pas à l'ensemble des solutions de ma requête.
Idem pour le nombre 20.
Je contacte ma sœur aujourd'hui.

Cordialement