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Kolas

Invité

Problème équation / arithmétique

Bonjour,
J'ai un exercice que je n'arrive pas à résoudre.
Alors voici l'énnoncé : "Je vous propose l'offre suivante : "Je donnerai 100€ à celui qui me donnera 5€ en 20 pièces de 50, 20 ou 5 centimes", Qu'en pensez vous ?"

Voilà alors à partir de ça j'ai essaie plusieurs combinaison et je me suis rendu compte que c'était impossible (du moins je pense) donc voici ou j'en suis arrivé à :
50x + 20y + 5z = 500
x+y+z = 20

Mais celà ne démontre pas que l'équation est impossible et après plusieur recherche sur le net je ne trouve pas comment montrer que l'équation est impossible, j'ai aussi penser à substituer z pour avoir une équation à deux inconnus mais je n'ai pas réussi (à vrai dire je n'ai pas eu le temps de voir cette technique en cours avec le confinement ...)

Voilà donc si quelqu'un pourrait m'aider ce serait génial.

yoshi

Modo Ferox

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Re : Problème équation / arithmétique

Bonjour,

Je pense qu'il faut sérier les problèmes...

"Je donnerai 100€ à celui qui me donnera 5€ en 20 pièces de 50, 20 ou 5 centimes"

D'abord, le ou est sujet à interprétation. Toi tu résous le problème avec "et"...
    Le "ou" laisse entendre qu'on peut essayer avec :
    * des pièces de 50 c seules
    * des pièces de 20 c seules
    * des pièces de  5 c seules
    * des pièces de 50 c et 20 c seules
    * des pièces de 50 c et  5 c seules
    * des pièces de 20 c et  5 c seules
    * des pièces de 50 c, 20 c et 5c

Les 3  premières solutions sont impossibles  0.5*20 = 10, 0.2*20 = 4 et 0.05*20 =1
Soi x, y et z les nombres de pièces de 50 c, 20 c et 5 c.

Le 4e cas est résolu par le système :
$\begin{cases}50x+20y&=500\\x+y&=20\end{cases}$
De la 2e équation, je tire y =20-x que je reporte dans la 1ere :
$50x+20(20-x)=500$
Soit :
$50x+400-20x=500$
ou
$30x=100$ impossible x n'est pas entier.

5e cas
$\begin{cases}50x+5z&=500\\x+z&=20\end{cases}$
De la 2e équation, je tire z =20-x que je reporte dans la 1ere :
$50x+5(20-x)=500$
Soit :
$50x+100-5x=500$
ou
$45x=400$ impossible x n'est pas entier..

6e cas
Pas de solution :
Avec 20 pièces de 20 c, je n'arrive qu'à 4 €.
Reste le cas :
$\begin{cases}50x+20y+5z&=500\\x+y+z&=20\end{cases}$
Programmeur amateur en Python, j'ai testé en "brute force"

for x in range(1,9):
  for y in range(1,20-x):
    z=20-(x+y)
    S=50*x+20*y+5*z
    print(x,y,z,S)

Explications
Plutôt que de faire un travail répétitif à la main, je vais demander à Python de le faire à ma place..
Je vais donc tester
* Pour un nombre x de pièces allant de 1 à 8. Pourquoi 8 ? parce 10 pièces font 5 €, je ne dois donc pas en utiliser plus de 9.
   Mais, il me faut une pièce de chaque... donc le max est 8 pour x permettant 1 pour y et 1 pour z (je mets 9 et Python s'arrête à 8)
* pour un nombre y de pièces maximum de 19-x (même raison), donc j'écris 20-x et Python s'arrête à 19-x)
* Quant à z c'est 20-(x+y)
Enfin je demanderai à Python de calculer la somme S obtenue dans chaque configuration, puis d'afficher x, y, z et S :

