Dm produit scalaire

yannD · 21-04-2020 17:58:59

Bonsoir Yoshi,
l'angle des vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ est le couple ($\vec u\,,\,\vec v)$
la mesure $\alpha $ de cet angle est la longueur "du trajet" du point d'intersection de la droite qui porte le vecteur $\vec u$ avec le cercle
au point d'intersection de la droite qui porte le vecteur $\vec v$ avec le cercle, avec un signe + si c'est le sens direct et un signe - si le sens de parcours est le sens indirect donc si je vais de vecteur v au vecteur u c'est -$(\vec u\,,\,\vec v)$

yoshi · 21-04-2020 18:52:35

C'est pas si difficile, c'est juste comme une langue étrangère avec sa syntaxe, sa grammaire,ses règles
Il faut arriver à penser dans cette langue.
Oui $(\vec u, \vec v)=-(\vec v, \vec u)$.
Là, c'est très intuitif, c'est comme penser que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BA}$ ont des sens opposés, la même direction, des longueurs égales, donc sont des vecteurs opposés : au début, ça perturbe, après, on s'y fait.
La somme de 2 vecteurs opposés, c'est le vecteur nul.
La somme de deux réels opposés c'est 0.
Et si j'ajoute deux réels a et b pour trouver 0 ? a + b=0 donc a = -b ils sont opposés...
Et la somme de deux angles orientés opposés ?
Elle est nulle...
Autre méthode pas intuitive (au début).
Je t'ai demandé : que vaut $(\vec u,\vec u)$ ?
Réponds-y, puis utilise la relation de Chasles comme ça :
$(\vec u, \vec v)+(\vec v, \vec u) = \cdots = \cdots$ ?
Conclusion pour $(\vec u, \vec v)$ et $(\vec v, \vec u)$ ?
(On y va doucement, tu vois ?)

Tu dois pouvoir répondre maintenant à ma question 2.
N-B : Même si tu n'as appris à utiliser la relation de Chasles des vecteurs que sous sa forme :
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$, il y a une 2e forme qui a disparu des programmes :
$\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AC}$
qui se lit à l'envers...
Donc, forcément, pour les angles de vecteurs, il y aussi une 2e forme (avec soustraction, bien plus "tordu"), n'utilise donc que l'adddition...
Revenons à nos moutons.

2. Pour comparer $(-\vec u, \vec v)$ et $(\vec u, \vec v)$, trace le vecteur $-\vec u$
Que vaut $(-\vec u,\vec u)$ ?
En utilisant la relation de Chasles, décompose $(-\vec u, \vec v)$ en une somme de 2 angles orientés de vecteurs.
Conclusion ?

Tu m'as dis : $(-\vec u,\vec u)=\pi$, je t'ai répondu ok...
Donc :
En utilisant la relation de Chasles, décompose $(-\vec u, \vec v)$ en une somme de 2 angles orientés de vecteurs.
Si tu ne vois pas, demande-toi pourquoi je t'ai demandé ce que valait $(-\vec u,\vec u)$, quel est le rapport avec la question suivante...
N-B si maintenant, je te demande d'y penser, c'est qu'il y a bien un rapport...

yannD · 22-04-2020 16:27:37

Bonjour Yoshi, pour répondre à la question :
que vaut $(\vec u\,,\,\vec v)$ ?
tout d'abord quand on écrit ça : $(\vec u\,,\,\vec v)$ , il s'agit de la mesure en radian de l'arc correspondant sur le cercle, c'est bien ça ?
enfin , c'est ce que j'ai compris

yannD · 22-04-2020 16:48:12

Je vois dans ce cours
page 1 : https://zupimages.net/viewer.php?id=20/17/yw5f.png

page 2 : https://zupimages.net/viewer.php?id=20/17/ek9g.png

page 3 :https://zupimages.net/viewer.php?id=20/17/x0a0.png

que pour la définition d'un angle orienté , on parle d'un couple vecteur u , vecteur v entre parenthèse et que pour la mesure de cet angle il faut tracer les deux droites qui portent les vecteurs

Dernière modification par yannD (22-04-2020 16:53:41)

yoshi · 22-04-2020 17:09:19

Re,

Là, je ne suis plus..
Où t'ai-je demandé ce que vaut $(\vec u,\vec v)$ ?
Il me semble que je t'ai demandé :
que vaut $(\vec u, \vec u)$ ?
Parce que pour "que vaut $(\vec u, \vec v)$ ?" à part la phrase tarasbicotée que tu as sûrement pêchée sur Internet (où ? s'il te plaît...) ou bien : c'est la mesure en radians de l'angle dont tourne le vecteur $\vec u$ pour s'appliquer sur le vecteur $\vec v$, je ne vois pas grand chose à dire d'autre...

