DM sur les complexe (et plan complexe) [Résolu]

Gagaro · 19-11-2007 19:21:53

Bonjour tous le monde ^^ (Et rebonjour a ce qui me reconnaitront :) )

Aujourd'hui on aborde les complexe, j'ai plutôt tous bien compris depuis le début de l'année, mais là j'avoue que j'ai vraiment du mal avec ce DM :x

Pour commencer l'énoncé :

[tex](O;\vec{u},\vec{v})[/tex] est un repère orthonormal du plan complexe ; F est l'application du plan complexe dans lui-même qui au point M d'affixe z associe le point M' d'affixe [tex]f(z) = \frac{z}{2} + \frac{i\overline{z}}{2}[/tex].
1°) Démontrer que l'ensemble (D) des points M dont l'affixe z vérifie f(z) = z est une droite
2°) a) Montrer que le nombre [tex]\frac{f(z)-z}{1-i}[/tex] est réel.
b) En déduire que M' appartient à la droite (deltaM (me rappelle plus comment on fait les delta en latex :s)) passant par M et de vecteur directeur [tex]\vec{u} - \vec{v}[/tex].
3°) a) Montrer que pour tout nombre complexe z : f(f(z)) = f(z).
b) Déduire des questions précédentes que M' est le point d'intersection des deux droites (D) et (deltaM).
4°) Caractériser géometriquement l'application F.

Et maintenant ce que j'ai plus ou moins trouver :

1°) La je suppose que c'es la droite d'équation y=x, mais je sais pas comment l'expliquer (ni si c'est vraiment sa étant donné que l'on est dans le plan complexe)

2°) a) J'ai remplacer et a la fin je tombe sur [tex]\frac{-x+y}{2}[/tex] qui est réel, donc la pas trop de probleme.
b) La par contre je comprends plus ce qu'il faut faire (ou plutôt comment il faut faire).

3°) a) J'ai pas encore fait mais je pense que remplacer z par f(z) dans f(z) et développer devrait nous ramener à (z).
b) Là aussi aucune idée de comment déduire sa.

4) Et là je ne voie pas qu'est-ce que F est exactement (l'application du plan complexe dans lui-même, sauf que je ne voie absolument pas ce que sa signifie >_< )

Bref j'ai vraiment beaucoup de mal xD

Merci de votre aide ^^

Dernière modification par Gagaro (19-11-2007 19:22:24)

yoshi · 19-11-2007 21:37:22

Salut à toi Gagaro,

Ca faisait un moment... C'était plutot une bonne chose pour toi que ru n'aies pas eu besoin de nous.... même si nous sommes ravis de te revoir... !
Alors rapidement, j'essaierai de faire mieux demain, mais si Galdinx, John ou Fred (ou d'autres encore) passent par là, ils complèteront si nécessaire
1. On peut faire ça avec x+iy, mais c'est plus marrant en passant par les arguments.
Comme
[tex]\frac {z+i\bar z}{2}=z\Leftrightarrow z=i\bar z[/tex]
alors :
[tex]Si\;Arg(z)=\alpha \;alors Arg(\bar z)={-}\alpha[/tex]
Multiplier par i, c'est une rotation de 90°, donc ajouter 90° à l'argument D'où :
[tex]\alpha = {-}\alpha +{\pi \over 2}[/tex]
A toi de poursuivre...
2. a) OK !
b) On a [tex]\vec{u}-\vec{v}(1;-1)[/tex]
Vecteur directeur d'une droite signifie que tout vecteur de cette droite est colinéaire à celui-ci...
C'est ce qu'il faut montrer :
[tex]\frac{f(z)-z}{1-i}=\frac{-x+y}{2}\Leftrightarrow f(z)-z=(1-i)\frac{-x+y}{2}=\frac{-x+y}{2}-i.\frac{-x+y}{2}=\frac{-x+y}{2}+i.\frac{{-}(-x+y)}{2}[/tex]

Or il se trouve que ;
[tex]\vec{MM'}(f(z)-z)[/tex]
Les coordonnées de ce vecteur étant opposées ... CQFD
3. a) pas le temps ce soir, tu dois avoir raison..
b) Si M' appartient à deux droites en même temps, il est leur point d'intersection, non ?
4. a) f est telle que quel que soit M du plan M --> M' et M' est ton intersection (J'aime pas bcp ma conclusion, d'ailleurs... je ye laisse trouver pourquoi... Je verrai demain matin)

