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SimbaLeRoi

Invité

Probabilité (urne sans remise)

Bonjour et merci de votre attention.
J'ai un soucis avec un exercice qui ne me parait pas bien compliquer, pourtant je pense me tromper car le resultat que j'obtien me semble incohérent ou alors c'est juste moi qui interprète mal les choses.
l'exercice est le suivant :
Une urne contient N boules numérotées parmis ces N boules les boules numéroter de 1 a M sont rouge et les autre sont blanche, on effectue le tirage successif de n boules.
Calculer P(Ak) oú Ak={le kieme tirage est une boule rouge}

Ce que j'ai fais :
Notre ensemble des evenements est E={ les injections de {1,2,...n} dans {1,2,...,N}} qui a un cardinal de N!/(N-n)!
Mnt le cardinal de Ak, soit w dans Ak
Il y a M choix possible pour la valeur de w(k) ensuite il y a (N-1)!/(N-n)! Facons d'arranger les termes restant Donc #Ak=M.(N-1)!/(N-n)!

Et c'est là que je doute, car si j'imagine une tel experience et j'ai l'impression que cette probabilité devrais finalement dependre de k ? Par ex si il y a 1 boules rouge sur 10 j'ai l'intuition peu etre fausse que j'ai plus de chance de tirer la boule rouge au 10e tirage que au premier. Je ferais mieu de ne jamais jouer au jeu de hasard je pense ahah.

Bon sinon le resultat donne P(Ak)=M/N ce qui est tout de même simpa mais qui me surprend un peu, donc si vous pouvez confirmer que mon raisonement est bon (et que mon intuition est fausse du coup) merci beaucoup, passer une bonne soirée.

SimbaLeRoi

Invité

Re : Probabilité (urne sans remise)

*** J'ai oublier de préciser SANS remise pardon ***

freddy

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Re : Probabilité (urne sans remise)

*** J'ai oublier de préciser SANS remise pardon ***

Salut,

c'est la première question que j'allais te poser.
La seconde est de savoir comment est $n$ par rapport à $M$ et $N$
La troisième est de bien comprendre le processus : on tire successivement et sans remise $n$ boules, on est d'accord ?
Si oui, je te propose de vérifier ton résultat de manière simple, en posant $k=1$, puis $k=M$ et enfin, $k=n$.
Attention, je n'ai encore fait aucun calcul !

SimbaLeRoi

Invité

Re : Probabilité (urne sans remise)

Bonjour, merci de ta reponse .
Je n'ai aucune indication entre n et M mais il est vrai que dans mon raisonement j'ai supposer n<M. Il faut peut etre separer les deux cas n<M et n>M.
Oui on est d'accord succesivement et sans remise

Bah mon probleme c'est justement que mon resultat ne dépend pas de k.

Je trouve P(Ak)=M/N

freddy

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Re : Probabilité (urne sans remise)

Re,

je pense qu'il faut faire simple. J’adapte les notations.
$k=1$, la proba est égale à $R/N$
$k=2$, la proba est la somme de deux évènements disjoints :  tu as tiré R au premier tour et la proba de R au second tirage est égale à $ R/N*(R-1)/(N-1)$ ou alors tu as tiré nonR=B au premier tour et donc la proba de R  au second tirage est égale à  $B/N*R/(N-1)$

Au total, tu as une probabilité égale à  ?

De proche en proche, tu devrais trouver la réponse. Comme tu l’as remarqué, c’est un résultat un peu surprenant !

Dernière modification par freddy (11-02-2020 20:13:22)

SimbaLeRoi

Invité

Re : Probabilité (urne sans remise)

Merci encore de ta reponse j'ai essayer pour le cas k=3 .
Je retrouve bien M/N ce qui me conforte dans mon resultat. Merci beaucoup

Calcul :
On distingue 4 possibilité : (RRR, BBR, RBR, BRR)
M(M-1)(M-2)/(N(N-1)(N-2)
(N-M)(N-M-1)M/ (N(N-1)(N-2)
Les deux dernière possiblilite on la même proba :
(N-M)M(M-1)/(N(N-1)(N-2)

Ce qui donne le resultat M/N en sommant et devellopant.

Merci beaucoup bonne jourée.