Forum de mathématiques - Bibm@th.net

ccapucine

Membre

Inscription : 19-05-2018

Messages : 195

Question

Bonjour
j'ai la question suivante: Soit $\psi$ une fonction continue définie sur un intervalle $[a,b] \subset \R$ à valeurs dans $\mathbb{R}^+$. On suppose qu'il existe $x_0 \in [a,b]$ et trois constantes positives $C \geq 0, A \geq 0$ et $B \geq 0$ telles que:
$$\psi(x)\leq A +B \Big|\int_{x_0}^x \psi(s) ds\Big| +C |x-x_0|, \quad \forall x \in [a,b].$$

Comment montrer que pour tout $x \in [a,b]$ on a :
$$\psi(x) \leq AB e^{|x-x_0|} +\dfrac{C}{B} (e^{|x-x_0|} -1).$$

Merci d'avance pour l'aide.

Dernière modification par ccapucine (06-02-2020 22:32:55)

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 349

Re : Question

Bonjour

  Ça se déduit du lemme de Gronwall, non? http://www.bibmath.net/dico/index.php?a … nwall.html

F

ccapucine

Membre

Inscription : 19-05-2018

Messages : 195

Re : Question

Bonjour
je ne vois pas trop le rapport et la présence du terme $C |x-x_0|$?

Cordialement

Skycoca

Membre

Inscription : 28-01-2020

Messages : 3

Re : Question

Bonjour !

Il manque pas des B dans les exponentielles ? Et au lieu de AB c'est pas juste A ?

De ce que j'ai trouvé : Gronwall va nous donner une expression qu'il faut retravailler, avec des informations supplémentaires nécessaires sur A,B,C.

Un autre chemin : l'expression de psi a l'air dérivable en se plaçant sur de bons intervalles. Ce qui donne une relation entre psi et sa dérivée...

Mais dans les deux cas, il manque des B dans au moins l'une des exponentielles du sujet.

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 349

Re : Question

Pourtant, du moins si $x>x_0$ (dans ce cas, on voit que tout est positif et on peut retirer les valeurs absolues), il me semble que c'est bien exactement le lemme de Gronwall avec $f(x)=A+C(x-x_0)$ et $g(t)=B$....

F.

ccapucine

Membre

Inscription : 19-05-2018

Messages : 195

Re : Question

Bonjour
si on suppose que $x > x_0$, et qu'on prend $f(x)= A+C(x-x_0)$ et $g(t)= B$.
On appliquant le théorème du lien, on obtient ceci:
$$
\psi(x) \leq A + C(x-x_0)+\displaystyle\int_{x_0}^x B(A +(x-x_0)) \exp(\displaystyle\int_s^x B du) ds
$$
Je ne retrouve pas l'inégalité souhaitée. Que faire? S'il vous plaît.

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 349

Re : Question

Tu pourrais déjà calculer les intégrales qui arrivent dans le membre de droite... Celle à l'intérieur de l'exponentielle est triviale (c'est juste l'intégrale d'une constante), ensuite, tu peux faire une intégration par parties....

F.

ccapucine

Membre

Inscription : 19-05-2018

Messages : 195

Re : Question

Le souci est que dans le terme de droite, l'intégrande dépend de $x$ et qu'il y a x aussi dans les bornes de l'inégrales. Donc ce n'est pas correcte pourtant j'ai appliqué à la lettre la formule du lien. Comment corriger? S'il vous plaîr.

Maenwe

Membre confirmé

Inscription : 06-09-2019

Messages : 409

Re : Question

Bonsoir,
J'ai aussi l'intuition qu'il faut peut-être utiliser ce lemme mais pas avant d'effectuer quelques transformations sur l'écriture de $\psi$.
On peut déjà commencer par déterminer $\psi$ pour $x \geq x_{0}$ en mettant à jour une équation différentielle en dérivant l'expression :
$\psi ' (x) = C + B \psi$, je n'ai pas fini le raisonnement donc je ne suis pas certains que cela aboutisse mais ça reste une piste supplémentaire.

aviateur

Membre

Inscription : 19-02-2017

Messages : 189

Re : Question

Bonjour
Je trouve bizarre cet exercice.  En effet
rien n'interdit que $x_0=a$ et alors  $\psi$ vérifie une équadiff  facile à résoudre.  ET sauf erreur  je trouve que l'inégalité est fausse avec B<1.

ccapucine

Membre

Inscription : 19-05-2018

Messages : 195

Re : Question

Je m'excuse beaucoup car il y avait une faute de frappe (la première relation est une inégalité), et comme Fred avait compris de suite j'ai oublié de la corrigé et j'ai continuer mes postes.
Pouvez vous m'aider s'il vous plaît à aboutir au résultat?

