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romu

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tribus de Borel et tribus produit [Résolu]

Bonjour, je cherche à montrer que [tex]\mathcal{B}(\mathbb{R})\otimes \mathcal{B}(\mathbb{R}) = \mathcal{B}(\mathbb{R}^2)[/tex].

J'ai montré que  [tex]\mathcal{B}(\mathbb{R})\otimes \mathcal{B}(\mathbb{R}) \supset \mathcal{B}(\mathbb{R}^2)[/tex], mais je n'arrive pas à montrer que [tex]\mathcal{B}(\mathbb{R})\otimes \mathcal{B}(\mathbb{R}) \subset \mathcal{B}(\mathbb{R}^2)[/tex].

Avec pour définitions:

[tex]\mathcal{B}(\mathbb{R}) = \sigma(\{\mbox{ouverts de } \mathbb{R}\})[/tex]

[tex]\mathcal{B}(\mathbb{R}^2) = \sigma(\{\mbox{ouverts de } \mathbb{R}^2\})[/tex]

[tex]\mathcal{B}(\mathbb{R})\otimes \mathcal{B}(\mathbb{R}) = \sigma(\{A_1\times A_2:\ A_1,\ A_2\in \mathcal{B}(\mathbb{R})\})[/tex]

Est-ce que pour tout espace topologique [tex]E[/tex], on a [tex]\mathcal{B}(E)\otimes \mathcal{B}(E) = \mathcal{B}(E\times E)[/tex] ?

Merci pour votre aide.

romu

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Re : tribus de Borel et tribus produit [Résolu]

C'est bon en fait je viens de comprendre, merci ;)

vbnul

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Re : tribus de Borel et tribus produit [Résolu]

Tu nous expliques ?

romu

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Re : tribus de Borel et tribus produit [Résolu]

Bonsoir vbnul,

en fait on commence par considérer

pour tout ouvert [tex]U[/tex] de [tex]\mathbb{R}[/tex] l'ensemble [tex]\mathcal{B}_U = \{V\in \mathcal{B}(\mathbb{R}):\ U\times V\in \mathcal{B}(\mathbb{R}^2)\}[/tex],

et pour tout borélien [tex]V[/tex] de [tex]\mathbb{R}[/tex] l'ensemble [tex]\mathcal{B}_V = \{U\in \mathcal{B}(\mathbb{R}):\ U\times V\in \mathcal{B}(\mathbb{R}^2)\}[/tex].

On montre ensuite que [tex]\mathcal{B}_U[/tex] et [tex]\mathcal{B}_V[/tex] ne sont autres que la tribu de borel de [tex]\mathbb{R}[/tex], ie on a [tex]\mathcal{B}_U=\mathcal{B}_V=\mathcal{B}(\mathbb{R})[/tex].

Ensuite on considère [tex]A_1,\ A_2\in \mathcal{B}(\mathbb{R})[/tex]. On a [tex]\mathcal{B}_{A_2}=\mathcal{B}(\mathbb{R})[/tex] d'après ce que j'ai dit juste avant, donc [tex]A_1\in \mathcal{B}_{A_2}[/tex], ce qui équivaut à dire que [tex]A_2\times A_2\in \mathcal{B}(\mathbb{R}^2)[/tex].

Donc [tex]\{A_1\times A_2:\ A_1,\ A_2\in \mathcal{B}(\mathbb{R})\}\subset \mathcal{B}(\mathbb{R}^2)[/tex], et donc [tex]\mathcal{B}(\mathbb{R})\otimes \mathcal{B}(\mathbb{R}) \subset \mathcal{B}(\mathbb{R}^2)[/tex].

Dernière modification par romu (21-10-2007 19:06:50)