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romu

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Suites de Fibonacci [Résolu]

Bonjour,

je galère sur cet exo:

Soit la suite de Fibonacci [tex]u_{n+2} = u_{n+1} + u_n[/tex] avec [tex]n\in \mathbb{N}\setminus\{0\}[/tex] et [tex]u_1=u_2=1[/tex].

a) Montrer que [tex]u_1+u_2+\cdots+u_n = u_{n+2}-1[/tex]

b) Démontrer la formule [tex]u_1^2+u_2^2+\cdots+u_n^2 = u_nu_{n+1}[/tex].

c) Montrer que  [tex]u_{n+1}^2 = u_nu_{n+2}+(-1)^n[/tex].

d) On va démontrer que

            (1)         [tex]u_n=\frac{[(1+\sqrt{5})/2]^n - [(1-\sqrt{5})/2]^n}{\sqrt{5}}[/tex],

en cherchant les suites satisfaisant à la relation

           (2)         [tex]v_{n+2} = v_{n+1}+v_n[/tex] avec [tex]n\in \mathbb{N}\setminus\{0\},\qquad v_n\in \mathbb{R}[/tex] .

Montrer que si la suite [tex]v=(v_1,v_2,\cdots,v_n,\cdots)[/tex] satisfait à (2), alors la suite [tex]cv = (cv_1,cv_2,\cdots,cv_n,\cdots)[/tex], [tex]c\in \mathbb{R}[/tex], satisfait à (2) et si les suites [tex]v'[/tex] et [tex]v''[/tex] satisfont à (2), alors la suite

              [tex]v'+v'' = (v_1'+v_1'',v_2'+v_2'',\cdots,v_n'+v_n'',\cdots)[/tex]

satisfait à (2).

Trouver toutes les suites satisfaisant à (2) de terme général [tex]v_n=q^{n-1},\ q\in \mathbb{R}\setminus \{0\}[/tex].
En déduire qu'il existe [tex]q_1=a[/tex] et [tex]q_2=b[/tex] tels que la suite de terme général [tex]c_1a^{n-1}+c_2b^{n-1}[/tex] satisfait à (2), quels que soient [tex]c_1,\ c_2\in \mathbb{R}[/tex].

Montrer que l'on peut trouver [tex]c_1,\ c_2\in \mathbb{R}[/tex] tels que [tex]c_1a^{n-1}+c_2b^{n-1}=u_n[/tex] et en déduire la formule (1).

e) Montrer que deux éléments successifs de la suite de Fibonacci sont premiers entre eux.

f) On va démontrer que la suite [tex]v_n=u_{n-1}/u_n,\ n\geq 2[/tex], tend vers une limite finie lorsque [tex]n[/tex] tend vers [tex]+\infty[/tex], limite que l'on calculera.

Montrer que la suite [tex](v_{2k})[/tex] est décroissante, que la suite [tex](v_{2k+1})[/tex] est croissante et que [tex]v_{2k+1} \leq v_{2k}[/tex] quel que soit [tex]k\in \mathbb{N}\setminus \{0\}[/tex]

Montrer que [tex]\lim_{k\rightarrow \infty}\ (v_{2k} - v_{2k+1})=0[/tex]. En déduire que

[tex]\lim_{k\rightarrow \infty}\ v_{2k} = \lim_{k\rightarrow \infty}\ v_{2k+1}[/tex]

et calculer la limite de la suite [tex](v_n)[/tex].

g) Montrer que

[tex]3$\lim_{n\rightarrow \infty} (u_n-\frac{1}{\sqrt{5}}(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n)=0[/tex]

Pour la (a) et la (b) c'est bon j'ai trouvé par récurrence sur [tex]n[/tex].

Ensuite pour la (c) je ne vois pas comment montrer l'hérédité.

Merci pour vos indications. :)

yoshi

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Re : Suites de Fibonacci [Résolu]

Bonjour,

Je crois que je tiens "ton" hérédité...
Je pars de :
[tex]u_{n+2}=u_{n+1}+u_n[/tex]
Je multiplie les deux membres par Un :
[tex]u_n u_{n+2}=u_nu_{n+1}+u_n^2[/tex]
Si tu cherches à prouver l'hérédité, c'est que tu as déjà supposé vraie la propriété pour n :
[tex]u_n^2=u_{n+1}u_{n-1}+(-1)^{n-1}[/tex]
que je remplace :
[tex]u_n u_{n+2}=u_nu_{n+1}+u_{n+1}u_{n-1}+(-1)^{n-1}[/tex]
On met Un+1 en facteur :
[tex]u_n u_{n+2}=u_{n+1}(u_n+u_{n-1})+(-1)^{n-1}[/tex]
Or
[tex]u_n+u{n-1}=u_{n+1}[/tex]
que l'on templace ci-dessus...
Après il te reste une petite astuce pour arriver à (-1)^n...

