Démontrer que la fonction f : x->ax² est croissante ou pas sur [0;+∞]

yoshi · 24-03-2019 21:29:17

Oui,

mais avant de conclure, après [tex]ax_1^2-ax_2^2<0[/tex], ajoute : donc [tex]f(x_1)-f(x_2)<0[/tex] et [tex]f(x_1)<f(x_2)[/tex]
Cale-toi sur la définition qui ne parle pas de <0 ou >0 mais de $x_1<x_2\, \Rightarrow \,f(x_1)<f(x_2)$

Et puis n'écris pas $f(x)=x^2$ mais $f(x)=ax^2$ avec a>0 est bien croissante etc...
Pourquoi le a est-il passé à la trappe 2 fois (au début et à la fin) ?

@+

yannD · 25-03-2019 15:13:03

Bonjour Yoshi, j'aime bien aussi cette présentation

• On rappelle d'abord la définition de la fonction croissante :
Une fonction f est strictement croissante sur un intervalle si et seulement si
quels que soient $x1 < x2$ de I , $f(x1) < f(x2)$
• On va utiliser cette définition pour faire la démonstration
$x1 < x2 <=> x2 - x1 > 0$
$f(x1) < f(x2) <=> f(x2) - f(x1) > 0.$

• Pour démontrer que $f(x) = a.x²$ est strictement croissante sur [0;+∞[
- On prend 2 nombres quelconques $x1 < x2$ dans [0;+∞[ donc $x2 - x1 > 0$
- Ainsi, on veut voir si $f(x2) - f(x1) > 0$ ou si $f(x2) - f(x1) < 0$
Si $f(x2) - f(x1) > 0$, comme c'est le même ordre que $x2 - x1 > 0$ alors la fonction $f(x) = a.x²$ est croissante
et si $f(x2) - f(x1) < 0$ , l'ordre est contraire à $x2 - x1 > 0$ et la fonction $f(x) = a.x²$ est décroissante.

- $f(x2) - f(x1) = a.x2² - a.x1²$ ,
- On va donc étudier le signe de $a.x2² - a.x1²$ en factorisant cette expression

- signe de $(x2 + x1)$ : c'est la somme de 2 nombres positifs
- signe de $(x2 - x1) $: on a rappelé plus haut que $x1 < x2$ si et seulement si le terme $x2 - x1$ est positif
- $a.x2² - a.x1² > 0$ , c'est le même ordre que $x2 - x1 > 0$
- L'ordre des images de $x1$ et de $x2$ n'est pas inversé, donc la fonction f(x) = a.x² est croissante sur [0;+∞[

Dernière modification par yannD (25-03-2019 15:20:21)

Zebulor · 25-03-2019 16:27:13

Bonjour YannD et Yoshi,
@Yann : en te lisant j'ai le sentiment que tu t'encombres de choses inutiles, alors je tente plus synthétique et me permets juste cette incursion :
Soient x1 et x2 tels que [tex]0<x_1<x_2 [/tex]
Alors, [tex]f(x_1)-f(x_2)=a*x_1^2-a*x_2^2=a*(x_1-x_2)(x_1+x_2)[/tex] est du signe de [tex](x_1-x_2)[/tex] car a>0 et [tex](x_1+x_2)>0[/tex]
Or [tex](x_1-x_2)<0[/tex], d'où [tex]f(x_1)-f(x_2)<0[/tex], ce qui s'écrit encore :
[tex]x_1<x_2 [/tex] implique [tex]f(x_1)<f(x_2)[/tex]. D où la croissance de [tex]f[/tex] sur [tex]]0.+infini[[/tex]

Dernière modification par Zebulor (25-03-2019 16:36:08)

yannD · 25-03-2019 16:58:36

Oui, bonjour Zebulor et merci…
Mais à vrai dire, le problème que nous avons soulevé en classe est le suivant :
• Pourquoi est-il plus simple d'étudier le signe de la différence des images pour pouvoir les comparer
(et par un groupe de notre classe , cela n'était pas très compris)
• Ainsi, on a vu cette autre méthode. (Et j'ajoute que cela n'a pas été simple pour nous expliquer qu'on pouvait écrire : x1 < x2 <=> x1 - x2 < 0

Dernière modification par yannD (25-03-2019 17:02:55)

yannD · 25-03-2019 17:05:26

si tu as une super idée pour nous l'expliquer, elle est bienvenue pour nous…

Zebulor · 25-03-2019 18:40:34

Bonsoir YannD,

yannD a écrit :

• Pourquoi est-il plus simple d'étudier le signe de la différence des images pour pouvoir les comparer
(et par un groupe de notre classe , cela n'était pas très compris)
• Ainsi, on a vu cette autre méthode. (Et j'ajoute que cela n'a pas été simple pour nous expliquer qu'on pouvait écrire : x1 < x2 <=> x1 - x2 < 0

Une super idée ..je n'ai pas cette prétention, mais une idée au moins. Il se pourrait bien que Yoshi en ait de meilleures de moi...

Je ne suis pas sur de comprendre ton premier point. "plus simple" dis tu.. par rapport à quelle autre méthode?
C'est peut être une question de représentation mentale ou graphique. Tu peux par exemple tracer le graphe de la fonction carré sur [0;+infini[ et choisir deux points du graphe de cette fonction, de coordonnées (x1,f(x1)) et (x2,f(x2)) et d'étudier le signe de la différence des images par exemple… Ca peut fixer les idées, mais ça ne démontre rien !

