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Stephan

Invité

encore un problème de barycentre [Résolu]

Bonjour, je fais encore appelle à vous pour un autre problème de barycentre.

Soit ABCD un trapèze tel que AB = a, CD =3a et que la hauteur AH = 2a. Précisons que DH = 1/3 DC.
Il s'agit de déterminer les réels m et n tels que H soit le barycentre de (A,m),(B,1),(C,1),(D,n).

Donc m HA + HB + HC + n HD = 0.

Comment peut-on s'y prendre ? Cela a sans doute un rapport avec la position de H mais je sèche lamentablement. Peut-on s'en sortir en décomposant les vecteurs ou doit-on introduire d'autres points ?

Merci de votre aide à tous.

yoshi

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Re : encore un problème de barycentre [Résolu]

Bonsoir,

J'ai une solution qui ne me plaît guère... Trop calculatoire !

Je te la livre quand même. J'appelle I le milieu de [BC]. On a I(2) = Bar{B(1),C(1).
J'appelle J(m+n) le Barycentre de A(m) et D(n)..
Si H = Bar{A(m), B'(1),C(1)D(n)}, alors H = Bar{I(2),J(m+n)} Et il vient que I, H et J sont alignés et J sur (AD). J est donc à l'intersection de (AD) et (IH).
Le problème revient donc à chercher quelles sont les longueurs AD et DJ...
J'appelle E l'intersection de (AB) avec (HI)...
D'autre part, le triangle DBC est isocèle, Sa hauteur issue de B est aussi une médiane qui coupe (en F par exemple) la médiane [HI].
D'après la propriété des médianes BF = 3/3 de 2a, donc BF/HA = 2/3.
Maintenant j'applique le théorème de Thalès au triangle HAE et je trouve donc EB/EA = 2/3, donc EB = 2a.
Maintenant je réapplique le théorème de Thalès au triangle JAE ; les parallèles sont  cette fois (DH) et et (AE) et je trouve cette fois JD/JA = 1/3....

Si tu as suivi, tu en déduis aisément m et n.

@+

[EDIT]
Correction d'une faute de frappe...

Dernière modification par yoshi (26-10-2007 08:19:13)

Stephan

Invité

Re : encore un problème de barycentre [Résolu]

Merci pour ta réponse,
je vais travailler dessus et je te tiens au courant.

@+

yoshi

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Re : encore un problème de barycentre [Résolu]

Bonjour,

J'ai repensé ce matin à ton problème... Et j'ai trouvé comment économiser quelques calculs.
Donc je reprends...

Puisque [tex]\vec{DH}=\vec{AB}\;alors\;\vec{DA}=\vec{HB}[/tex]

Je construis alors E tel que [tex]\vec{CE}=\vec{HB}=\vec{DA}[/tex]

Le quadrilatère HBEC est donc un parallélogramme : ses diagonales [HE] et [BC] ont donc le même milieu que j'appelle I. De plus AE = 3a
J'appelle J(m+n) le Barycentre de A(m) et D(n)..
Si H = Bar{A(m), B'(1),C(1)D(n)}, alors H = Bar{I(2),J(m+n)} Et il vient que I, H et J sont alignés et J sur (AD).
J est donc à l'intersection de (AD) et (IH), et il appartient de plus à la demi-droite [AD) sans appartenir au segment [AD]
J, H, I et E sont alignés et (DH) // (AE) donc dans le triangle JAE on a DH = a et : [tex]\vec{DH}={1 \over 3}\vec{AE}[/tex]

Il st alors facile de montrer que [tex]\vec{JD}={1 \over 3}\vec{JA}[/tex].

On en déduit aisément m et n.

Je n'ai pas trouvé mieux en utilisant de "simples" suites d'égalités vectorielles...:-(

@+