devoir maison 2 : rapports littéraux [Résolu]

sedah · 01-01-2008 15:06:08

Bonjour et BONNE ANNEE A TOUS , desolé de vous derangez pendant les fetes mais j 'aurais besoin de vous pour mon deuxieme exo de Devoir maison
SVP et MERCI D 'AVANCE.

exo 2
Soit a,b,c et d : 4 nombres reels tels que : b est diiferent de 0, d est different de 0 ,a est different de 0 , c est different de 0 et b est different de d
1)demontrer que si

a/b=c/d alors ac/bd = ac-caucarré/bd-daucarré

a c ac ac-caucarré
---- = ----- alors -------- = ---------------
b d bd bd-daucarré

2)la reciproque est elle vraie ? justifier

là je suis desolé je n 'ai aucune idée , j 'ai essayé je ne trouve rien , pouvez vous me donner un indice SVP
MERCI

Excusez moi , pouvez vous aller jetez un coup d 'oeil à Devoir maison (de sedah) et me dire ce que vous pensez de mes resultats
SVP

Dernière modification par sedah (01-01-2008 15:15:11)

yoshi · 01-01-2008 18:11:25

Bonsoir Sedah,

Quel courage ! Il n'empêche que je trouve que ton prof est un peu "tombé sur la tête"
Au sens originel, vacances c'est abscence ou vide. Les vacances ont étéc créées pour que les élèves se reposent grâce à l'absence de travail, grâce au vide fait dans leurs esprits
Surtout ces vacances-là, qui déjà n'en sont pas vraiment.
Encore un qui a dû être traumatisé dans sa scolarité antérieure. Bref, il faut de tout pour faire un monde...
Te mettre simplement sur la voie ne me paraît pas possible : trop difficile pour te guider !

Dans ma scolarité à moi, il y a bien bien longtemps quand j'étais à ton niveau, j'avais appris que :
[tex]{a \over b}={c \over d}=\frac{a+c}{b+d}=\frac{a-c}{b-d}[/tex]
Alors, évidemment, ce souvenir qui remonte à la surface, réduit considérablement mon temps de recherche.
Si tu ne connais pas, je vais essayer de retrouver une démonstration.
Je pose [tex]{a \over b}={c \over d}=k[/tex]
J'ai donc a = kb et c=kd.
Donc
[tex]\frac{a-c}{b-d}=\frac{kb-kd}{b-d}=\frac{k(b-d)}{b-d}=k[/tex]

Ce qui me conduit à la démo suivante :
[tex]{a \over b}={c \over d}=\frac{a-c}{b-d}[/tex]
Ces 3 quantités égales si je multiplie chacune d'entre elles par n'importe laquelle d'entre elles, cette suite d'égalités reste vraie.
Je choisis donc en particulier la multiplication par c/d :
[tex]\frac{ac}{bd}=\frac{c^2}{d^2}[/tex]
On peut donc ajouter que :
[tex]\frac{ac}{bd}=\frac{c^2}{d^2}=\frac{ac-c^2}{bd-d^2}[/tex]

Réciproque.
La question est- : Si [tex]\frac{ac}{bd}=\frac{ac-c^2}{bd-d^2}[/tex] alors on a toujours [tex]{a \over b}={c \over d}[/tex] ?

Si [tex]\frac{ac}{bd}=\frac{ac-c^2}{bd-d^2}[/tex] alors [tex]\frac{ac}{bd}=\frac{ac-c^2}{bd-d^2}=\frac{c(a-c)}{d(b-d)}[/tex]
Alors c et d étant différents de 0 je simplifie par c/d le 1er et le 3e membre et j'obtiens :
[tex]\frac{a}{b}=\frac{a-c}{b-d}[/tex]
Maintenant tu peux finir seule.
Tu poses a/b=k (non nul) et donc a = kb.
Dans la deuxième fraction tu remplaces au numérateur a par kb et tu mets k en facteur...
Et alors, yu dois penser que cette deuxième fraction est aussi égale à k, ce que tu écris.
Puis tu écris que numérateur k fois dénominateur et tu développes...
Après simplifications, tu dois pouvoir montrer que c/d = k et comme tu es partie de a/b=k, tu peux bien conclure que a/b=c/d...
Des questions ? (sûrement parce que c'est pas évident du tout...)

Je vais aller jeter un oeil sur ton autre devoir...

@+

sedah · 02-01-2008 18:07:12

bonjour et pardon c 'est laquelle la deuxieme fraction ?