@+

[EDIT]
Il est temps que j'aille me coucher : j'avais lu que la droite [tex]\Delta_M[/tex] passait par O !!!
Au fait [tex]\Delta_M[/tex], c'est \Delta_M en Latex...
A noter soigneusement : http://fr.wikipedia.org/wiki/Aide:Formules_TeX

Dernière modification par yoshi (19-11-2007 21:55:56)

Gagaro · 19-11-2007 21:58:27

Merci pour la réponse :)

Donc déjà, j'ai oublier de préciser (au temps pour moi :s), mais j'ai pas encore vu les arguments (donc j'essayerai avec x et y :), a moins qu'on ne voyent les argument dans la semaine).

Pour le 2, c'est OK ;)

la 3 faudra que j'essaye plus tard..

Et la 4, je comprends pas trop la réponse (en fait c'est surtout le terme "application du plan" que je comprends pas :s )

Je chercherai tous sa demain, trop fatigué ce soir ^^

Merci et bonne nuit a ceux qui passerait par là :)

pascal · 19-11-2007 23:37:41

Pour ta question 4, on te demande juste de dire à quelle transformation du plan (symétrie, rotation, translation, projection, etc etc) correspond l'application F. Si tu as un petit doute, je te propose d'utiliser le très bon logiciel de géométrie GeoLabo pour "voir" cette transformation.

yoshi · 20-11-2007 08:45:07

Bonjour,

Question 4.
J'abonde dans le sens de Pascal : Geolabo est très intuitif de prise en main...
Toutefois, sauf pour le fun, je suis persuadé que Gagaro n'en aura pas besoin...
On sait que M' est un point de la droite d'équation y = x, la "première bissectrice" des axes...
Il sait aussi que (MM') est parallèle au vecteur de coordonnées (1;-1).
S'il a la curiosité (même à main levée) de tracer un système d'axes, de tracer la droite d'équation y = x, de placer un point M quelconque, un vecteur (1;-1), puis de tracer la parallèle passant pae M à ce vecteur et de prendre l'intersection avec la droite précédente, il n'aura plus de doute...

Question 2. a)
Je me suis aperçu que la valeur que tu as trouvée ne servait à rien, hors le fait que c'était un réel...
J'ai donc cherché et trouvé une autre démo...
[tex]Z\text{ re\acute el }\Leftrightarrow Z=\bar Z[/tex]
Donc
[tex]Comme\;Z=\frac{f(z)-z}{1-i}=\frac{i\bar z-z}{2(1-i)}\;alors\;\bar Z=\frac{-iz-\bar z}{2(1+i)}[/tex]
Or
[tex]{-i}(1+i)=1-i[/tex]
Je constate donc que si je multiplie aussi le numérateur par -i, j'obtiens :
[tex]{-i}(-iz-\bar z)=i\bar z-z[/tex]
qui est le numérateur de Z..
Comme on a multiplié numérateur et dénominateur par le même nombre non nul -i, on a obtenu une fraction égale à la précédente.
On montre donc ainsi que :
[tex]Z = \bar Z[/tex]
CQFD...
Pour la démo on a juste à dire qu'on multiplie numérateur et dénominateur par -i et montrer les calculs que j'ai fairs ici en 2 fois.

b) Ta question devient : soit k le nombre réel obtenu. On a donc :
[tex]\frac{f(z)-z}{1-i}=k \Leftarrow f(z)-z=k(1-i)[/tex]
Or
[tex]f(z)-z\text{ affixe de }\vec{MM'}\;et\;1-i\text{ affixe de }\vec{u}-\vec{v}[/tex]
On a donc :
[tex]\vec{MM'}=k.(\vec{u}-\vec{v})[/tex]
Démo adaptable même en utilisant la valeur trouvée, pas besoin de développer (perte de temps) le produit [tex]\frac{-x+y}{2}(1-i)[/tex]

Quant à "application du plan dans le plan dans le plan", il faut simplement y voir le pendant géométrique de la formulation "numérique" : "une fonction de lR dans lR"...

T'as tout compris ?

@+ ?