A toi de jouer...

romu

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Re : Suites de Fibonacci [Résolu]

Bonjour yoshi, oui je crois que j'ai compris

[tex]u_nu_{n+2}=u_{n+1}^2 + (-1)^{n-1}[/tex]

ce qui équivaut à

[tex](-1).u_nu_{n+2}=(-1).[u_{n+1}^2 + (-1)^{n-1}][/tex]

ie

[tex]-u_n u_{n+2}= -u_{n+1}^2 + (-1)^n[/tex]

ie

[tex]u_{n+1}^2 = u_nu_{n+2} + (-1)^n[/tex].

Merci du coup de pouce yoshi.

Dernière modification par romu (11-11-2007 18:38:16)

yoshi

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Re : Suites de Fibonacci [Résolu]

Salut,

Pour moi, il y a plus simple (et plus "joli"...), ie :
[tex]u_nu_{n+2}=u_{n+1}^2 + (-1)^{n-1}[/tex]
On passe (-1)^(n-1) de l'autre côté et on lit :
[tex]u_{n+1}^2= u_nu_{n+2}-(-1)^{n-1}[/tex]
Soit :
[tex]u_{n+1}^2= u_nu_{n+2}+(-1)(-1)^{n-1}[/tex]
D'où :
[tex]u_{n+1}^2= u_nu_{n+2}+(-1)^n[/tex]

Mais ça revient évidemment au même...

@+

romu

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Re : Suites de Fibonacci [Résolu]

Montrer que l'on peut trouver [tex]c_1,\ c_2\in \mathbb{R}[/tex] tels que [tex]c_1a^{n-1}+c_2b^{n-1}=u_n[/tex] et en déduire la formule  (1).

là je ne vois pas vraiment comment résoudre cette question.  :(

yoshi

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Re : Suites de Fibonacci [Résolu]

Salut,

Je ne sais pas vraiment où t'en es dans ta question, alors je démarre de la recherche de toutes les suites de terme général q^(n-1)...
Je ne vois cependant pas la généralisation prouvant que celles que j'ai trouvées sont les seules...
[tex]v_1=q^0 = 1\\v_2=q^1 = q\\v_3=q^2=v_1+v_2=1+q\\v_4=q^3=v_3+v_2=1+2q\\v_5=q^4=v_4+v_3=2+3q[/tex]

A partir de là, je résous l'équation :
[tex]q^2=q+1,\;soit\;q^2-q-1=0[/tex]
qui a deux solutions :
[tex]q_1=\frac{1+sqrt 5}{2}\;et\;q_2=\frac{1-sqrt 5}{2}[/tex]

Puis :
[tex]q^3-2q-1=0,\;soit\;(q+1)(q^2-q-1)=0[/tex]
qui a trois solutions :
[tex]q_1=\frac{1+sqrt 5}{2},\;q_2=\frac{1-sqrt 5}{2}\,et\,q_3 = 1[/tex]

Et encore
[tex]q^4-3q-2=0,\;soit\;(q^2+q+2)(q^2-q-1)=0[/tex]
qui a deux solutions :
[tex]q_1=\frac{1+sqrt 5}{2},\;q_2=\frac{1-sqrt 5}{2}[/tex]

A ce stade, je pense que a = q1 et b = q2  et que
[tex]c1=\frac{1}{sqrt 5}\,et\,c2={-}\frac{1}{sqrt 5}[/tex]
Mais qu'il n'est pas nécessaire de trouver tout de suite c1 et c2, on demande simplement d'établir qu'ils existent, probablement avec les propriétés de v données : cv et v'+v""...

Je continue mes recherches...

@+

yoshi

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Re : Suites de Fibonacci [Résolu]

re,

Après réflexion
[tex]v_n^'=q1^{n-1}\,et\,V_n^"=q_2^{n-1}[/tex]
respectant (2)
il existe donc c1 et c2 appartenant à R* tels que
[tex]c_1v_n^'=c_1q1^{n-1}\,et\,c_2v_n^"=c_2q_2^{n-1}[/tex]
respectent (2)
et donc tels que
[tex]c_1v_n^'=c_1+c_2v_n^"[/tex]
respecte (2).

Je pose alors
[tex]a=q_1=\frac{1+sqrt 5}{2}\,et\,b=q_2=\frac{1-sqrt 5}{2}[/tex]
Reste alors à prouver que c1 et c2 sont bien tels que donnés dans mon post précédent...
Pour cela, je dois (je rédige en même temps que l'idée me vient) me servir de u1 = 1 et u2=1 :
[tex]\left{c_1\left(\frac{1+sqrt 5}{2}\right)^0+c_2\left(\frac{1-sqrt 5}{2}\right)^0=1\\c_1\left(\frac{1+sqrt 5}{2}\right)^1+c_2\left(\frac{1-sqrt 5}{2}\right)^1=1[/tex]

Avec ce système de deux équations, c'est bien le diable si je tombe pas sur les c1 et c2 cherchés...

