Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Super Yoshi

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fonction et application

Bonjour,

je bloque sur cette exercice :

1) Soit [tex]f[/tex],[tex]g[/tex] : [tex]R[/tex] dans [tex]R[/tex] definie par [tex]f(x)=|x|[/tex] et [tex]g(x)=x^2+1[/tex]

ici comment peut ont faire pour chercher les images de f et g ? j'ai pensé à faire [tex]Imf=R[/tex] par double inclusion et pareil pour g mais peut être que je cherche beaucoup trop compliqué.

2) Si [tex]f :[/tex] [tex]X[/tex] dans [tex]Y[/tex]on a

                                       [tex]f[/tex]  [tex] o[/tex]  [tex]Idx[/tex] =[tex] f[/tex]  et  [tex]Idy[/tex]  [tex]o[/tex]  [tex] f[/tex]=[tex]f[/tex]

Soit [tex]f: X[/tex] dans [tex]Y[/tex] et [tex]g : [/tex][tex]Y[/tex] dans [tex]X[/tex] deux applications, montrer que
a) si [tex]g o f= Idx[/tex] alors tout les éléments de [tex]X[/tex] est une image par g d'un élement de [tex]Y[/tex]
b) si [tex]g o f= Idx[/tex] alors deux éléments [tex]x[/tex] et [tex]x'[/tex] distincts de [tex]X[/tex] ont des images par [tex]f[/tex] distinctes dans [tex]Y[/tex]
c) Si si [tex]g o f= Idx[/tex] et si [tex]f o g= Idy[/tex] montrer que tout [tex]y[/tex] de [tex]Y[/tex] à un unique antécédent par [tex]f[/tex] dans [tex]X[/tex]

Je viens de commencer le chapitre est mon problème c'est que je ne comprend pas vraiment cette histoire d'identité, et j'ai l'impression que cette exo c'est vraiment théorique.
Pouvez m'expliquer svp
merci.

Zebulor

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Re : fonction et application

Bonjour,
Q1 : qu'entends tu par : "j'ai pensé à faire par double inclusion pour Im f ? " supposerais tu que Im f = R ? (idem pour Im G)
En général on procède par double inclusion quand on veut montrer que deux ensembles sont égaux. Mais le cas présent est différent...
Parce que Im f ou Im g sont en effet toujours inclus dans $\mathbb R$ puisque l'ensemble d'arrivée de $f$ et $g$ est $\mathbb R$,  mais x=-1 par exemple a t il  un antécédent par $f$...? humm....

La réponse à ta question 1) est immédiate mais si on veut faire quelque chose de très formel on peut par exemple partir de :
$Im f=${ $f(x)$ tq  x $\in$ $\mathbb R$} = {$f(x)$ tq  x $\in$ $\mathbb R^{-}$} $\bigcup$ {$f(x)$ tq  x $\in$ $\mathbb R^{+}$}= ...  $\bigcup$ ... =  ...

Pour $g$,  $x^2$ a t il un extremum quand $x$ décrit R... $g$ est elle continue ? limites en +/- l'infini? quelle valeur de g pour la valeur de $x$ correspondante à cet extremum ? Cette valeur est elle un maximum ? minimum?

Q2 : L'identité $Id_{X}$ c'est simplement l'application de l'ensemble X dans lui même telle que $Id_{X}(x)=x$ pour n'importe quel élément $x$ de X.
Idem pour $Id_{Y}$ dans l'ensemble Y. C'est en fait la notion la plus simple ..
Dans une application tout élément de l'ensemble de départ a une image (et une seule forcément) dans l'ensemble d'arrivée.
En l'occurrence : pour $Id_{X}$ : ensemble de départ =ensemble d'arrivée=X,
et $Id_{Y}$ : ensemble de départ =ensemble d'arrivée=Y

a) si [tex]g o f= Idx[/tex] alors tout les éléments de [tex]X[/tex] est une image par g d'un élement de [tex]Y[/tex]

Est ce que tu ne voulais pas écrire : "si [tex]g o f= Id_{X}[/tex] alors chaque élément de [tex]X[/tex] est une image par g d'un élement de [tex]Y[/tex]".

Théorique  en effet et difficile à appréhender mais tu peux toujours faire des diagrammes avec des flèches avec des patates qui symbolisent les ensembles.