Tu poses a/b=k (non nul) et donc a = kb.
Dans la deuxième fraction tu remplaces au numérateur a par kb et tu mets k en facteur...
Et alors, yu dois penser que cette deuxième fraction est aussi égale à k, ce que tu écris.
Puis tu écris que numérateur k fois dénominateur et tu développes...

voilà ce que j 'ai fais :

a c
--- = ------=k
b d

k= c/d=k
kb c
----- = ----- = k
b d

kb
---=k
b
je simplifie par b

=k
apres pour demontrer que c/d=k j 'ai fais
a/b=c/d
de plus nous avons demontrer que a/b=k
et comme a/b=c/d
donc c/d = k
a/b=k=c/d
b

yoshi · 02-01-2008 19:20:47

SAlut,

Moi j'étais parti pour vérifier que si a/b = (a -c)/(b-d)=k alors on a c/d = k
La deuxième fraction est évidemment (a-c)/(b-d)...

@+

sedah · 02-01-2008 21:48:57

d 'accord , merci

cela me donne :

(a-c)
------------
b-d

je remplace a par kb

kb-c
--------- = k
b-d
puis si je reduis je trouve

k(b)-c
------- =k
b-d
est ce que c 'est ça je crois que je me suis trompée , pouvez vous m 'expliquer

Dernière modification par sedah (03-01-2008 13:01:13)

yoshi · 05-01-2008 12:34:10

Salut,

Non, c'est bon, il te faut juste continuer en faisant ce que je t'ai dit.
[tex]\frac{kb-c}{b-d}=k\;donc\;kb-c=k(b-d)[/tex]
Tu développes le 2e membre, tu réduis, et tu te retrouves avec : c=kd et là, il n'y a plus qu'un tout petit pas à franchir...

@+

sedah · 05-01-2008 14:42:56

bonjour et merci je pensais m 'avoir trompé ; donc

kb-c
------ =k donc kb-c=k(b-d)
b-d

kb-c=kb-kd

on peut supprimer les deux kb donc cela donne

kb-c=kb-kd
-c=-kd
c=kd

donc : on sait que c=kd donc a=kb ( et b=ka) la reciproque est vraie

yoshi · 05-01-2008 16:16:50

Bonjour,

Ouh là ! Du calme, attention à ne pas écrire tout et son contraire...
Résumé.
On avait montré que
[tex]\frac{ac}{bd}=\frac{ac-c^2}{bd-d^2}[/tex]
Puis on est passé par simplification à :
[tex]\frac{a}{b}=\frac{a-c}{b-d}[/tex]
et de là on a posé a/b =k donc pu écrire :
[tex]\frac{a}{b}=\frac{a-c}{b-d}=k\;ainsi\;que\;a=bk[/tex]
Donc, on arrive sur c=kd et on peut écrire c/d=k, mais sûrement pas écrire (je cite) "donc a=kb"... puis peu après b=ka...
Le donc entraîne une conséquence... OR, a = kb est une cause...
De plus si tu as a=kb écrire que b=ka ça veut dire que a = b et que k =1... rien à voir avec le problème...
Alors que a/b=k donc c/d=k permet de dire "donc a/b=c/d"

@+

sedah · 06-01-2008 11:49:38

o.k , merci beaucoup pour votre aide .
à bientot

yoshi · 08-01-2008 18:40:27

Bonsoir,

Comme ça, sans y réfléchir, loin de la presse" de fin de vacances, mon cerveau m'a suggéré une autre méthode pour la "réciproque", ni plis simple, ni plus courte, simplement plus "évidente".
Après avoir montré que [tex]\frac{a}{b}=\frac{a-c}{b-d}[/tex] au lieu de poser = k, on effectue les produits en croix :
a(b-c) = b(c-d)
En développant : ab - ad = ab - bc
On simplifie, on change les signes :
ad = bc
D'où a/c = b/d

@+

sedah · 13-01-2008 16:51:26

bonjour , excusez moi mais vous ne vous etes pas trompé au lieu de a(b-d)=b(c-d) ce n 'est pas
a(b-d)=b(a-c)
ab-ad=ba-bc
puis on simplifie par ab et ba cela donne
-ad=-bc
ad=bc
d 'où a/c = b/d

yoshi · 13-01-2008 16:54:18

Salut,

Oui, tu as tout à fait raison :
on écrit que les "produits en croix" sont égaux...
Mais, en l'occurence, à partir de
ad = bc
on doit écrire a/b = c/d
puisque c'est ce qui est demandé, et non a/c = b/d (même si l'égalité est juste aussi).

On a tôt fait de se tromper face à un écran, n'est-ce pas ?...

@+

Dernière modification par yoshi (13-01-2008 17:24:13)

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