Dm produit scalaire

yoshi · 12-04-2020 17:43:00

B'jour,

Tu as raison :
un copier/coller non rectifié.
L'angle des vecteurs $\overrightarrow{CB}$ et $\overrightarrow{CA}$ est bien un angle du triangle ABC :
Je voulais écrire : c'est l'angle des vecteurs $\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{CA}$ qui n'est pas un angle du triangle rectangle.
De plus, il aurait même fallu écrire :
c'est l'angle des vecteurs $\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{CA}$ qui n'est pas un angle du triangle et il n'est pas non plus égal à l'un d'entre eux.
Vois-tu la différence de sens entre les deux formulations ?

C'est pour t'en convaincre que j'avais ajouté C' tel que $\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{BC}$ qui te permettait de constater (et même prouver) que cet angle mesurait 135°.
Au lieu de prendre C' tel que $\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{BC}$, j'aurais pu prendre un point A' tel que $\overrightarrow{BA'}=\overrightarrow{CA}$.
Et dans ce cas, on constatait que l'angle des vecteurs $\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{CA}$ était égal à l'angle des vecteurs $\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{BA'}$ qui ne pouvait pas être égal (puisqu'il mesurait 135°) à l'un des angles du triangle rectangle ABC.

C'est plus clair comme ça ?

Quand tu dis apprendre la démo du #60
1. Tu m'inquiètes : apprendre.... par cœur ??!
Si oui, alors il vaudrait mieux comprendre le pourquoi des deux parties avant de vouloir apprendre...
2. a) Je montre sur un cercle que M et M' tels que $\widehat{IOM}=45°$ et $\widehat{IOM'}=135°$ sont symétriques par rapport à (OJ).
C'est la définition de la symétrie orthogonale qui me permet de conclure : (OJ) doit être la médiatrice de [MM']. C'est ce que je démontre (faisable en 4e/3e)
b) J'ai remontré, au cas où cela où cela ait pu être nécessaire, que les deux angles $\widehat{IOM}$ et $\widehat{IOM'}$ tels que les points M et M' sont symétriques par rapport à (OJ) ont des cosinus opposés... (niveau 2nde - cercme trigonométrique)

J'aurais préféré de beaucoup que tu finisses le travail engagé et seulement après que tu reviennes sur ce qui a été fait : je suis persuadé ces constants (depuis le début) retours en arrière sont de nature à te faire perdre le fil et nous obliger, quand tu reprends, à revenir sur des points alors oubliés.
Je me demande même si ce n'est pas une forme de procrastination inconsciente, comme le cheval qui se refuse au moment de sauter l'obstacle...

"Joyeuses" Pâques quand même...

@+

yoshi · 18-04-2020 16:59:08

Re,

Hello ???
Toujours avec nous ?

@+

yannD · 19-04-2020 14:51:31

Hello !! oui, toujours avec vous.

yannD · 20-04-2020 10:25:45

Bonjour Yoshi, la démonstration que tu m'a montré , est-ce que c'est le chapitre sur les angles associés ?

Dernière modification par yannD (20-04-2020 10:52:57)

yannD · 20-04-2020 10:52:33

Peux-tu me dire si en première , il faut d'abord voir le chapitre sur les mesures
d'un angle orienté avant de voir les angles associés ? est-ce que l'inverse ?
parce que je n'arrive pas à savoir ,

yoshi · 20-04-2020 11:46:42

RE,

la démonstration que m'a montré

Laquelle ? #60 avec explications supplémentaires en #75 ?
Par angles associés tu veux dires angles orientés de deux vecteurs ?