Gagaro · 20-11-2007 20:32:35

Bonjour,

Effectivement j'ai eu un peu de mal a refaire le 2)b) (et je n'ai pas réussi a le refaire jusqu'au bout d'ailleurs), mais je comprends mieux avec cette démonstration.

J'ai aussi fait f(f(z)) = f(z), et je retrouve bien f(z).
Et pour la 3)b), si j'ai bien compris, (D) est l'ensemble des point M, ([tex]\Delta_M[/tex]) l'ensemble des points possible de M', ((D) et ([tex]\Delta_M[/tex]) perpendiculaire) et comme f(f(z)) = f(z), chaque point M n'associe qu'un point M', mais par contre aprés j'ai un doute, si c'est le croisement des deux droites, M' est confondue avec M, ou alors M' est sur la droite (D) contenant M et M' mais pas au meme point ? (ou autre chose :s)

Merci :)

yoshi · 20-11-2007 21:09:59

Salut,

il n'a jamais été dit que ton point M appartenait [b}toujours[/b] à (D)....
Il peut être n'importe où dans le plan.
Depuis M tu traces la perpendiculaire [tex]\Delta_M[/tex] à la droite (D) et M' est l'intsection des deux droites...
D'ailleurs si M est sur (D) alors M et M' sont confondus... Et alors ?... Ca gêne pas...
Attention, d'ailleurs : D) c'est lseuleùent 'ensemble des points M invariants tels que f(M)=M ou encore f(z) = z...
Donc ta transformation géométrique c'est : la ............ ............... de M sur (D). (2 mots)

C'est bon ? C'est plus clair ? Autre chose ?

@+

Gagaro · 21-11-2007 15:44:40

Ha oui je viens de comprendre pour (D) !!! J'avais compris que (D) était l'ensemble de TOUT les point M ^^

Pour la derniere question, j'aurai envie de dire que M' est le projetée orthogonal de M sur (D), j'ai bon ? (edit : Avec "la" sa ferait "la projection orthogonal" :) )

Edit 2 : J'ai aussi un autre problème, pour le 3)b), M' est le point d'intersection de (D) et ([tex]\Delta_M[/tex]) mais je vois pas comment le démontrer, j'ai penser faire [tex](D)=\Delta_M[/tex] mais je trouve pas l'equation de [tex]\Delta_M[/tex] (j'ai penser à MM' mais dans ce cas sa serait le vecteur non ?), j'ai aussi essayer en prenant l'affixe de M' mais je ne voye pas comment l'utiliser :s

Dernière modification par Gagaro (21-11-2007 17:14:49)

yoshi · 21-11-2007 17:35:28

Salut !

Oui, c'est ça : l"application est la projection orthogonale de M sur (D)...
Un point t'a échappé dans l'enoncé :
1. f(M) = M'
2. f(f(z))= f(z) donc f(f(M))=f(M) et comme f(M) = M', tu as donc f(M')=M' d'où il vient que tous ces points M' sont invariants et que par conséquent %' est aussi ybn point de (D) : cf 1ere question.
Et M' étant sur 2 droites à la fois....

@+

PS
Tu as acquiescé sans sourciller, c'est bien !
Mais si ton prof te dit : pourquoi avez-vous écrit [tex]\bar{\left(\frac{i\bar z-z}{2(1-i)}\right)}=\frac{-z-i\bar z}{2(1+i)}[/tex], sauras-tu répondre ?
Si oui, alors ok...

Gagaro · 21-11-2007 18:12:29

Rebonjour :)

Effectivement, il me manquait juste que M' est sur (D) ^^

Pour [tex]\bar{\left(\frac{i\bar z-z}{2(1-i)}\right)}=\frac{-z-i\bar z}{2(1+i)}[/tex], on peut distribuer le conjugué et donc sa donne [tex]\bar{\left(\frac{i\bar z-z}{2(1-i)}\right)}=\frac{\bar{i\bar z-z}}{\bar{2(1-i)}}[/tex], et en continuant comme sa on fini par tomber sur [tex]\frac{-z-i\bar z}{2(1+i)}[/tex].

Voila ^^

Merci pour l'aide, j'ai encore 2 exos sur ce DM mais j'ai déjà presque fini le 2eme, et il me manque juste une formule pour le 3eme mais sa devrait aller ;).

Merci pour tout et a plus tard, je repasserai a l'occasion :p

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