aviateur

Membre

Inscription : 19-02-2017

Messages : 189

Re : Question

Bonjour
Oui mais ça change rien à ma remarque, si on prend [tex]x_0=a[/tex] et [tex]\psi[/tex]  qui vérifie l'égalité  (donc l'inégalité)  et bien
pour b<1,   [tex]\psi[/tex] ne vérifie pas la deuxième égalité. Ce qui veut dire que le problème est faux.
Bien entendu il faut vérifier mon calcul:  Si on prend [tex]\psi[/tex] telle que j'ai dit, il y a une petite équadif à résoudre et on vérifie que la majoration demandée ne l'est pas.

ccapucine

Membre

Inscription : 19-05-2018

Messages : 195

Re : Question

Bonjour aviateur
pourquoi est ce que pour $\psi < 1$ la deuxième inégalité n'est pas vérifié? svp
Donnez moi plus de détails svp car je suis perdue depuis plusieurs jours sur cet exo

Merci d'avance

Dernière modification par ccapucine (07-02-2020 13:22:22)

Maenwe

Membre confirmé

Inscription : 06-09-2019

Messages : 409

Re : Question

Bonjour,

@Aviateur, il me semble que l'on ne peut pas choisir $A,B,C,x_{0}$, dans le post initial ce sont des réels qui sont "fixés", ou j'ai mal compris ?

ccapucine

Membre

Inscription : 19-05-2018

Messages : 195

Re : Question

Voici la démonstration que j'ai essayé:
On pose $N(x)= A+C (x-x_0)$ et $w(x)= N(x)+ \displaystyle\int_{x_0}^x B \psi(s) ds$.
On a par hypothèse que $\psi(x) \leq w(x)$. En dérivant, on a $w'(x)\leq N'(x) +B\psi(x)$.
Puisque $B > 0$ alors on peut écrire:
$$
w'(x) \leq N'(x)+B w(x) .... (2)
$$
En multipliant les deux membres de (2) par le facteur intégrant $\exp(-\displaystyle\int_{x_0}^x B ds$, on obtient:
$$
(w(x) \exp(- \displaystyle\int_{x_0}^x B ds)' \leq N'(x) \exp(- \displaystyle\int_{x_0}^x B ds).
$$
En intégrant de $x_0$ à $x$ on obtient
$$
\displaystyle\int_{x_0}^x (w(s) \exp(-\displaystyle\int_{x_0}^t B dt)' ds
- \displaystyle\int_{x_0}^x N'(s) \exp(-\displaystyle\int_{x_0}^x B dt) ds \leq 0
$$
Donc
$$
w(x) \exp(-\displaystyle\int_{x_0}^x B dt) - \displaystyle\int_{x_0}^x N'(s) \exp(-\displaystyle\int_{x_0}^t B dt) ds \leq 0.
$$
Donc
$$
A + C(x-x_0) \exp(-\displaystyle\int_{x_0}^t B dt)
+
(B \displaystyle\int_{x_0}^x \psi(s) ds) \exp(-\displaystyle\int_{x_0}^x B dt)
- C \displaystyle\int_{x_0}^x \exp(-\displaystyle\int_{x_0}^x B dt) ds \leq 0.
$$

Je n'arrive pas à obtenir la bonne inégalité. Merci de m'aider à corriger ma démonstration.

Cordialement

aviateur

Membre

Inscription : 19-02-2017

Messages : 189

Re : Question

Bonjour,

@Aviateur, il me semble que l'on ne peut pas choisir $A,B,C,x_{0}$, dans le post initial ce sont des réels qui sont "fixés", ou j'ai mal compris ?

Oui ils sont fixés.  Mais la question c'est bien:   Etant donné  une fonction $\psi$  qui vérifie une  l'inégalité que j'appelle  (1)  (inégalité où  interviennent A,B,....) 
  montrer que $\psi$   vérifie une autre inégalité (2). 

Et bien si tu trouves pour  des constantes  A,B, ... une fonction qui vérifient (1)  mais pas (2)  ça montre que l'énoncé est faux.

Comme contrexemple j'ai donné  la fonction $psi$  qui vérifie l'égalité (1)  (donc elle vérifie  l'inégalité  (1)  )  avec $x_0=a.$ 

Cette fonction se calcule explicitement  car c'est une équation diff.  On vérifie  aisément que  si B<1, l'inégalité (2)  n'est pas vérifié.

ccapucine

Membre

Inscription : 19-05-2018

Messages : 195

Re : Question

Bonsoir aviateur
j'essaye de retrouver la bonne inégalité qui découle de l'hypothèse (l'inégalité (1)). J'ai envoyé une preuve dans mon précédent post mais je n'arrive pas à conclure. Pouvez vous m'aider?

Cordialement