Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Simon

Invité

nombre bizare [Résolu]

Bonjour ,
Je suis en classe de quatrième , je ne sais pas si se site est adapté à cette demande
qui vous paraitra surement trop simple .
Mais moi je ne vois pas trop , mon prof dans une serie d'exercise à glissé en dernier ce nombre :
90,90909090909090...
en nous demandant de " l'identifier" .
J'ai pensé à des carrés , racine carré ou cubique , un code , puis j'ai abandonné .
Si ça inspire quelqu'un , soyez sympa de me donner une piste .
Merci.
Simon

Jeris

Invité

Re : nombre bizare [Résolu]

Elémentaire mon cher Simon ,

Ca me rappel l'histoire de l'automobiliste qui perd bêtement un point et un bonne poignée d'euros .
Il roule à 100km/h sachant que son compteur major la vitesse de 10%,
il passe devant un radar et ..... flash !
Si seulement il avait été moins stupide , raisonant ainsi : que 10% de 100 faisant 10 , donc 100-10 et qu'il roulait donc à 90 km/h.
Alors qu'il roulait , à 100/1.1 = 90,9090909090...
Je te le dis , ils ont tout fait pour te prendre du fric ! surtout quant on voit cette série INSULTANTES DE 90 !
qui s'enchâinent  à l'infini en te narguant , alors que nous sommes à +- 91, à pleurer , non ?

Jeris

yoshi

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Re : nombre bizare [Résolu]

Bonsoir,

Et bienvenue sir BibM@th...
Je pense que ton prof attendait peut-être que tu dises que c'est un nombre décimal...
On croit souvent en effet que nombre à virgule = nombre décimal, ce qui est inexact...
Ce nombre, tu le verras plus tard, est "une suite décimale périodique illimitée", un "nombre rationnel" pur et pas décimal. Toute la différence tient dans l'adjectif "illimitée"... Un nombre décimal a une "partie décimale" dont le nombre de chiffres, aussi grand soit-il, est connu ! Un nombre rationnel peut s'écrire comme un quotient de deux nombres entiers.

Les nombres sont rangés dans des catégories contenant chaque fois la précédente, comme les poupées russes :
- Nombres entiers naturels,
- Nombres entiers relatifs,
- Nombres décimaux relatifs
- Nombres rationnels
- Nombres réels
On s'arrêtera là pour ne pas compliquer inutilement les choses...
Tu peux voir qu'il y a une catégorie supplémentaire... Eh oui, il existe des nombres qui ne peuvent pas s'écrire sous la forme du quotient de 2 nombres entiers, tu en connais un déjà, le nombre [tex]\pi=3,141592653589...[/tex]...
Ce nombre n'a pas de période : dans sa partie décimale, il n'y aura jamais aucun groupe de chiffres qui reviendra périodiquement comme ton 90, il fallait bien le ranger quelque part, d'où la dernière catégorie qui contient aussi toutes les autres.
Donc 90,9090909090... = 1000/11
.Autre exemple de nombre rationnel pur (n'appartenant pas aux catégories qui précèdent les nombres rationnels) : 7,692307 6902307 392307... = 100/13

@+

Simon

Invité

Re : nombre bizare [Résolu]

Bonsoir,
Et merci pour vos réponses,  celle de Jeris est trop drôle et certainement juste car il trouve comme vous deux ,100/1.1 ce qui est la même chose que 1000/11.Si seulement les maths étaient expliquées d'une manière aussi amusante qu'il le fait ce serait trop cool.Yoshi , ja'i seulement une autre question , j'ai lu que les nombres décimaux se terminaient , alors que 90,909090... veut dire pas de fin mais la division  100/1.1 qui est égale  peut elle^etre un nombre décimal  , ça j'ai du mal à le comprendre , mais comme vous le dites c'est pour plus tard , je vais encore y réflechir .
Merci et bonne soirée.
Simon

Simon

Invité

Re : nombre bizare [Résolu]

Bonjour,
C'est encore moi , je voudrais encore vous poser une question , comment peut on alors écrire le résultat d'une aire ou d'une circonférence de cercle avec le signe égale ?, puisquon utilise  Pi et qu'il n'est pas un nombre décimal qui se termine exacte , c'est peut être pour ça qu'on lui a donné un nom ? pour qu'il se termine et faire croire que s'en était un .
Moi je suis presque sûr qu'il doit exister un autre nombre que Pi ou un nombre fini pour ça , je vous dirais pourquoi je pense ça bientôt ,mais  je vais encore y réflechir .
Bon dimanche
Simon

yoshi

Modo Ferox

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Re : nombre bizare [Résolu]

Bonjour Simon,

Question intéressante !
Mais sont la réponse est "simple"... Ces nombres étant impossibles à écrire de façon décimale exacte et comme on ne peut pas utiliser une fraction, le seul moyen qu'on ait trouvé pour certains d'entre eux, c'est de leur donner un nom, comme par exemple [tex]\pi[/tex]
Et on écrit alors, :
- valeur exacte du périmètre d'un cercle de rayon 3 m (par exemple) : [tex]6\pi[/tex]
- valeur exacte de l'aire d'un disque de rayon 3 m (par exemple) : [tex]9\pi[/tex].