Et encore (c'est pour ça que je te demande où tu l'as lue), ça m'a tout l'air d'une phase sortie de son contexte...
Ta phrase dit sur le cercle ...
1. Quel cercle ? Je t'ai proposé un schéma avec deux vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ de même origine O, en te précisant qu'il servira pour toutes les questions que je pose... Et je ne parle pas de cercle !
2. Tu dis LE cercle : le, article défini qui signifie qu'il n'y a qu'un seul et unique cercle... Or, j'ai pris la précaution de tracer deux vecteurs (de même origine, certes) mais de normes différentes et de ne pas employer le verbe superposer, mais appliquer ou équivalent. Donc, là, les extrémités des vecteurs seraient sur deux cercles de centre O mais de rayons différents...

Tu t'imagines toujours que je te demande des choses extraordinairement difficiles, alors que ce n'est pas vrai : je sais trop bien ce que c'est que de travailler seul avec un bouquin, combien cela peut être déstabilisant (c'est là qu'il faut être fort dans sa tête !), donc je fais attention...

Cooooool ! Respire à fond lentement tout en faisant 3 pas, expire à fond en restant droit, en pliant les genoux pour descendre lentement sur tes talons
Redresse-toi lentement, buste droit, et recommence 3 fois.
En kendo, shinaï en mains, cette technique s'appelle Shin Ko Kyu c'est un exercice de respiration contrôlée qui permet le retour au calme...

---------------------------------------------------------------------

Bon, on reprend... Ma question de départ était : que vaut $(\vec u, \vec u)$ ?
Soit on dit qu'on ne tourne pas et alors $(\vec u, \vec u)=0$
Soit on dit qu'on fait un tour complet (avec un seul vecteur, tu peux utiliser sans problème un cercle) et alors $(\vec u, \vec u)=2\pi$
Soit on dit qu'on fait plusieurs tours complets (dans un sens ou dans l'autre) et alors $(\vec u, \vec u)=2k\pi$ avec $k \in \mathbb Z$...
Mais les valeurs sont données modulo $2\pi$ (tu comprends "modulo" ?), donc $(\vec u, \vec u)=0$

Tu m'as répondu que $(\vec u, \vec v)$ et $(\vec u, \vec v)$ étaient deux angles de mesure opposée.
C'est vrai :
(relation de Chasles) $(\vec u, \vec v)+(\vec v, \vec u)=(\vec u, \vec u)=0$ (le vecteur "charnière" est ici $\vec v$)
Donc $(\vec u, \vec v)=-(\vec v, \vec u)$...

Ensuite je t'ai demandé : que vaut $(-\vec u, \vec u) $ ? Réponse que tu as donnée : $(-\vec u, \vec u)=\pi$ c'est juste.
Et je pose différemment la question suivante; :
En déduire, grâce à la décomposition (relation de Chasles) de l'angle $(-\vec u,\vec v)$ en une somme de 2 angles orientés de vecteurs, que $(-\vec u,\vec v)=(\vec u, \vec v)+\pi$

La réponse est à portée de main, ni à droite ni à gauche, sans avoir à chercher sur Internet (quel intérêt ?)

Je suis à l'écoute...

