Calculs dans le triangle rectangle

yannD · 30-08-2019 14:09:50

Bonjour Yoshi,

https://www.cjoint.com/c/IHsst3CuoQm

Calculs dans le triangle rectangle
1. On considère un triangle ABC tel que [BC] soit un diamètre de ce cercle
et A est sur le cercle.
a) Pourquoi le triangle ABC est - il. rectangle ?
b) On donne BC = 7.5cm AB = 4.5 cm Calculer AC

2. Le triangle EFG suivant est-il rectangle ?
EF = 5cm; FG = 12 cm ; EG = 13 cm

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1. a) Je cite le théorème : Si un triangle est tel qu'un de ses côtés est un diamètre du cercle et que l'autre point est sur le cercle alors ce triangle est un triangle rectangle et le diamètre du cercle est son hypoténuse.

Par hypothèse [BC] est un diamètre du cercle
et A est sur le cercle
Puisque le côté [BC] est un diamètre du cercle et que le point A est sur le cercle alors le triangle ABC est un triangle rectangle et le côté [BC] est l'hypoténuse.

b) La question précédente m'a permit de démontrer que le triangle ABC est un triangle rectangle
donc je peux utiliser le théorème de Phytagore pour le calcul de la longueur AC
Puisque BC est l'hypoténuse du triangle ABC, je peux donc écrire : $BC^2 = AB^2 + AC^2 $
comme $BC = 7.5$ $cm$ et $AB = 4.5$ ;
$7.5^2 = 4.5^2 + AC^2$ d'où $AC^2 = 7.5^2 - 4.5^2 $ et $AC = \sqrt{7.5^2} - \sqrt{4.5^2} = 7.5 - 4.5 = 3$

2. le triangle EFG est -il rectangle ?
EF = 5cm
FG =12 cm
EG = 13 cm
pour que le triangle soit rectangle avec les longueurs données il faut que EG soit l'hypoténuse et ED le coté adjacent
$EG^2 = EF^2+FG^2$ d'où $13^2 = 5^2 + 12^2 $
et comme 144 + 25 font bien 169 alors le triangle EFG est un triangle rectangle

Dernière modification par yannD (30-08-2019 14:10:53)

yoshi · 30-08-2019 17:32:48

Re,

Pas de trigo -pourquoi ?), mais une bourde avec les racines carrées : priorité des opérations...
[tex]AC^2 = 7.5^2 - 4.5^2[/tex] et $AC = \sqrt{7.5^2} - \sqrt{4.5^2} = 7.5 - 4.5 = 3$
Avant le "et" : d'accord, après c'est faux...
$AC=\sqrt{AC^2}$ et $AC^2 = 7.5^2 - 4.5^2$ là, tu as oublié que [tex]\sqrt{x-y}\neq \sqrt x - \sqrt y[/tex]
La preuve : $\sqrt{25-16}=\sqrt 9 =3$ MAIS $\sqrt{25}-\sqrt{16}=5-4=1$ Ton prof de 1S aurait sauté au plafond !!!
$AC = \sqrt{(7.5^2 - 4.5^2)} = \sqrt{56,25-20,25}=\sqrt{36}=6$.

La majorité des triangles rectangles des exercices sont des dérivés du plus petit triangle rectangle aux côtés à longueurs entière : le triangle 3-4-5. 5²= 25, 3²+4² = 9 + 16 =25 (il est bien rectangle).
Ici $7,5 = 5 \times 1,5 et 4,5 = 3 \times 1,5$... en conséquence le coté manquant est $4 \times 1,5 =6$.