Ceci dit, il existe (beaucoup) d'autres nombres comme celui-là,. Sur ta calculette, tu dois voir le symbole [tex] \sqrt x[/tex]...
Tu vas l'utiliser cette année avec le théorème de Pythagore. Si tu cherches quelle est la mesure du côté d'un carré dont l'aire est 2 m², par tâtonnement tu vas trouver 1,41421356... soit si on veut écrire une valeur exacte : [tex]\sqrt 2[/tex].
On peut d'ailleurs apporter une preuve irréfutable de ce que ce nombre n'est pas un nombre rationnel, c'est à dire qu'il ne s'écrit pas sous la forme d'une fraction...

Il y en a d'autres qui n'ont pas de nom, par exemple celui-ci ; 1,01001000100001... (je rajoute chaque fois un zéro de plus). Il a beau être une somme de fractions : [tex]1+{1 \over 100}+{1 \over 100000}+{1 \over 1000000000}+\cdots[/tex] on se retrouve devanr le même problème puisqu'on ne peut pas terminer cette écriture !

Ne cherche pas d'autre "astuce", il n'y en a pas... Désolé de te décevoir ! ;-)

@+

Simon

Invité

Re : nombre bizare [Résolu]

Bonjour  Yoshi ,

Voilà pourquoi je pense qu'il y a peut être un autre nombre pour calculer dans le cercle , pour le carré , le rectangle , le triangle on tombe juste , les formules sont égales à ce qu'on peut mesurer dans la réalité , alors pourquoi pas pour le cercle, il a bien un périmètre  exacte  lui aussi si on le mesure au compas ou au mètre .
Avec les techniques actuelles si on cherche on devrait bien trouver . Pourquoi pense  t-on toujours que les anciens n'on pas pu se tromper ou abandonner devant la difficulté . Dans les livres on dit toujours que les arabes ont inventés ceci , les grecs celà , mais bien avant eux pour la construction des temples ,pyramides, ou peut être même bien avant on se servait déjà de ces formules alors l'histoire n'est pas toujours vraie et heureusement sinon nous il nous resterait quoi à chercher ?

jeris

Invité

Re : nombre bizare [Résolu]

Bonjour,
Peut être en toi un futur Einstein ? ,
Mais nz desespère pas trop , les forêts sont pleines de champignons ...en automne  ;(

yoshi

Modo Ferox

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Re : nombre bizare [Résolu]

Re,

Jeris te "chambre" gentiment...
En fait, en théorie, tu as raison.
Dans la pratique cependant, avant qu'une découverte devienne "parole d'évangile", elle a été passée et repassée au crible par des dizaines et des dizaines de mathématiciens, année après année, siècle après siècle...
Et s'il y avait la moindre chance pour que Pi (pour ne citer que lui) puisse être écrit de manière exacte avec des chiffres et une virgule, depuis le temps, on aurait trouvé (il me semble que les 30 premières décimale de Pi sont connues depuis en gros 2 millénaires).
Non le cercle n'a pas de périmètre exact quand "on le mesure au compas ou au mètre", ou alors c'est le diamètre correspondant qui n'a plus de valeur décimale exacte...
La recherche mathématique est maintenant tellement "pointue" que le niveau de base est extrêmement élevé, et qu'il ne concerne plus le programme  qu'on peut enseigner jusqu'en Terminale S (le notions les plus modernes : nombres complexes, origine XVie s, vecteurs, origine fin XVIIIe- XIXe s... pas bien jeune, s'pas ?).
La recherche en (je vais me faire des ennemis..) "mathématiques appliquées", j'ai nommé les sciences physiques, offre probablement plus de résultats directement assimilables par le grand public.
A ce sujet, vu ta curiosité naturelle que je ne peux qu'encourager, je t'indique un lien vers des BD scientifiques librement téléchargeables :

http://www.savoir-sans-frontieres.com/J … m#francais

Ne t'y trompe pas, dessins et textes sont dûs la même personne Jean-Pierre PETIT, dont la "dernière de couverture" de sa BD "Le Trou Noir" que j'avais achetée dans le temps, précisait : Docteur es Sciences, chargé de recherche au CNRS, Astrophysicien, professeur aux Beaux-Arts et responsable d'un service de micro-informatique à la Faculté des Lettres d'Aix-en-Provence. Pas n'importe qui, donc..