@+

yannD · 22-04-2020 17:51:34

Bonsoir Yoshi, je voulais simplement approfondir la définition de l'angle orienté , celle qui est dans le premier lien que j'ai mis. Pourquoi parle t-on d'un couple $(\vec u,\vec v)$ ?
Je sais bien que tu m'as posé : que vaut $(\vec u ,\vec u )$ ?
Mais avant de bien y répondre, c'est la définition du II 1) que je ne comprends pas bien ?

yoshi · 22-04-2020 18:43:03

Salut,

Il me faut beaucoup de temps pour écrire une page, avec des corrections en pagailles : choix des mots, présentation, fautes de frappe...
J'ai commencé ma réponse à ton post #103 avant que tu ne rajoutes le #104 : ma réponse m'a pris environ 45 min...
Entretemps tu avais ajouté le #104...
Le II 1. c'est juste une notation, il n'y a rien de plus à comprendre...
On te dit :
bin voilà, l'angle orienté de 2 vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ s'écrit comme ça : $(\vec u, \vec v)$
Comme quand on t'a dit : l'angle saillant de deux segments [AB] et [AC] s'écrit comme ça : $\widehat{BAC}$ ou $\widehat{CAB}$
ou, quand tu apprenais à parler, tes parents t'ont montré un chat et t'on dit : c'est un chat !

Qu'y avait-il à comprendre ?

@+

yannD · 22-04-2020 19:40:34

Je vois pas trop pourquoi on dit le couple ..
Et pour décomposer ($-\vec u$$ ,\vec u ) $, je ne vois que ça :$($$-\vec u$ $,\vec v ) + (\vec v,\vec u ) = $$(-\vec u$$ ,\vec u)$

yoshi · 22-04-2020 19:59:03

Re,

Je me suis un peu douté que le mot couple devait poser problème...
Le mot générique français est n-uplet, en Python on dit tuple.
Déjà, j'ai dit couple, et dans couple, il y a le nombre 2.
Par exemple : la multiplication est l'opération qui au couple (2,3) (par exemple) fait correspondre le nombre 6...
Dans un plan rapporté à un système d'axes, la position d'un point est repérée par des coordonnées : (abscisse,ordonnée)...
C'est un couple...
Dans la vie, un couple, c'est deux personnes, pas 3 ou 4...
Dans un espace à 3 dimensions les coordonnées sont (abscisse,ordonnée, altitude) : c'est un triplet...
(a,b,c,d) est un quadruplet...

Je ne t'ai pas demandé de décomposer $(-\vec u, \vec u)$ mais $(-\vec u, \vec v)$ en te servant de $(-\vec u, \vec u)$
Preuve :

En déduire, grâce à la décomposition (relation de Chasles) de l'angle $(-\vec u, \vec v)$...

Tu fais une lecture en diagonale ou quoi ?

@+

yannD · 22-04-2020 20:17:56

$($$-\vec u$$\,,\,\vec v ) = (\vec v\,,\,\vec u)+(\vec u\,,\,$$-\vec u$$)$

yoshi · 22-04-2020 20:36:58

Non !

Relation de Chasles "normale" :
$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}$
Ici la charnière qui disparaît est un point : C. Ne restent que l'origine du 1er vecteur et l'extrémité du 2nd vecteur : A et B.
Pas de charnière, pas d'application de la relation de la relation de Chasles possible.

Dans la rela

yannD · 22-04-2020 20:51:08

$($$-\vec u$$\,,\,\vec v) = ($$-\vec u$$ \,,\,\vec u)+(\vec u\,,\,\vec v)$

yannD · 22-04-2020 20:52:47

on poursuivra demain matin, je te dit bonne nuit et merci pour tout , pour la méthode Shin KO

yoshi · 22-04-2020 21:16:21

Non ! Tu ne fais pas assez attention à ce que tu lis, ou tu prêtes trop attention à des détails insignifiuants....
(Attention, ce non s'appliquait au post #106)

Relation de Chasles "normale" :
$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}$
Ici la charnière qui disparaît est un point : C. Ne restent que l'origine du 1er vecteur et l'extrémité du 2nd vecteur : A et B.
Pas de charnière, pas d'application de la relation de la relation de Chasles possible.