1 1 18 160
1 2 17 175
1 3 16 190
1 4 15 205
1 5 14 220
1 6 13 235
1 7 12 250
1 8 11 265
1 9 10 280
1 10 9 295
1 11 8 310
1 12 7 325
1 13 6 340
1 14 5 355
1 15 4 370
1 16 3 385
1 17 2 400
1 18 1 415
2 1 17 205
2 2 16 220
2 3 15 235
2 4 14 250
2 5 13 265
2 6 12 280
2 7 11 295
2 8 10 310
2 9 9 325
2 10 8 340
2 11 7 355
2 12 6 370
2 13 5 385
2 14 4 400
2 15 3 415
2 16 2 430
2 17 1 445
3 1 16 250
3 2 15 265
3 3 14 280
3 4 13 295
3 5 12 310
3 6 11 325
3 7 10 340
3 8 9 355
3 9 8 370
3 10 7 385
3 11 6 400
3 12 5 415
3 13 4 430
3 14 3 445
3 15 2 460
3 16 1 475
4 1 15 295
4 2 14 310
4 3 13 325
4 4 12 340
4 5 11 355
4 6 10 370
4 7 9 385
4 8 8 400
4 9 7 415
4 10 6 430
4 11 5 445
4 12 4 460
4 13 3 475
4 14 2 490
4 15 1 505
5 1 14 340
5 2 13 355
5 3 12 370
5 4 11 385
5 5 10 400
5 6 9 415
5 7 8 430
5 8 7 445
5 9 6 460
5 10 5 475
5 11 4 490
5 12 3 505
5 13 2 520
5 14 1 535
6 1 13 385
6 2 12 400
6 3 11 415
6 4 10 430
6 5 9 445
6 6 8 460
6 7 7 475
6 8 6 490
6 9 5 505
6 10 4 520
6 11 3 535
6 12 2 550
6 13 1 565
7 1 12 430
7 2 11 445
7 3 10 460
7 4 9 475
7 5 8 490
7 6 7 505
7 7 6 520
7 8 5 535
7 9 4 550
7 10 3 565
7 11 2 580
7 12 1 595
8 1 11 475
8 2 10 490
8 3 9 505
8 4 8 520
8 5 7 535
8 6 6 550
8 7 5 565
8 8 4 580
8 9 3 595
8 10 2 610
8 11 1 625

Pas de solution.
Ça c'était pour le fun...

Revenons aux Maths : tu étais sur la bonne voie, mais tu t'as arrêté en chemin...
$\begin{cases}50x+20y+5z&=500\\x+y+z&=20\end{cases}$
Je tire z de l'équation 2 : $z=20-x-y$ et le remplace dans l'équation 1
$50x+20y+5(20-x-y)=500$
Je développe et réduis :
$ 45x+15y=400$
Je divise les deux membres par 5 :
$ 9x+3y=80$
Je mets 3 en facteur dans le 1er membre :
$3(3x+y)=80$
Raisonnons :
$3(3x+y)$ est multiple de 3 mais 80 ($80 = 5 \times 2^4$) ne se divisera pas par 3
Donc 3x+y ne sera pas un entier et il est impossible donc de trouver x et y entiers : pas de solution !

@+

freddy

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Re : Problème équation / arithmétique

Salut,

c'est sûr que si c'était possible, je ne connais personne prêt à perdre 95 € par simple jeu !

Bon, je pense que tu y es presque.

Tu as donc :

\begin{cases} 50X+20Y+5Z=500 \\ X+Y+Z=20 \end{cases}

que tu transformes comme suit :

\begin{cases} 10X+4Y+Z=100 \\ X+Y+Z=20 \end{cases}

et tu finis par $9X+3Y=80$

Là, tu as un argument qui établit qu'il ne peut y avoir de solution entière naturelle. Tu le vois ?

PS : bon, yoshi a fait déjà le boulot, pas vu, désolé :-)

Dernière modification par freddy (26-04-2020 12:50:50)

Kolas

Invité

Re : Problème équation / arithmétique

Merci beaucoup à tous les deux pour votre aide !
C'est vrai que le programme python évite de se casser la tête :)

freddy

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Messages : 7 457

Re : Problème équation / arithmétique

Merci beaucoup à tous les deux pour votre aide !
C'est vrai que le programme python évite de se casser la tête :)

Oui, mais pas sûr que ce soit admis comme preuve, au moins à ton niveau !