@+

Simon

Invité

Re : nombre bizare [Résolu]

Bonjour ,
J'avais bien compris que c'était de l'humour , d'ailleurs je suivrais peut être bien ses conseils , et si j'en trouve un gros rouge avec des points blancs , je lui offrirais avec plaisir  lol
Pour le cercle , je n'ai surement pas raison de penser ça , mais ça fait rien je chercherai car je pense que si on fait une maquette d'un perimetre précis ,d'un  carré ou d'un rectangle avec de la ficelle et qu'on la déforme de façon à faire un cercle , le périmetre restera identique est exacte. D'ailleurs comment ont-ils déterminé la valeur de Pi ? les formules des carrés et rectangles , surement en construisant des choses, des maisons et après en essayant de faire refaire les mêmes , il fallait bine l'expliquer .
Seule contre tous , c'est vraiment trop injuste .

Barbichu

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Re : nombre bizare [Résolu]

Bonsoir

La recherche en (je vais me faire des ennemis..) "mathématiques appliquées", j'ai nommé les sciences physiques, offre probablement plus de résultats directement assimilables par le grand public.

Arg ! j'ai beau n'être fan ni de math appli ni de sciences physiques, il y a quand même une énorme différence ! Les math appli restent des maths et les résultats ne sont pas "directement assimilables par le grand public". Quant à la physique, ce sont ses vulgarisations qui sont accessibles ... bref je vais pas faire mon **** la dessus et je vais répondre à Simon.

Simon, cherche donc, mais ne te décourage pas si tu ne trouve rien et surtout ne tire pas de conclusions hatives d'experiences pratiques. La beauté des mathématiques est de s'abstraire de toute réalité matérielle. C'est le propre du physicien que de tenter d'appliquer un modèle mathématique au monde physique. Ainsi lorsque tu mènes une experience, essaye autant que faire se peut de la mêner de manière abstraite.
Ce que j'essaye de te dire, c'est que pi n'est pas (même s'il l'a peut être été il y a longtemps) un nombre "concret", dont on détermine la valeur en le "mesurant" avec une "vraie" règle et en le traçant avec un "vrai" compas. Pourquoi ?
1/ parce qu'on perd l'abstraction par rapport au monde réel qui est si chère aux maths
2/ parce que la physique nous enseigne un phénomène fondamental qui s'appelle l'incertitude : peux-tu être sûr que ton compas est réglé sur 1cm ? peux-tu être sur que ta règle où ta ficelle est graduée suivant les cm, ou simplement suivant la même échelle que ton compas ??
La réponse est non, ou plutôt, presque oui avec une incertitude correspondant à l'évaluation de ton oeil si tu as réglé ton matériel à l'oeil nu, où avec l'incertitude correspondant aux outils de mesure que tu as utilisés.

Pour enchaîner sur le coté théorique. Pi possède la définition mathématique (abstraite donc) suivante : il s'agit du périmètre d'un demi cercle de rayon 1 dans le plan réel. (ce qui peut se traduire par de nombreuses autres définitions abstraites équivalentes)
Et de manière théorique, on peut aussi montrer que pi est irrationnel, mais les démonstrations (que je ne connais pas d'ailleurs) ne sont pas simples.

++

PS:

[...] je chercherai car je pense que si on fait une maquette d'un perimetre précis ,d'un  carré ou d'un rectangle avec de la ficelle et qu'on la déforme de façon à faire un cercle , le périmetre restera identique est exacte. [...]

C'est (à imprécision près) vrai. Mais alors c'est ton rayon qui aura une valeur non rationnelle (comme le disait yoshi). En effet : un cercle de rayon 1 a un périmètre de 2pi et un cercle de périmètre 1 a pour rayon 1/(2pi).