Dans la relation de Chasles sur les angles orientés de vecteurs, la charnière est un vecteur.
Je t'ai donné 2 exemples :
1. $(\vec u, \vec v)+(\vec v, \vec w)=\cdots$ ?
Ici, la charnière (qui disparaît) est le vecteur $\vec v$.
Restent donc le 1er vecteur du 1er angle et le 2nd vecteur du 2e angle.
D'où : $(\vec u, \vec v)+(\vec v, \vec w)= (\vec u, \vec w)$

2. $(\vec u, \vec v)+(\vec v, \vec u)=\cdots$ ?
Ici, la charnière (qui disparaît) est aussi le vecteur $\vec v$.
Restent donc le 1er vecteur du 1er angle et le 2nd vecteur du 2e angle.
D'où : $(\vec u, \vec v)+(\vec v, \vec w)= (\vec u, \vec u)=0$
Tu vois mieux ?

Quel est l'intérêt de ces angles orientés par rapport aux angles habituels :
Sans dessin, je ne peux pas écrire : $\widehat{BAC}+\widehat{CAD}=\widehat{BAD}$ (*)
Fais un dessin de 2 angles adjacents $\widehat{BAD}$ et $\widehat{CAD}$ (adjacents = ils sont un côté en commun et sont situés de part et d'autre du côté commun. Ici, dans mon exemple [AD] est le côté commun)
Maintenant, suis sur le dessin ce que j'ai écrit ici (*) : c'est une belle bêtise...
Avec les angles orientés, no problem :
$(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})+(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD})=(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD})$
(N-B : charnière : $\overrightarrow{AC}$
Là, aucun pb en effet, puisque les angles orientés peuvent être négatifs, ou positifs.
Et si tu regardes le dessin, tu vois que $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})$ et $(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD})$ auront des mesure opposées, donc il y aura soustraction. :
Supposons :
$(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})=60°$ et $(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD})= -20°$
Alors $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})+(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD})= 60°-20° = 40°...

Alors que si j'écris $\widehat{BAC}+\widehat{CAD}=\widehat{BAD}$, je dis que : 60° + 20° = 40°...
Pour avoir le bon résultat, j'aurais dû avoir le dessin et écrire :
$\widehat{BAC}-\widehat{CAD}=\widehat{BAD}$

L'avantage des angles orientés, c'est que la relation de Chasles s'applique sur des angles qui ont des mesures positives ou négatives et que la mesure de l'angle somme (algébrique) des deux autres sera toujours exacte...

Tu comprends ?

[EDIT] Bonne nuit...
Je ne t'avais pas laissé tombé, mais je prends du temps pour écrire...
Je vois que tu avais fini par trouver...

Dernière modification par yoshi (22-04-2020 21:19:25)

yoshi · 24-04-2020 15:06:36

Re,

Je t'ai vu passer 2 ou 3 fois ce matin sans déposer de message :
- ou c'est mauvais signe : quelque chose t'arrête et tu tournes en rond (à ce stade, je ne vois vraiment pas quoi)
- ou tu attends une suite... Mais, moi aussi !
Comme tu t'arrêtes toujours en route, je vais compléter ta réponse à ta place :
$(-\vec u, \vec v)=(-\vec u, \vec u)+(\vec u, \vec v)$.
Et comme tu as aussi trouvé que $(-\vec u, \vec u)=\pi$, alors $(-\vec u, \vec v)=\pi+(\vec u, \vec v)$
Qui s'écrit = $(-\vec u, \vec v)=(\vec u, \vec v)+\pi$

Maintenant tu vas montrer que : $(\vec u, -\vec v)=(\vec u, \vec v)+\pi$

@+

yannD · 24-04-2020 15:08:51

Salut Yoshi, oui, je me suis connecté pour voir s'il y avait une suite
Et je viens de voir que tu as répondu...
J'ai fait un dessin avec les angles adjacents mais j'ai l'impression que je me suis trompé dans ce que j'ai fait

Dernière modification par yannD (24-04-2020 15:13:42)

yannD · 24-04-2020 15:20:02

je n'ai pas compris pourquoi tu dis que ce que tu as écris est une bêtise

yoshi · 24-04-2020 16:23:09

Bonjour,

A la prochaine question, sois précis : dis-moi où se trouve ta citation...
40 min pour trouver le post dans lequel j'ai dit ça...
Je recommence...
Avec la géométrie classique, si je n'ai pas de dessin sous les yeux, ce n'est pas parce que je sais que $\widehat{BAC}=60°$ et $\widehat{BAD}=20°$ que je peux me permettre d'écrire :
$\widehat{CAD}=\widehat{CAB}+\widehat{BAD}=60°+20° = 80°$.
Ce serait une bêtise avec ce dessin : https://www.cjoint.com/c/JDyo70rltWW...
($\widehat{DAC}$ et $\widehat{DAB}$ sont adjacents)
Sur ce dessin, $\widehat{CAD}$ ne mesure pas 80°, mais 40°...
La bonne écriture était : $\widehat{CAD}=\widehat{CAB}-\widehat{BAD}$