Q2 Le triangle suivant est aussi dû à Pythagore qui avait découvert que pour n impair >=3 tous les triangles dont les côtés sont $n,\;\dfrac{n^2-1}{2}\text{ et };\dfrac{n^2+1}{2}$ est rectangle
cf : https://www2.mat.ulaval.ca/fileadmin/Co … iciens.pdf

@+

yannD · 01-09-2019 16:50:55

Bonjour Yoshi, il y avait encore 2 parties qui faisant suite au calcul dans le triangle rectangle

Puissance de dix
• Ecrire les nombres suivants en utilisant la notation scientifique :

0,00253 = 2.53 $\times$ $10^-4$ 15 000 000 = 1.5 $\times$ $10^6$

Cosinus
• On donne BC = 3 et AC = 8
Combien mesure l'angle A ? Réponse à 0.1 près

Calcul du cosinus de l'angle BCA connaissant la longueur des 2 côtés.

cos BCA = BC/AC = 3/8 soit cos BCA = 0.375
$cos^-1$ = 67.975°

il est demandé de calculer l'angle Â : la somme des angles d'un triangle est 180°
par conséquent BCA + CAB + ABC = 180° d'où CAB = (90+ 67.975) - 180° = 22.02
à 0.1 près c'est 22.0°

• Un bateau est amarré le long d'un quai au moyen de 2 filins accrochés
à une borne d'amarrage A en 2 points B et C de l'axe du bateau
On donne H = 90°; BH = 4.25 et AB = 8.5
1. Dans le triangle AHB rectangle en H, calculer la mesure de l'angle ABH
En déduire la mesure de l'angle BAH
2. Calculer alors la longueur AH. (en utilisant le cosinus)
3. En utilisant le triangle AHC rectangle en H, dire alors si la longueur du filin est supérieure ou inférieure à 14 m .

1. Calcul de l'angle aigu connaissant la longueur des 2 côtés.

cos ABH = BH/AB = 4.25/8.5 = 0.5
$cos^-1$ = 60°

AHB + ABH + BAH = 180° soit BAH = 180° - (60°+90°) = 30°

Soit angle BAH = 30°

2. Calcul du côté adjacent (AH) connaissant la mesure de l'angle aigu et l'hypoténuse

cos BAH = AH / AB <=> AH = cos BAH $\times$ AB = cos (30°) $\times$ 8.5 = 0.86 $\times$ 8 = 7.31

Soit longueur AH = 7.31cm (1cm près)

3. Le triangle AHC est rectangle en H , de plus l'angle ACH = 30° donc l'angle CAH = (120° - 180° ) = 60°

Ainsi, dans le triangle AHC, je calcule l'hypoténuse connaissant l'un des côtés de l'angle

cos CAH = AH / AC <=> 1/AC = cos CAH - AH d'où 1 =. 0.5 - 7.31 et 1. = 6.81
AC AC

yoshi · 01-09-2019 19:12:33

Re;

• Ecrire les nombres suivants en utilisant la notation scientifique :
0,00253 = 2.53 × 10⁻⁴ 15 000 000 = 1.5 × 10⁶

Et non...
Exposant positif je commence par le plus simple d'abord) :
$10^6 =\underbrace{10 \times 10\times 10 \times 10 \times 10 \times 10}_{6 facteurs 10}=1 000 000$
10⁶ c'est un 1 suivi de 6 zéros, 10ⁿ c'est 1 suivi de n zéros.
Donc $15 \times 10^6 = 1,5 \times 1\,000\,000$
En primaire, on apprend (apprenait ?) à dire :
j'enlève la virgule et je raie un zéro (un, parce qu'un seul chiffre après la virgule) :
Donc $15 \times 10^6 = 1,5 \times 1\,000\,000 = 15 \times 100\,000= 1500000 = 1\,500\,000$ et non 15 000 000
Avec 1.5 de comben de rangs recules-tu la virgule pour ne plus en la voir ? 1 et on arrive à 15.
On ne la voit pas, mais elle est encore là : 15 c'est 15,0 ou 15,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
pour arriver à 15 000 000, il faut encore faire apparaître 6 zéros : 1+6 =7
Donc
10 000 000 = 10⁷
15 000 000 = 1,5 x 10⁷
15 200 000 = 1,52 x 10⁷ pourquoi ça ne change pas l'exposant ?
15 234 000 = 1,523 4 x 10⁷ pourquoi ça ne change pas l'exposant ?
....
90 000 000 = 9 x 10⁷
98 700 000 = 9,87 x 10⁷
parce qu'il y a toujours 7 chiffres après le 1 ou le 9....
Lorsque derrière le 1 ou le 9 des exemples il n'y a pas d'autres chiffres que des zéros, je les compte : 7 zéros : 1 x 10⁷ et
9 x 10⁷
Pour 156 003 245, il y a 8 chiffres derrière le 1 : 156 003 245 = 1,560 032 45 x 10⁸