Si oui, la réponse est oui et non..
Voilà un angle orienté de deux vecteurs : $(\overrightarrow{CB}, \overrightarrow{CA})$ cet angle possède un signe :
c'est l'angle dont pivote autour de C, le vecteur $\overrightarrow{CB}$ pour devenir colinéaire au vecteur $\overrightarrow{CA}$

A partir de là découlent des propriétés
$(\overrightarrow{CB}, \overrightarrow{CA})=-( \overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB})$
$(\overrightarrow{BC}, \overrightarrow{CA})=(-\overrightarrow{CB}, \overrightarrow{CA})=(\overrightarrow{CB}, \overrightarrow{CA})+\pi$
$(\overrightarrow{CB}, \overrightarrow{AC})=(\overrightarrow{CB},-\overrightarrow{CA})=(\overrightarrow{CB}, \overrightarrow{CA})+\pi$
$(-\overrightarrow{BC},-\overrightarrow{BA})=(\overrightarrow{BC}, \overrightarrow{BA})$
Et une autre forme de la relation de Chasles :
$(\overrightarrow{CB}, \overrightarrow{CA})+(\overrightarrow{CA}, \overrightarrow{CD})=(\overrightarrow{CB}, \overrightarrow{CD})$

Bon, après vérifications, angles associés ça existe, je ne connaissais pas l'expression, mais ce que c'était, oui...
Dès lors que sur le cercle trigo, tu parles d'un angle de -30°, tu utilises un angle orienté : tu dis que tu utilises un angle de 30° mesuré dans le sens inverse du sens trigonométrique...
Au lieu de dire -30°, tu pourrais aussi bien parler d'un angle de 330°
Quand j'ai évoqué l'expression angle orienté, il s'agissait du cas précis "d'angle orienté de deux vecteurs".

Tiens un cours bien fait (ils ne le sont pas toujours) en accord avec la façon dont je pense :
http://www.mathematiques-lycee.com/cour … ocies.html

@+

yannD · 20-04-2020 12:30:03

$(\overrightarrow{CB}, \overrightarrow{CA})=-( \overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB})$ est-ce que c'est la démonstration du #60

yoshi · 20-04-2020 12:49:49

Salut,

On doit pouvoir le faire aussi comme ça, mais dans ma démo, je n'ai pas utilisé d'angle orienté de deux vecteurs : c'est inutile avec les produits scalaires, puisque tu y utilises le cosinus de l'angle et que $\cos(-\alpha)=\cos(\alpha)$.
On se fiche donc du signe de l'angle...

Attention à ne pas confondre $(\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CA})$ qui est un angle orienté avec le produit scalaire $\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{CA}$....

Si tu prends garde à ce que les deux vecteurs du produit scalaire aient bien la même origine, tu n'auras pas de problème :
Dans le produit scalaire $\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{CA}$, ce n'était pas le cas, donc le plus simple était de la rétablir dans l'écriture :
$\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{CA}= (-\overrightarrow{CB}).\overrightarrow{CA}=-(\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{CA})$
Et tu pouvais alors utiliser l'angle $\widehat{BCA}=\widehat{ACB}$ : c'était le même angle du triangle (on ne s'est pas occupé d'angles orientés)

@+

yannD · 20-04-2020 14:01:03

si j'ai bien compris toutes ces propriétés sont à démontrées :
$(\overrightarrow{CB}, \overrightarrow{CA})=-( \overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB})$
$(\overrightarrow{BC}, \overrightarrow{CA})=(-\overrightarrow{CB}, \overrightarrow{CA})=(\overrightarrow{CB}, \overrightarrow{CA})+\pi$
$(\overrightarrow{CB}, \overrightarrow{AC})=(\overrightarrow{CB},-\overrightarrow{CA})=(\overrightarrow{CB}, \overrightarrow{CA})+\pi$
$(-\overrightarrow{BC},-\overrightarrow{BA})=(\overrightarrow{BC}, \overrightarrow{BA})$

Est-ce tu faisais les démonstrations de toutes ces propriétés avec tes élèves de première ?
Si oui, peux-tu me proposer les démonstrations à faire en exercice ? s'il te plait

Dernière modification par yannD (20-04-2020 14:04:24)

yoshi · 20-04-2020 14:40:20

Re,

Et si tu me montrais d'abord la fin de ton DM...
je n'ai jamais aimé jouer les papillons : voilà plus d'une semaine que le sujet n'a pas été évoqué, mais je n'ai pas oublié !!!

Donc où en est la fin de ton DM ?

Après, on reparlera angles orientés de vecteurs.

