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mathyf

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algébre ensemble application [Résolu]

Aide pour demain

bonsoir

S'il vous plaît. je veux démontrer
1)E*(A "intersection" B)=(E*A) "intersection" (E*B)
où * produit cartésien
2) P(A) "intersectin"P(B)= P(A"intersection" B)
où P(A) l'esemble desparties de l'ensemble A
3)A inclus dans B <=>(equivalent à) P(A) inclus dans P(B)

merci

Dernière modification par mathyf (25-11-2007 22:15:43)

théo

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Messages : 36

Re : algébre ensemble application [Résolu]

bonjour,
pour les deux premieres questions je pense qu'il suffit d'utiliser la propriété qui dit que l'intersection est distributive.... la troisieme parait logique c'est donc beaucoup plus dur de la demontrer et je ne peux malheuresement pas t'aider pour faire cette derniere...

j'espere qu'un modérateur pourra également répondre car je ne suis sur de rien...
bonne chance :)

Barbichu

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Messages : 405

Re : algébre ensemble application [Résolu]

Hello,
Même si c'est trop tard pour la personne qui a posé la question, certains veulent peut-être connaitre la réponse, alors la voici :

1/ [tex](x,y) \in E \times (A \cap B) \Leftrightarrow x \in E\; \wedge\; y \in (A \cap B)[/tex]
                [tex] \Leftrightarrow x \in E\; \wedge\; (y \in A\; \wedge\; y \in B)[/tex]
                [tex] \Leftrightarrow (x \in E\; \wedge\; y \in A )\; \wedge\; (x \in E\; \wedge\; y \in B )[/tex]
                [tex] \Leftrightarrow (x,y) \in E \times A \; \wedge\; (x,y) \in E\times B[/tex]
                [tex] \Leftrightarrow (x,y) \in (E \times A) \cap (E \times B)[/tex]
D'où la conclusion

2/[tex]X \in \mathfrak{P}(A)\, \cap\, \mathfrak{P}(B) \Leftrightarrow X \in \mathfrak{P}(A)\; \wedge\; X \in \mathfrak{P}(B)[/tex]
                [tex]\Leftrightarrow X \subset A\; \wedge\; X \subset B[/tex] (par définition de [tex]\mathfrak{P}[/tex])
                [tex]\Leftrightarrow X \subset A \cap B[/tex]
                [tex]\Leftrightarrow X \in \mathfrak{P}(A \cap B)[/tex] (par définition de [tex]\mathfrak{P}[/tex])
CQFD

3/ MQ [tex]A \subset B \Leftrightarrow \mathfrak{P}(A) \subset \mathfrak{P}(B)[/tex]
(=>) Supposons [tex]A \subset B[/tex]
     Soit [tex]X \in \mathfrak{P}(A)[/tex], cela signifie : [tex]X \subset A[/tex]
     Puis par hypothèse : [tex]X \subset B[/tex] et donc [tex]X \in \mathfrak{P}(B)[/tex] (par définition de [tex]\mathfrak{P}[/tex])
(<=) Supposons [tex]\mathfrak{P}(A) \subset \mathfrak{P}(B)[/tex]
     On a bien sûr [tex]A \in \mathfrak{P}(A)[/tex], donc par hypothèse : [tex]A \in \mathfrak{P}(B)[/tex]
     Puis [tex]A \subset B[/tex] (par définition de [tex]\mathfrak{P}[/tex])
CQFD

++

Dernière modification par Barbichu (16-12-2007 21:25:50)