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lop

Invité

Probas : problème sur la ruine du joueur[Résolu]

Bonsoir,

voici un problème d'ECS (proba) dont je ne saisi meme pas clairement l'énoncé :

Un joueur joue indéfiniment contre une banque selon le protocole suivant :

- la banque dispose d'un stock illimité de pièces non éqlb indiscernables. Pr ces pièces, la proba d'obtenir face (F) lors d'un jet vaut 1/3 et celle d'obtenir pile (P) vaut 2/3

- au début du jeu, la banque remet une pièce au joueur et celui-ci la lance. S'il obtient F, la pièce lui est reprise et il est ruiné. S'il obtient P, il reprend sa mise et la banque lui remet une pièce supplémentaire.

- à sa 2ème partie, le joueur lance TTES ses pièces. Les pièces amenant F sont reprises par la banque et les pièces amenant P sont rendues au joueur ac un nb supplémentaire de pièces égal au nb de pièces ayant amené pile.

- ainsi de suite à chq partie du jeu : le joueur lance ttes ses pièces, la banque reprenant celles ayant amené F et doublant la mise pr celles ayant amené P.

- les résultats des differents lancers sont indépdts les uns des autres.
- On admet que si à un certain moment le joueur est ruiné, le jeu continue qd m, le joueur lancant 0 pièce et en gagnant 0.

Xn = variable aléatoire égale nb de pièces possédées par le joueur A L'ISSUE de la nème partie.

____________________________________

1/ faire un arbre representant les 3 premières parties et determiner loi de X1 et X2

____________________________________

Le problème, c'est que je ne comprends pas la modélisation :
Je comprends le jeu comme suit :

Si par exple, le joueur mise k pièces au départ
1er lancer : il lance 1 pièce (proba P = 2/3 et proba F = 1/3)
2ème lancer : il lance (k+1) pièces (proba P = [2/3 * (k+1)] et proba F = [1/3 * (k+1)] )

ensuite pr le 3ème je n'arrive pas à voir.

Il s'agit bien, au niveau de la représentation de l'arbre, de faire des branches avec au bout P et F n'est ce pas?

Merci d'avance de votre aide.

john

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Re : Probas : problème sur la ruine du joueur[Résolu]

Salut,

Au 1er essai, le joueur lance UNE SEULE pièce (celle que lui donne la banque pour commencer le jeu).
Si le résultat est P il gagne une nouvelle pièce => X1 = 2
Si le résultat est F il perd sa 1ère pièce => X1 = 0

Au 2ème essai, le joueur lance 0 ou 2 pièces (car X1 = 0 ou 2).

A+

lop

Invité

Re : Probas : problème sur la ruine du joueur[Résolu]

très bien, merci, je crois avoir compris.

On me demande aussi de calculer l'espérance.

pr X1 : E(X1) = 2 * P(X1=2) = 2 * 2/3 = 4/3. correct?

(j'ai obtenu P(X1=2)=2/3 en faisant proba totales sur systeme complet : (P2 = k), k variant de 0 à 2 avec P2 la variable aléatoire dénombrant le nb de pile au 2ème lancer. ) correct?

--------
une tt autre question :

cmt faire la sum(sum(ei)), en sachant que pr les 2 sommes, l'indice qui varie est i, de 1 à n??
( les (ei) varient de 1 à n et forme une base d'un espace vectoriel sur |R )

sum(sum(ei)) = 2sum(ei) ?

merci encore.

john

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Re : Probas : problème sur la ruine du joueur[Résolu]

Re,
P(X1=2) = proba d'obtenir P au 1er jet = 2/3 tout simplement.
OK pour l'espérance.
------------
Sum(ei) = K = constante indépendante de i.
Sum(Sum(ei)) = Sum(K) = n.K
A+

PS : Pour un problème différent --> Créer un nouveau message

Dernière modification par john (31-10-2007 22:15:57)

lop

Invité

Re : Probas : problème sur la ruine du joueur[Résolu]

ok.

Est ce que pr X2 il faut utiliser les proba totales ?

[X2=2] = ( [P2=1] / P1) inter ( [F2=1] / P1) i.e. en proba :  1/3 * (2/3)^2 ?
ou plutot [X2=2] = ( [P2=1] / P1) i.e en proba : 2 *  1/3 * (2/3)^2  car 2fois + de possibilité d'avoir [P2=1] que [P2=0] ou [P2=2] ?