Dernière modification par Barbichu (17-12-2007 17:49:31)

Simon

Invité

Re : nombre bizare [Résolu]

Bon , vous avez surement raison , mais je m'entêterai à le penser , car içi je ne risque pas de punution , mais si vous relisez ce que j'ai écrit avant je disais déjà qu'on nous faisait écrire que le périmètre du cercle est EGALE à ... alors que ce n'est pas une égalité comlplète , on peut dire ausqsi la   presque oui avec une incertitude correspondant à l'évaluation de Pi ,toute ma réflexion à trouver mieux que PI vient de là .
Et mes petites expérience que vous pensez nulles , m'aident bien à réflèchir et à dire qu'on ne peut pas écrire EGALE même dans l'abstrait .
Seule contre tous , c'est vraiment trop injuste .

yoshi

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Re : nombre bizare [Résolu]

Bonsoir,

Je ne vois pas, pourquoi même ailleurs qu'ici, on punirait quelqu'un parce qu'il réfléchit...

Non, tes expériences ne sont pas nulles... Elles sont au contraire génératrices de connaissances bien assimilées et sources de progrès sin on ne veut pas à toute force plier les événements à ses désirs...

Pour la suite, c'est une question de convention: on a décidé que la lettre grecque Pi représenterait la valeur exacte de ce nombre. De la même façon que tu acceptes d"écrire 1/3 à la place de 0,33333333333...
Si je dis que le rayon noté R représente aussi une valeur exacte, alors le périmètre noté 2 Pi R est aussi une valeur exacte. En maths...
Dès que tu passes à l'écriture chiffrée, tu es obligé d'écrire, par exemple :

[tex]R =3\, m,\;L=2\pi\times R\approx 18,85\, m\,\mathrm{ \grave a}\; 0,01\, m\;\mathrm{pr\grave e s[/tex]
Là, il n'y a plus de valeurs exacte...

Ce que Barbichu t'a écrit c'est que les valeurs exactes ne sont possibles que dans les écritures mathématiques pures, dans l'abstrait, dès que tu passes au calcul numérique, dans les cas comme celui-ci, tu as des valeurs approchées parce qu'on s'approche du concret.
Les Physiciens le savent bien qui font usage de la notion d'incertitude et de "calculs d'erreurs".
Concrètement, dans l'industrie, lorsqu'on demande qu'une pièce d'avion par exemple mesure 1 cm de diamètre, on sait bien que ce n'est pas possible d'avoir cette valeur exacte, donc on fixe une tolérance de part et d'autre de 1 cm... Par exemple 1 cm plus ou moins 1 micron (1/10000e de cm).
Si tu achètes un terrain de 20 m x 30 m donc de 600 m², c'est vrai en maths, sur le papier, pas dans la réalité... Avec beaucoup de chance ce sera vrai à 1 cm² près...

Seul contre tous, c'est le propre des héros, des inventeurs, des explorateurs (encore) méconnus.... ;-)

@+

simon

Invité

Re : nombre bizare [Résolu]

Yoshi, Quand vous dîtes :

Pour la suite, c'est une question de convention: on a décidé que la lettre grecque Pi représenterait la valeur exacte de ce nombre. De la même façon que tu acceptes d"écrire 1/3 à la place de 0,33333333333...
Si je dis que le rayon noté R représente aussi une valeur exacte, alors le périmètre noté 2 Pi R est aussi une valeur exacte. En maths...

Mais pour Pi ?, ça reste ce nombre imparfait 3,1416... et diviser par Pi revient toujours à diviser par 3,1416... , alors que je comprends mieux la différence de diviser entre 1/3 ou 0,33333333..., 1/3 c'est une traction , Pi n'est rien d'autre qu'une icône exacte . Le rayon aussi sauf erreur de mesure doit être exacte ,je peux imaginer par exemple 2/3 de quelque chose , d'une tarte par exemple ou environ 0,66666666... , mais 2 Pi R d'une tarte j'ai déjà plus de mal .
Mais je fais confiance au plus savant que moi que je vais arrêter d'ennuyer avec mes questions . Mais c'était très interessant d'en discuter quand même . A bientôt
Simon

yoshi

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Re : nombre bizare [Résolu]

Bonsoir,

Non, tu n'ennuies personne avec tes questions...
Certes à moi non plus 2Pi R d'une tarte ne me parle pas non plus. Ca ne servirait qu'à calculer son périmètre, alors qu'une tarte ça se fractionne.
Mes souvenirs de l'histoire des mathématiques sont imprécis, mais ça n'est pas toujours allé de soi, cette notation factionnaire... Elle a dû s'imposer. Et encore maintenant !

Souviens-toi en effet de tes tests d'évaluation (cahiers bleus) à l'entrée en 6e... Une question y revient chaque année qui porte sur la différence entre 2,5 et 2/5. Et bien beaucoup considèrent à l'entrée en 6e que 2/5 et 2,5 c'est le même nombre, comme quoi c'est pas si évudent que ça. Une bonne partie du travail de 6e est de faire lien entre fraction=partage et fraction=quotient. Ce qui n'est pas évident non plus. En fin de 3e, certains n'ont toujours pas réalisé, d'ailleurs... Donc, tu vois, le nombre Pi est du même ordre de difficultés. Il faut simplement accepter que derrière la lettre se cache un nombre étrange et tant qu'on l'appelle par son nom, ce nombre reste avec une valeur exacte.