Je vais maintenant résoudre le système, si ça marche tant mieux, sinon, tant pis : je suis sûr qu'il y a là une piste, et que tu saurais en faire "tes choux gras"...

@+

[EDIT]
Bin non, ça marche pô ! :-( je devrais avoir c1 + c2 = 0
Je vais creuser...
[EDIT] (bis)
Par contre ça collerait pour la seconde équation...

[EDIT](ter)
Peut-être un début de débogage...
Dans mes formules je suis parti de la puissance n-1 à cause de a^{n-1}, mais celle qui t'es demandée utilise la puissance n...

Dernière modification par yoshi (12-11-2007 12:11:38)

yoshi

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Re : Suites de Fibonacci [Résolu]

re Re,

Je me fends d'une réponse à part entière.

Rectification, c1 et c2 sont en fait tels que :
[tex]c_1=\frac{1+sqrt 5}{2sqrt 5}\,et\,c_2={-}\frac{1-sqrt 5}{2sqrt 5}[/tex]

Vérification avec la première équation :
[tex]\frac{1+sqrt 5}{2sqrt 5}-\frac{1-sqrt 5}{2sqrt 5}=\frac{1+sqrt 5-1+sqrt 5}{2sqrt 5}=\frac{2sqrt 5}{2sqrt 5}=1[/tex]
Ca colle !

Vérification avec la deuxième équation :
[tex]\frac{1+sqrt 5}{2sqrt 5}\times\frac{1+sqrt 5}{2}-\frac{1-sqrt 5}{2sqrt 5}\times\frac{1-sqrt 5}{2}=\frac{(1+sqrt 5)^2}{4sqrt 5}-\frac{(1-sqrt 5)^2}{4sqrt 5}=\frac{4sqrt 5}{4sqrt 5}=1[/tex]
Ca colle !

C'était donc la bonne piste....

Maintenant, tout ça est fait grossièrement, à toi d'affiner...

Bonne chance

@+

Barbichu

Invité

Re : Suites de Fibonacci [Résolu]

Hello,

* Pour la relation de récurrence (c)
[tex]u_{n+2}^2 - u_{n+1}u_{n+3} - (-1)^{n+1} = u_{n+2}^2 - u_{n+1}u_{n+3} + (-1)^n[/tex]
                   [tex]= u_{n+2}^2 - u_{n+1}u_{n+3} + (u_{n+1}^2 - u_n u_{n+2})[/tex] (utilisation de [tex]u_{n+1}^2 - u_n u_{n+2} = (-1)^n[/tex])
                   [tex]= u_{n+2}(u_{n+2} - u_n) - u_{n+1}(u_{n+3} - u_{n+1})[/tex]
                   [tex]= u_{n+2}u_{n+1} - u_{n+1}u_{n+2}[/tex]
                   [tex]= 0[/tex] CQFD

* Suivant le niveau auquel est posé l'exo, on peut voir une démo moins calculatoire pour (d)
Soit [tex]E = \{(v_n)_{n\in\mathbb{N}} | \forall n \in \mathbb{N},\; v_{n+2} = v_{n+1} + v_n\}[/tex].
D'après la première partie de la question (d), [tex]E[/tex] est un espace vectoriel.
Notons [tex]\varphi(\alpha,\beta)[/tex] l'unique suite [tex](v_n)_{n\in\mathbb{N}}[/tex] vérifiant (2) et telle que [tex]v_0 = \alpha[/tex] et [tex]v_1 = \beta[/tex]
[tex]\varphi[/tex] est trivialement un isomorphisme de [tex]\mathbb{R}^2[/tex] sur [tex]E[/tex].
Sa bijection réciproque est : [tex]\varphi^{-1}\, :\, v = (v_n)_{n\in\mathbb{N}} \,\mapsto\, (v_0,v_1)[/tex]
(D'où [tex]E[/tex] est de dimension 2 sur [tex]\mathbb{R}[/tex])

Puis on cherche les solutions de la forme [tex](g^n)_{n\in\mathbb{N}}[/tex] avec [tex]g \neq 0[/tex]:
[tex](\forall n \in \mathbb{N} ,\; g^{n+2} = g^{n+1} + g^n)\Leftrightarrow g^2 - g - 1 =0 \Leftrightarrow g \in \{a,b\}[/tex] où [tex]a=\frac{1+\sqrt{5}}{2}[/tex] et [tex]b=\frac{1-\sqrt{5}}{2}[/tex]
(ce qui donne l'unicité de a et b)

On observe ensuite que [tex]v = \frac{1}{\sqrt{5}}(a^n)_{n\in\mathbb{N}} - \frac{1}{\sqrt{5}} (b^n)_{n\in\mathbb{N}}[/tex] est dans [tex]E[/tex] (structure d'espace vectoriel)
De plus [tex]u[/tex] est trivialement dans [tex]E[/tex] (par définition il vérifie (2))
On voit aussi que [tex]\varphi^{-1}(v) = (v_0,v_1) = (0,1) = \varphi^{-1}(u)[/tex].
Donc par injectivité de [tex]\varphi^{-1}[/tex] : [tex]v = u[/tex] ce qui prouve (1).