Exposant négatif
$10^{-4}=\dfrac{1}{10^4}=\dfrac{1}{10\,000} =0,000\,1$
Multiplier par $10^{-4}$, c'est diviser par $10^{4}$ c'est à dire par 10 000 ou multiplier par 0,000 1
Là,; il y a un bon "truc" à utiliser :
Dans 0,0025, le 1er chiffre qui n'est pas zéro est le 2 : il est en 3e position après la virgule, donc si on ne regarde que ce 2, cela donnera
$2 \times 10^{-3}$ et on complète ensuite en mettant une virgule puis les chiffres suivants :
$0,00253 =2,53\times 10^{-3}$
MAiS
$0,000350087 =3,50087 \times 10^{-4}$

Trigo
cos BCA = BC/AC = 3/8 soit cos BCA = 0.375 oui
cos^-1 = 67.975° Oui

Oui pour l'angle A aussi.

Le bateau.
Q1 OK

Q2
AH = cos BAH × AB = cos (30°) × 8.5 = 0.86 × 8 = 7.31
Tu arrondis après pas avant, ce n'est pas prudent, la preuve : il te manque 5 cm
Tu prends ta calculette et tu tapes :
$8,5 \times cos 30 =$ et s'affiche 7,3612159... (avec un vieux tromblon de 20 ans)

Avec 0,866 : 0,866 x 8,5 =7,361 mais ce n'est pas prudent quand même : là, tu n'as que 8,5 m, si c'était 8,5 km et valeur attendue à 1 cm, on aurait trouvé
$8500 \times 0,866 = 7361 m$ alors que la valeur attendue aurait été : 7361,22 à 1 cm près, et là il manquait 22 cm
avec ton 0,86 c'était pire, réponse obtenue 7310 m... Là c'était une erreur de 1,22 m...

Q3
cos CAH = AH / AC <=> 1/AC = cos CAH - AH
En rouge, c'est une erreur... grossière :
$\cos\widehat{CAH}=\dfrac{AH}{AC}\;\Leftrightarrow\;AC=\dfrac{AH}{\cos \widehat{CAH}}$

Je peux considérer que j'ai : $quotient = \dfrac{Dividende}{diviseur}$ et donc $diviseur = \dfrac{Dividende}{quotient}$

Exemple numérique :
$0,8 = \dfrac{4}{5}$ et donc $4= \dfrac{5}{0,8}$

A l'avenir, pour éviter ce genre de sottise, encore un "truc"... Tu dois bien penser que s'il n'y a pas de dénominateur visible, il y en a un quand même, c'est 1...
$\cos\widehat{CAH}=\dfrac{AH}{AC}\;\Leftrightarrow\;AC=\dfrac{\cos \widehat{CAH}}{1}=\dfrac{AH}{AC}$
produits en croix :
$AC\times \cos \widehat{CAH} =1\times AH$
Soit
$AC\times \cos 60 =1\times 7,32$ (mieux : ne pas utiliser 7,32 mais $8,5\times \cos 30$

Et $AC = \dfrac {7,32}{\cos 60}$ $\left( \text{ mieux } \;:\; AC = \dfrac {(8,5 \times \cos 30)}{\cos 60}\right)$

Et bonne rentrée !

@+

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