@+

yannD · 20-04-2020 15:05:14

Oui , tu as raison.. et la semaine dernière, j'ai arrêté pour prendre un peu de vacances, je suis allé faire du sport (j'en avais besoin)
Bon alors pour ce DM , j'ai prouvé que $\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CD}.\overrightarrow{CA} - \overrightarrow{CB}.\overrightarrow{CA}$

yoshi · 20-04-2020 15:16:22

Oui, on s'était arrêté là...
Et après ?

yannD · 20-04-2020 15:28:13

je remplace les valeurs de chaque produit scalaire pour trouver 0

yoshi · 20-04-2020 15:35:40

Oui, et la conclusion finale ?

yannD · 20-04-2020 16:28:17

je refais les caculs , ça me permettra de revoir la formule du produit scalaire

on m'a demandé de calculer : $\overrightarrow{CD}.\overrightarrow{CA}$
$\overrightarrow{CD}.\overrightarrow{CA} = ||\overrightarrow{CD}||\times||\overrightarrow{CA}||\times\cos\widehat{BCD}$
puisque $\cos\widehat{BCD} = \cos (60°) = \frac 1 2$
$\overrightarrow{CD}.$$\overrightarrow{CA}$$ = 4\sqrt{2}\times4\sqrt{2}\times \frac 1 2 = 4\times 4\times \sqrt{2}\times \sqrt{2} \times \frac 1 2 = 16 \times \left(\sqrt{2}\right)^2 \times \frac 1 2 = 16$

et de calculer
$\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{CA} = -(\overrightarrow{CB}) .\overrightarrow{CA} $
$\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{CA} = -(\overrightarrow{CB}) .\overrightarrow{CA} = -(\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{CA}) $
$-(\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{CA}) $$= -\left(CB\times CA\times \cos(\widehat{ABC}\right) = -\left(4\times4\sqrt{2}\times \cos(45°)\right)$
puisque $\cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2} $
$-(\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{CA}) $$ = -\left( 4\times4\times \sqrt{2}\times \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\left(2\times 4\times \left(\sqrt{2}\right)^2 \right) = -\left(8\times 2\right) = -16$

Puisque $\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CD}.\overrightarrow{CA} - \overrightarrow{CB}.\overrightarrow{CA}$
alors $\overrightarrow{BD}$$.\overrightarrow{CA} = 16 - 16 = 0$

Dernière modification par yannD (20-04-2020 17:39:58)

yoshi · 20-04-2020 16:29:56

Ok...
Et le DM se termine sur une question à laquelle on ne peut pas répondre correctement si on n'a pas trouvé $\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{CA}=0$.

Réponse à cette question ?

(N-B : on peut aussi y répondre en utilisant seulement... la Géométrie de 4e ! ^_^)

yannD · 20-04-2020 16:51:57

et bin , je vois pas..

yoshi · 20-04-2020 17:04:16

Normal ! Puisque tu as mal résumé ta conclusion et que je n'ai pas contrôlé assez attentivement, j'ai été piégé !:
En effet, c'est $\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{CA}=0$ et non $\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{CA}$...

Donc, trace de façon très marquée tes droites (BD) et (CA) et regarde bien ces deux droites : si tu ne vois rien, c'est que tu as besoin de lunettes...

yannD · 20-04-2020 17:50:44

les droites sont perpendiculaires

yoshi · 20-04-2020 18:08:23

Eh oui..
Tu devrais aller relire le post #2 : c'est écrit déjà dans ma réponse...
Si un produit de facteurs est nul, c'est que l'un au moins des facteurs l'est !
Ici, le produit scalaire est nul, et comme aucune des deux normes de vecteur n'est nulle, alors le cos est nul...
Et le cos est nul pour un angle de 90° : la réponse était aussi dans la définition.

Questions ?

Si non, la suite est programmée..

yoshi · 20-04-2020 18:12:26

Ave !

Alors allons-y...

Voici le dessin de base qui servira pour toutes les propriétés.
https://www.cjoint.com/c/JDuoM7IUgAW
Tous les vecteurs supplémentaires devront avoir pour origine O.
Toutes ces propriété sont vraies modulo $2\pi$...