Tes réticences pour le nombre Pi tu devrais aussi les avoir d'ici quelques temps avec le nombre [tex]\sqrt 2[/tex]...
Si tu prends, dans l'abstrait, un carré de 1 m de côté, quelle est la longueur de sa diagonale ?
Réponse : 1,414213562373095048801... qui ne se finit pas non plus et qui n'est pas non plus une fraction !
Voilà pourquoi on a inventé une écriture exacte : [tex]\sqrt 2[/tex]...
Et ce n'est pas anodin parc e que si tu écris 1,414 x 1,414 tu obtiens 1,999396, alors que si tu fais [tex]\sqrt 2 \times sqrt 2[/tex], tu trouves exactement 2 (définition de la classe de 3e).

@+

PS Petite histoire des fractions : http://www.col-camus-soufflenheim.ac-st … =629&IDD=0

Dernière modification par yoshi (19-12-2007 14:11:56)

simon

Invité

Re : nombre bizare [Résolu]

Bonjour,
En fait quand on ne sait plus , il suffit d'appeler un nombre par un pseudo qui lui donne une fin .
Ca commence un peu a s'embrouiller ,nombres entiers , à virgules décimaux, dans quoi ranger par exemple un prix ,  que je peux voir en magasin :
1,00 € ou 1 € , ou 10,00 € ou 10€
d'après vous ce ne serait pas la même chose ? un serait décimal  et l'autre entier alors que c'est la même chose ?.
Si ces questions étaient aussi simples que celle posée avant d'envoyer le message
(Quel est le premier chiffre du nombre pi?)
Mais c'est peut être ce que j'apprendrai plus tard en attendant c'est les vacances demain ...les cadeaux !
Bonnes vacances .
Simon

yoshi

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Re : nombre bizare [Résolu]

Bonjour,

Dans un premier sac, tu enfermes (tu fermes le sac) les nombres entiers naturels : 0,1,2,3,4,5....
Mais où ranger -1, -2, -3, -4.... ?
Donc, tu ouvres un deuxième sac dans lequel tu mets le premier sac, plus à côté -1, -2, -3.... : ce sac plus grand contient l'ensemble des nombres entiers relatifs (et tu le fermes)...
Tu sais déjà, puisque tu es en 4e, que +2 ou 2 c'est la même chose... Donc c'est normal que 2 soit aussi dans ce sac plus grand...

Mais alors, où ranger 3,6  ; -2,75...  par exemple ? Ce ne sont pas des nombres entiers !
Donc il faut ouvrir un 3e sac plus grand sac lequel on va mettre le 2e sac (qui contient lui-même le 1er et les nombres entiers négatifs) plus tous ces nombres décimaux. On dira que ce 3e sac (que tu fermes) contient tous les nombres décimaux relatifs...
Et on en vient à ta question.
Quelle différence entre 1 € et 1,00 € ? Aucune ! C'est le même nombre.
En classe de 6e, tu as travaillé sur la notion de zéros "inutiles" : c'est le moment de la réutiliser...
Ce ne sont que deux écritures différentes du même nombre... Selon la façon dont tu te coiffes, t'habilles...etc , tu peux bien présenter des aspects différents d'une seule et même personne : toi !

Mais alors où ranger -0.428571 428571 428571... qui ne se termine pas et qui n'est pas donc un nombre décimal ? On peut montrer que ce nombre s'écrit -3/7...  De même 3,6 = 36/10=18/5, ou -3 = -3/1 et 2 = 6/3 (par exemple)...
Donc on va ouvrir un 4e sac plus grand, qui sera l'ensemble des nombres qui peuvent s'écrire sous la forme d'une fraction, dans lequel tu mettras le sac n°3 plus à côté ton nombre bizarre et tous ses petits copains...

Donc, j'anticipe ta question, oui un nombre entier est aussi un nombre fractionnaire, mais l'inverse n'est pas vrai : tous les être humains sont bien des mammifères, mais un mammifère pris au hasard n'est pas forcément un être humain, ok ?

Ca s'éclaircit un peu ?

Le 1er chiffre de Pi c'est 3 : [tex]\pi \approx 3,14159...[/tex]
Oui, ton idée de pseudo n'est pas mauvaise...

@+