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sedah

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DM : Produit d'entiers consécutifs [Résolu]

Bonjour j 'ai un DM  à faire pour apres les vacances et j 'aurais besoin de votre aide qui m 'est precieuse SVP ET MERCI D '  AVANCE

ex1 :
Si n appartient à N* ( n etoilé ) , on pose A = n(n+1)(n+2)(n+3)+1
1)Calculer A lorsque n = 1 puis n=2 ; n=3,n=4 et enfin n = 5
Que remarque t 'on ? (propriété )
2)On pose a=n(n+3)
a)Exprimer en fonction de a le produit (n+1)(n+2)
b)Demontrer alors que la propriete du nombre A constaté pour n=1,n=2...,n=5 est en realité vraie pour toutes les valeurs de n

voilà mes reponses
1)
A=n(n+1)(n+2)(n+3)+1

pour n=1

A=1(1+2)(1+3)+1
= 25

pour n=2
A=2(2+2)(2+3)+1
A= 121

pour n =3
A=3(3+1)(3+2)(3+3)+1
A= 361

pour n =4
4(4+1)(4+2)(4+3)+1
A= 841

pour n=5
A= 5(5+1)(5+2)(5+3)+1
A= 1681

voila mes resultats :
   25-121-361-841-1681

pas contre je n 'ai pas trouvé de proprieté j 'ai multiplié , soustrait , divisé : il n 'on rien en commun pour le moment qu 'est ce que vous me proposez comme operation
ce que j 'ai remarqué c 'est qu 'il ont tous une racine
V25=5
V121=11
V361=19
V841=29
V1681=41

2)a=n(n+3)
(n+1)(n+2)
si l'on developpe (n+1)(n+2)
= naucarré+2n+1n+2
si l 'on reduit
n(n+3)
par contre le 2 restant on le met en dehors de la parenthese : je crois
n(n+3)2
car
(n+1)(n+2)
naucarré+2n+1n+2
naucarré+3n+2
mais pour la propriete je bloques ,

j 'ai pris un exemple ;: prenons 6
je calcul A avec n =6
A=n(n+1)(n+2)(n+3)+1
A= 6(6+1)(6+2)(6+3)+1
A= 3025
la racine carré de 3025 est : 55
je remplace n par 6 dans n(n+3)
a=n(n+3)
a= 6(6+3)
a=54
puis je remplace n par 6 dans (n+1)(n+2)
(6+1)(6+2)
=56
je remarque que j 'obtient : 55-54-56
sachant que 55 est la racine de 3025
j  'obtient un nombre precedent et suivant du nombre de ma racine
pouvez vous m 'aider SVP

john2£

Invité

Re : DM : Produit d'entiers consécutifs [Résolu]

Bonsoir,
Bien vu pour la remarque !!! A est donc un carre.
La question 2 te donne la marche a suivre pour demontrer que A est un carre quel que soit n.
A+
john from UK

sedah

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Re : DM : Produit d'entiers consécutifs [Résolu]

bonjour et merci

j 'ai fais une erreur lorsque j 'ai remplacé  n par1
en fait c 'est :
1(1+1)(1+2)(1+3)+1
=25

et non
1(1+2)(1+3)+1

Dernière modification par sedah (01-01-2008 15:23:06)

yoshi

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Re : DM : Produit d'entiers consécutifs [Résolu]

Salut,

Quand tu écris :

si l'on developpe (n+1)(n+2)
= naucarré+2n+1n+2
si l 'on reduit
n(n+3)
par contre le 2 restant on le met en dehors de la parenthese : je crois
n(n+3)2
car
(n+1)(n+2)
naucarré+2n+1n+2
naucarré+3n+2
mais pour la propriete je bloque

Ce n'est pas juste.
En effet (n+1)(n+2)=n²+3n+2 = n(n+3)+2 =a+2 et non n(n+3)2

Or, A = n(n+1)(n+2)(n+3)+1 =n(n+3)(n+1)(n+2)+1
Donc A = a(a+2)+1 = a²+2a+1=(a+1)²
Donc A est toujours un carré.

@+

sedah

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Re : DM : Produit d'entiers consécutifs [Résolu]

o.k merci j 'ai compris

pour la question 1 on me demande apres avoir effectuer les calculs : ce que l 'on remarque avec une proprieté voila ce que j 'ai ecris pouvez vous me dire ce que vous en pensez ?
Je remarque que quelques que soit le nombre n (ou la valeur), le resultat A que j 'obtient dans le calcul A=n(n+1)(n+2)(n+3)+1
possede toujour une racine carré .
demonstration
V25 = 5
V121=11
V361=19
V841=29
V1681=41
(V est la racine carré)

pouvez vous m 'aider pour cette demonstration

Dernière modification par sedah (03-01-2008 17:45:31)

yoshi

Modo Ferox

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Re : DM : Produit d'entiers consécutifs [Résolu]

Bonjour,

Question 1 : Rien à démontrer, c'est juste un constat que tu dois faire après quelques calculs et tu l'as fait... Je durais simplement qu'il faut vu que la 2a) te mène jusqu'à un carré et non une racine, changer la formulation de ta propriété : "le résultat obtenu est toujours le carré d'un nombre entier".

J'espère que tu n'imagines pas que des calculs sur quelques exemples sont une démonstration : c'est simplement une "conjecture" avec une forte probabilité d'exactitude, certes mais pas une démonstration. La démonstration est faite dans le 2b)

@+