Dernière modification par Zebulor (02-11-2019 11:54:00)

Super Yoshi

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Re : fonction et application

Bonjour,

en effet sur la 1) j'ai fais une petite gaffe je voulais plus dire [tex]Imf=R+[/tex] donc démontrer cela par double inclusion. Par contre je n'ais pas compris votre justification.

pour la 2) j'ai regardé l'énoncé et c'est bien "tout les éléments"

Zebulor

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Re : fonction et application

Bonsoir,
Vu pour la gaffe, on en fait tous…
Je préfère donner des pistes que la réponse directement, et c'est aussi la philosophie de ce site.

Q1 : Par définition $Im f=${ $f(x)$ tq $x$ $\in$ $\mathbb R$}={$|x|$ tq  $x$ $\in$ $\mathbb R$}
J'écrivais que la réponse à la question 1) est immédiate. C'est un peu plus subtil que je ne le croyais mais ça se fait assez vite.

première méthode :
peut être la plus immédiate ? étude de la fonction valeur absolu $f$. On connaît ses limites en +/- l'infini, elle est continue, et possède un extremum. Une fonction bien sympathique dont l'étude permet de directement de donner $Im f$. Un tableau de signe peut aider à fixer les idées

2e méthode :
Ton idée de démonstration par la méthode de l'inclusion réciproque est bonne. Il s'agit de montrer deux choses :
1°)$Im f \subset \mathbb R^{+}$
2°)$\mathbb R^{+} \subset Im f$.
Par la suite on raisonne pour un élément $y$ quelconque et le schéma : $A\subset B$ équivaut à montrer que si $y$ est un élément quelconque de A, alors c'est aussi un élément de B.

1°)On suppose qu'un élément quelconque qu'on peut appeler $y$ est dans $Im f$, et on veut montrer qu'il est aussi dans $\mathbb R^{+}$, soit :
$y \in Im f$ =>  $y \in \mathbb R^{+}$
Pour le démontrer il suffit de voir quelle est la propriété commune à tous les éléments de $Im f$, en écrivant par exemple ce que signifie mathématiquement $y \in Im f$..
2°)Réciproquement on veut montrer que $y \in \mathbb R^{+}$ => $y \in Im f$.
Ici l'hypothèse est : $y$ positif.. ce qui peut se traduire une relation entre $y$ et sa valeur absolue.

Pour $g$ le schéma de démonstration est le même, quelles que soient les méthodes choisies

3e méthode : (si tu la comprends pas c'est pas très grave):
$x \in \mathbb R$<=> $x \in \mathbb R^{-} \cup  \mathbb R^{+}$ ..
D'où : $Im f=${ $f(x)$ tq  x $\in$ $\mathbb R$} = {$f(x)$ tq  $x$ $\in$ $\mathbb R^{-}$} $\bigcup$ {$f(x)$ tq  $x$ $\in$ $\mathbb R^{+}$}.
Or {$f(x)$ tq  x $\in$ $\mathbb R^{-}$}={$-x$ tq $x$ $\in$ $\mathbb R^{-}$} = $\mathbb R^{+}$ et {$f(x)$ tq  $x$ $\in$ $\mathbb R^{+}$}={$x$ tq $x$ $\in$ $\mathbb R^{+}$}=$\mathbb R^{+}$ ,
d'où  $Im f$=$\mathbb R^{+}$.

Pour le reste je ne comprends toujours pas la phrase suivante, donc je préfère m'en tenir là pour le moment parce que c'est déjà pas mal, histoire de te laisser digérer ce qui précède.

si [tex]g o f= Idx[/tex] alors tout les éléments de [tex]X[/tex] est une image par g d'un élement de [tex]Y[/tex]

Comment la comprends tu ?

Dernière modification par Zebulor (03-11-2019 15:18:32)

Super Yoshi

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Re : fonction et application

bonjour

merci pour les différentes méthodes, surtout pour la première et la deuxième.

Pour la suite j’essaierai de voir ça en cour doucement vus que je viens de commencer le chapitre je ne le maîtrise pas totalement. Si ça vous intéresse je pourrai mettre la réponse de mon prof et discuter peut être d'autre méthode.

merci pour votre aide

Zebulor

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Re : fonction et application

Bonsoir,
Les démonstrations sont toutes assez brèves mais demandent pas mal de réflexion. $Im f$ n'est rien d'autre que l'image par $f$ de l"ensemble de définition de $f$...
Merci
Cdlt

Dernière modification par Zebulor (07-11-2019 17:36:20)