1. On va comparer $(\vec u,\vec v)$ et $(\vec v, \vec u)$
Si tu relis ce que je t'ai dit de l'angle de 2 vecteurs de même origine, c'est "évident"...
2. Pour comparer $(-\vec u, \vec v)$ et $(\vec u, \vec v)$, trace le vecteur $-\vec u$
Que vaut $(-\vec u,\vec u)$ ?
En utilisant la relation de Chasles, décompose $(-\vec u, \vec v)$ en une somme de 2 angles orientés de vecteurs.
Conclusion ?

Quand, en 4e/3e, tu décomposais "à vue" un angle en une somme ou une différence de 2 autres à condition qu'ils aient le même sommet et un côté commun, ou lorsque tu additionnais ou soustrayais deux angles ayant le même sommet et un côté commun, pour en trouver un 3e...
Que faisais-tu ?
Rien d'autre, sans t'en douter (et c'est normal), qu'utiliser une fome restreinte de la relation de Chasles qu'on utilise sur les angles orientés de vecteurs...
Rien de bien nouveau sous le soleil, donc...

@+

yannD · 20-04-2020 20:04:43

Bonsoir Yoshi, j'ai recopié mon DM : mais je ne sais pas quand je vais le rendre !
j'ai beaucoup regardé l'ordinateur cet après-midi pour chercher des cours, il est un peu tard pour commencer maintenant
La seule solution pour y arriver c'est d'avoir un professeur, je vois mal comment je peux y arriver comme ça en cherchant à droite à gauche
et déjà qu'en classe j'ai dû mal à suivre...
On se dit à demain , ça marche ?

yoshi · 20-04-2020 20:27:04

Ca roule !

yannD · 21-04-2020 07:19:04

Bonjour Yoshi, les exercices de 4e/3e dont tu parles, par exemple, ça correspond à quel chapitre ?
parce que je n'ai pas mes cahiers de collège et ça fait déjà 1 et demi ans que je n'ai plus travaillé avec les angles

Pour le 1. comparer $(\vec u\,,\,\vec v) $ et $(\vec v\,,\,\vec u)$
c'est le même angle c'est comme pour $ \overrightarrow{CB}.\overrightarrow{CA}$ et $\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}$
donc ils sont égaux

Pour le 2.
$(-\vec u$$ ;\,\vec u) = \pi$ (angle plat)

$(-\vec u$ $,\,\vec v) = (\vec u\, , \, \vec u) - (\vec u\, , \, \vec v)$

Dernière modification par yannD (21-04-2020 07:51:29)

yoshi · 21-04-2020 11:16:39

Re,

Pour le 1. comparer $(\vec u,\vec v)$ et $vec v,\vec u)$
c'est le même angle.

Non.
Tu as oublié que ce sont des angles orientés (de vecteurs), pas les angles classiques vus en Collège...
L'adjectif orienté est là pour te rappeler que le sens de rotation compte !
Alors, est-ce que tu tournes dans le même sens lorsque tu amènes $\vec u$ sur $\vec v$ que lorsque tu amènes $\vec v$ sur $\vec u$ ?
Conclusion ?

Pour le 2.
$(-\vec u$$ ;\,\vec u) = \pi$ (angle plat)

ok !

$(-\vec u$ $,\,\vec v) = (\vec u\, , \, \vec u) - (\vec u\, , \, \vec v)$

Pas vraiment... Il faut penser vecteur maintenant !
Pour appliquer la relation de Chasles sur les vecteurs, il fallait que l'extrémité du 1er vecteur soit la même que l'origine du second
En ce qui concerne les angles de vecteurs, pour appliquer la relation de Chasles et additionner deux angles orientés de vecteurs, il faut que le 2e vecteur du 1er angle soit le même que le 1er vecteur du 2e angle.
Exemples :
$(\vec u , \vec v) = (\vec u, \vec w) + (\vec w, \vec v)$
$(\overrightarrow {AB}, \overrightarrow {AC})=(\overrightarrow {AB}, \overrightarrow {AD})+(\overrightarrow {AD}, \overrightarrow {AC})$

Au fait que vaut $(\vec u, \vec u)$ ?

@+

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#76 12-04-2020 17:43:00

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