* Rq : j'ai généralisé les suites introduites en les faisant partir de l'indice 0. Les valeurs de n strictement supérieures à 0 sont inchangées. Ainsi [tex]u[/tex] est désormais définie (de façon équivalente à celle de l'enoncé) par [tex]u_0=0, \; u_1=1[/tex]
(C'est aussi la raison pour laquelle tes constantes [tex]c_1[/tex] et [tex]c_2[/tex] sont fausses yoshi : tu as tenté de résoudre en supposant [tex]u_0=u_1=1[/tex], au lieu de [tex]u_1=u_2=1[/tex])

* NB : On vérifie facilement que [tex](a^n)_{n\in\mathbb{N}},\;(b^n)_{n\in\mathbb{N}}[/tex] forment une famille libre de [tex]E[/tex] :
[tex]\alpha a^n + \beta b^n = 0 \Rightarrow a^n(\alpha + \beta {\left(\frac{b}{a}\right)}^n) = 0[/tex]
                     [tex]\Rightarrow \alpha + \beta {\left({\frac{b}{a}}\right)}^n = 0[/tex]
                     [tex]\Rightarrow \alpha = 0\; \vee\; \beta=0[/tex] (en faisant [tex]n \rightarrow 0[/tex] si [tex]\beta\neq 0[/tex])
puis il vient [tex]\alpha = \beta = 0[/tex]
[tex](a^n)_{n\in\mathbb{N}},\;(b^n)_{n\in\mathbb{N}}[/tex] est donc une base de [tex]E[/tex]
Ainsi les combinaisons linéaires de ces deux suites donnent [tex]E[/tex] en entier

++

yoshi

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Re : Suites de Fibonacci [Résolu]

Bonjour,

C'est aussi la raison pour laquelle tes constantes c1 et c2 sont fausses yoshi...

Pas vraiment d'accord...
L'énoncé demande de montrer :
[tex]u_n=c_1a^{n-1}+c_2b^{n-1}[/tex]
et pose d'autre part :
[tex]v_n=q^{n-1}[/tex]
Je note que si l'indice de u est n, les exposants eux sont n-1...
J'ai donc :
[tex]u_1=c_1a^0+c_2b^0\\u_2=c_1a^1+c_2b^1[/tex]

Et si je pose
[tex]a=q_1=\frac{1+sqrt 5}{2}\;et\:b=q_2=\frac{1-sqrt 5}{2}[/tex]
tes c1 et c2 ne collent pas, c'est ce que j'avais constaté...

Donc, je maintiens ma position.

Par contre, là j'avoue que c'est beau (!)  :

Puis on cherche les solutions de la forme [tex](g^n)_{n\in\mathbb{N}}[/tex] avec [tex]g \neq 0[/tex]:
[tex](\forall n \in \mathbb{N} ,\; g^{n+2} = g^{n+1} + g^n)\Leftrightarrow g^2 - g - 1 =0[/tex]

@+

Barbichu

Invité

Re : Suites de Fibonacci [Résolu]

re,
Après avoir rejeté un oeil sur l'énoncé, tu as raison.
Mais pour moi, il s'agit d'une complication de l'énoncé (il est bien plus naturel de faire partir les suites de 0)
On rejoint tout de même facilement la conclusion de l'énoncé en prenant :
[tex]c_1 = \frac{1}{\sqrt{5}} a = \frac{1 + \sqrt{5}}{2\sqrt{5}}[/tex] et [tex]c_2 = - \frac{1}{\sqrt{5}} b=-\frac{1 - \sqrt{5}}{2\sqrt{5}}[/tex]
Ainsi on a bien [tex]v_n = c_1 a^{n-1} + c_2 b^{n-1}[/tex] (En conservant exactement les mêmes notations)

De toute façon, ce que je voulais montrer dans ma démo était qu'on pouvait utiliser la bijectivité de [tex]\varphi[/tex] et la structure d'espace vectoriel de [tex]E[/tex] pour s'épargner une résolution d'un système d'équation dont l'énoncé donne déjà la solution.
++

yoshi

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Re : Suites de Fibonacci [Résolu]

Bonjour,

Sans autre réponsez de Romu depuis 8 jours (c'est bien regrettable), sujet considéré comme résolu et fermé...

Yoshi pour l'Equipe BibM@th