[X2=0] = ( [P2=0] / P1) i.e. en proba : (1/3)^2 * 2/3 ?
ou bien faut-il prendre en compte le lancer de 0 pièce : [X2=0] = ( [P2=0] / P1) U ( [F2=0] / F1)  i.e. en proba : (1/3)^2 * 2/3 + (1/3)^2 ?

[X2=4] = ( [P2=2] / P1) i.e. en proba : (2/3)^3 ?

Normalement, la somme des "branches de l'arbre" i.e. les proba de [P2=0] + [P2=1] + [P2=2] doit etre =1 n'est ce pas? pourtant, je n'ai pas ca...

_______
Sinon, pr le 3ème lancer :

X3 = 0 piece ou 2 ou 4 pieces

par exple pr [X3=4],  les proba suivantes sont-elles correctes?

proba [P3=0] = (0 parmi 4) * (1/3)^4

proba [P3=1] = (1 parmi 4) * 2/3 * (1/3)^3

proba [P3=2] =  (2 parmi 4) * (2/3)^2 * (1/3)^2

meme raisonnement de combinaison pr proba [P3=3] et [P3=4]
mais est ce juste d'utiliser les combinaison?

_____
merci!

john

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Re : Probas : problème sur la ruine du joueur[Résolu]

Salut,
Si tu as dessiné un arbre correct, il suffit de le lire pour obtenir la loi de X2.
Il ne faut pas oublier les branches mortes avec Xn = 0.
Attention, après le 3ème jet, X3 peut prendre les valeurs 0, 2, 4, 6 ou 8 avec les proba. que je te laisse calculer.
A+

lop

Invité

Re : Probas : problème sur la ruine du joueur[Résolu]

Est ce que comme les lancers sont independants les uns des autres, on a, par exemple :

proba( [P2 = 1] / P1 ) = proba( [P2 = 1] ) ?

et que du coup : proba[X2 = 2] = proba( [P2 = 1] / P1 ) + proba( [F2 = 1] / P1 ) = proba( [P2 = 1] ) + proba( [F2 = 1]  ) = 4/9 ?

ds ce cas, j'ai bien (branches de P2) = ( Proba(P2=0) + proba(P2=1) + proba(P2=2) ) = 1
correct?

john

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Re : Probas : problème sur la ruine du joueur[Résolu]

RE,
Je ne comprends pas tes notations... qui me semblent bien compliquées.

L'épreuve n°1 consiste à jeter une seule pièce.
Le résultat est P ou F avec les proba. respectives 2/3 et 1/3.
A l'issue de cette épreuve, le nombre aléatoire X1 de pièces dans la main du joueur sera respectivement 2 ou 0.
L'arbre a donc 2 branches :
- la branche 2 avec une proba. de 2/3
- la branche 0 avec une proba de 1/3

L'épreuve n°2 consiste à jeter 2 pièces (car on sait que jeter 0 pièce donnera toujours 0).
Le résultat est PP, PF, FF et FP avec les proba. respectives 4/9, 2/9, 1/9 et 2/9.
A l'issue de cette épreuve, le nombre aléatoire X2 de pièces dans la main du joueur sera respectivement 4, 2 ou 0.
Partant de la branche 2, on ajoute 3 branches à notre arbre :
- la branche 4 avec une proba. de 4/9
- la branche 2 avec une proba. de 4/9
- la branche 0 avec une proba. de 1/9

La lecture de l'arbre nous donne :
Pr(X2=0) = 1/3 (F au 1er jet) + (2/3).(1/9)
Pr(X2 = 2) = (2/3).(4/9)
Pr(X2 = 4) = (2/3).(4/9).

L'épreuve n°3 consiste à jeter 2 ou 4 pièces (car on sait que jeter 0 pièce donnera toujours 0).
On vient de voir le jet de 2 pièces et il reste à voir le jet de 4 pièces.
Partant de 4 pièces en main, les résultats possibles sont :
PPPP => X3 = 8 avec la proba. (2/3)^4
PPPF => X3 = 6 avec la proba. (1/3).(2/3)^3
etc.
Simple non ?
A+

lop

Invité

Re : Probas : problème sur la ruine du joueur[Résolu]

très bien, j'ai tt compris, merci bcp!