Avec les angles orientés, on a : $(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD})= (\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB})+(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})=60°+(-20°)=40°$
Et si c'est [AB) qui est à l'intérieur de l'angle $\widehat{CAB}$, l'écriture $(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD})= (\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB})+(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})$ reste exacte :
simplement $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})= +20°$

Il n'y a pas deux écritures littérales, une pour chaque situation, mais une écriture littérale (formule) qui est vraie dans les deux situations...

C'est bon ?
Tu peux passer à la question posée, alors ?

@+

yannD · 24-04-2020 16:36:03

Oui.. je passe à la question posée
et je te demande pardon de ne pas avoir précisé où se trouver la question que je n e comprenais pas
merci pour le dessin

yannD · 24-04-2020 17:14:25

Pour démontrer la propriété : $(\vec u, $$-\vec v$$)=(\vec u, \vec v)+\pi$
j'ai d'abord pensé à partir de $(\vec u, $$-\vec v$$)= (\vec u,\vec v) + \pi $ et de dire :$(\vec u, $$-\vec v$$) = (\vec u,\vec v ) + ($$-\vec u$$,\vec u)$ puisque $($$-\vec u$$,\vec u) = \pi$
mais dans ce cas, la relation de Chasles ne va pas avec : $(\vec u, $$-\vec v$$) = (\vec u,\vec v ) + ($$-\vec u$$,\vec u)$

Dernière modification par yannD (24-04-2020 17:19:49)

yannD · 24-04-2020 17:20:48

j'ai une autre idée, c'est de décomposer $(\vec u, $$-\vec v$$) $et de dire que $(\vec v,-\vec v) = \pi$

Dernière modification par yannD (24-04-2020 17:21:13)

Zebulor · 24-04-2020 17:25:28

Bonsoir Yann,
bonne idée ..
$(\vec u,-\vec v)=(\vec u,\vec v)+ ... $?

yoshi · 24-04-2020 17:25:52

Oui, présente ta démo...

yannD · 24-04-2020 17:31:58

Donc j'ai pensé à décomposer $(\vec u, $$-\vec v$$) $ en une somme de deux angles de 2 vecteurs , c'est à dire comme pour la propriété précédente
$(\vec u, $$-\vec v$$) = (\vec u,\vec v ) + (\vec v,$$-\vec v$$)$
et là, il faudrait dire que $(\vec v,$$-\vec v$$) = \pi$

Dernière modification par yannD (24-04-2020 17:35:51)

yoshi · 24-04-2020 17:50:22

et là, il faudrait dire que

Pourquoi un conditionnel ?
Tu n'es pas sûr que $(\vec v,-\vec v)=\pi$ ?

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#101 21-04-2020 17:58:59

Re : Dm produit scalaire

#102 21-04-2020 18:52:35

Re : Dm produit scalaire

#103 22-04-2020 16:27:37

Re : Dm produit scalaire

#104 22-04-2020 16:48:12

Re : Dm produit scalaire

#105 22-04-2020 17:09:19

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#106 22-04-2020 17:51:34

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#107 22-04-2020 18:43:03

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#108 22-04-2020 19:40:34

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#109 22-04-2020 19:59:03

Re : Dm produit scalaire

#110 22-04-2020 20:17:56

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#111 22-04-2020 20:36:58

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#112 22-04-2020 20:51:08

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#113 22-04-2020 20:52:47

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#114 22-04-2020 21:16:21

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#115 24-04-2020 15:06:36

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#116 24-04-2020 15:08:51

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#117 24-04-2020 15:20:02

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#118 24-04-2020 16:23:09

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#120 24-04-2020 17:14:25

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#125 24-04-2020 17:50:22

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