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nina1

Invité

arithmetique

salut tout le monde pouvez vous m'aider a résoudre cette équation dans z*z
x^2 -9 y^2 =2
en fait j'ai essayé de trouver une solution particulière mais je n'arrive pas est ce que je peux utiliser la congruence ?
merci d'avance:)

yoshi

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Re : arithmetique

Bonjour,

Remarque n°1
Le domaine de définition de la la fonction $f : f(x,y) =x^2-9y^2-2$ est $x \in ]-\infty\,;\,-\sqrt 2]\,\cup\,[\sqrt 2\,;\,+\infty[$
le graphe de la fonction f : $ f(x,y)$ présente une double symétrie
* par rapport à l'axe des ordonnées : $f(-x,y)=f(x,y)$
* par rapport à l'axe des abscisses :   $f(x,-y)=f(x,y)$
On peut donc limiter l'étude à  $[\sqrt 2\,;\,+\infty[\; \times\; \mathbb N$

Remarque n°2
Je vais écrire
$x^2-9y^2+2$
$\Leftrightarrow$
$x^2-(3y)^2=2$
La question se pose maintenant ainsi avec $a=x$ et  $b=3y$ :
existe-il au moins un couple d'entiers (a,b) tel que $a^2-b^2=2$ ?
Pour moi, la réponse est non.
L'écart minimum entre les carrés de 2 entiers consécutifs n+1 et n, est  2n+1.
Quelle(s) valeur(s) pour n ?
$2n+1=2\;\Leftrightarrow\;n=\frac 1 2\;\not \in \mathbb N$

En résumé, pour moi $x^2-9y^2=2$ n'admet pas de solution entière...

J'ai fait un contrôle partiel avec Python.
J'ai créé la liste des carrés des entiers $x$ de 2 à 100000 (dernier : $10^{10}$)
J'ai cherché pour chaque y allant de 1 à 33333 si $9y^2+2$ figurait dans la liste des carrés ci-dessus
Pas de résultat...
Pourquoi 33333 ?
Si $x^2-9y^2=2$  alors $9y^2=x^2-2$ et $y =\sqrt{\dfrac{x^2-2}{9}}$

D'où avec $x^2=10^{10}$,  $y =\sqrt{\dfrac{10^{10}-2}{9}}\approx 33333$

Sauf erreur naturellement, c'est pourquoi je souhaiterais avoir un 2e avis.

Je ne suis même pas sûr qu'on ait une réponse en partant de $\mathbb Q \;\times \;\mathbb Q$

@+

Black Jack

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Re : arithmetique

Bonjour,

Proposition :

x^2 -9 y^2 =2
(x-3y)(x+3y) = 2
(par produits d'entiers, on peut écrire 2 uniquement par (1*2), (2*1) (-2*-1), (-1*-2))

x-3y = 1
x+3y = 2
--> pas de solutions dans Z²
ou

x-3y = 2
x+3y = 1
--> pas de solutions dans Z²

ou

x-3y = -2
x+3y = -1
--> pas de solutions dans Z²

ou

x-3y = -1
x+3y = -2
--> pas de solutions dans Z²

Et donc pas de solutions dans Z² à x^2 -9 y^2 =2

(par contre, il y a des solutions dans Q², déjà celles issues des 4 systèmes ci-dessus et probablement d'autres).

Toutes erreurs incluses ...

yoshi

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Re : arithmetique

Re,

Astucieux...

Et je suis rassuré : je n'ai pas dit d'âneries.

@+

nina1

Invité

Re : arithmetique

salut tout le monde ,
merci beaucoup pour votre aide ,
j'ai utilisé cette méthode
x^2 -9 y^2 =2 signifie  x^2=2 (9)
puis j'ai cherché les restes de x^2 sur 9 qui sont { 0,1,4,7 } ne comprenant pas 2 donc  l’équation n'a pas de solution dans z*z
est ce que c'est juste au niveau de l’équivalence?
merci infiniment et bonne journée :)