Quant au deuxième point : x1<x2 implique x1-x2<x2-x2, et en simplifiant cette deuxième inégalité tu as l'implication =>
Réciproquement : x1-x2<0 implique x1-x2+x2<0+x2, de même en simplifiant tu as l'implication <=

D'où l'équivalence que tu as écrite..

Dernière modification par Zebulor (25-03-2019 19:42:24)

yannD · 25-03-2019 18:59:24

x1 < x2 implique x1 - x2 < x2 - x2

x1 < x2 = > x1 - x2 < x2 - x2

Dernière modification par yannD (25-03-2019 19:00:37)

yannD · 25-03-2019 19:03:58

quand j'ai x1 < x2 ça implique x1 -x 2< x2 -x 2 ????

Dernière modification par yannD (25-03-2019 19:13:27)

Zebulor · 25-03-2019 19:08:22

Oui et réciproquement. Tu ne changes pas le sens d'une inégalité si tu ajoutes ou soustrais un même terme à chacun de ses membres… Les deux inégalités que tu as écrites dans ton post #33 sont strictement équivalentes.

Si la proposition A implique la proposition B et Si la proposition B implique la proposition A alors A et B sont des propositions équivalentes...

Dernière modification par Zebulor (25-03-2019 19:20:17)

yannD · 25-03-2019 19:15:11

j'ai une égalité x1 < x2 donc je peux ajouter un même nombre de chaque côté. D'accord
Mais quand vous dites ça implique , c'est que c'est forcément x1 < x2 implique x1 -x2 < x2 -x2
désolé, d'insister, Zebulor mais c'est mon point faible…

Zebulor · 25-03-2019 19:21:53

Mais tu as raison d'insister… je ne sais pas quoi te répondre du moins pour le moment…

Dernière modification par Zebulor (25-03-2019 19:25:52)

yannD · 25-03-2019 19:24:17

Reprends avec moi…

yannD · 25-03-2019 19:25:18

Si je comprends, on part de :
x1 < x2

Zebulor · 25-03-2019 19:26:32

oui, en d'autres termes on part de la proposition : si x1<x2

Dernière modification par Zebulor (25-03-2019 19:27:12)

yannD · 25-03-2019 19:27:05

Et x1 < x2 est équivalent à x1 -x2 < x2 -x2 donc on écrit x1 < x2 <=> x1 -x2 < x2 - x2

Zebulor · 25-03-2019 19:28:39

Si x1<x2 alors x1-x2<x2-x2, ce qui s'écrit aussi : si x1<x2 alors x1-x2<0, ou bien encore x1<x2 => x1-x2<0

Si x1-x2<0, alors x1<x2 , ou bien encore x1-x2<0 => x1<x2

Schéma A => B ET B=>A , ce qui revient à A<=>B

Dernière modification par Zebulor (25-03-2019 19:33:08)

yannD · 25-03-2019 19:30:10

mais pourquoi alors

yannD · 25-03-2019 19:31:16

si x1 < x2 alors x1 -x2< x2 -x2

yannD · 25-03-2019 19:32:20

Tu as été trop vite au # 41

Zebulor · 25-03-2019 19:37:56

Euh… comment faire ? C'est une affaire de logique. Je suis désolé mais je dois m'absenter Yann...

yoshi · 25-03-2019 19:38:50

RE,

@YannD

Pourquoi est-il plus simple d'étudier le signe de la différence des images pour pouvoir les comparer
(et par un groupe de notre classe , cela n'était pas très compris)

Plus simple que quoi ?
Comparer 2 nombres, c'est établir lequel est supérieur (parfois supérieur ou égal) à l'autre et donc d'après la définition chercher le signe de la différence...
Petit flashback...
Comment sais-tu que -0,701>--0,702 ?
Parce qu'en cours on m'a dit : entre deux négatifs le plus grand est celui qui a la plus petite valeur absolue ?
Si ça s'arrête là, ça n'est qu'une recette de cuisine...
On a posé comme définition : [tex] \forall a,b \in \mathbb{R}[/tex], on dit que [tex]a\geqslant b[/tex] si et seulement si [tex]a-b \in \mathbb{R}^+[/tex]
Donc que faut-il faire pour montrer que [tex]f(x_2)\geqslant f(x_1)[/tex] ? Montrer que [tex]f(x_2)-f(x_1)[/tex]...
Quoi d'autre ?
Travailler un graphique ?
Oui, pour avoir une idée de la réponse, si on ne la connaît pas.
Pour voir que si on prend deux abscisses telles que x1<x2 alors les images de $x_1$ et $x_2$ par la fonction seront telles que $f(x_1)<f(x_2)$ ?
Comment on le sait ? L'axe des ordonnées étant gradué dans l'ordre croissant de bas en haut, on voit que l'ordonnée $f(x_1)$ est au dessous de l'ordonnée $f(x_2)$...
Mais sauf, si c'est explicitement demandé dans la question, le visuel ne constitue pas une preuve admise...
Si tu veux faire la preuve ainsi, il te faut étudier tous les exemples, ce qui est impossible !
Il n'y a qu'un cas où tu peux utiliser un exemple c'est pour montrer qu'une affirmation est fausse : si ton Lycée comporte 100 fenêtres, que quelqu'un dit : toutes les fenêtres sont fermées et que tu en trouves une non fermée, l'affirmation est fausse.

La seule option restante est la démonstration par le calcul littéral qui n'utilise pas d'exemple(s) mais un raisonnement...

@+

yannD · 25-03-2019 19:47:47

Bonsoir Yoshi, si c'est bien -0,701 et -0,702
là, du coup, je me rend compte que c'est pas si évident…

yannD · 25-03-2019 19:49:46

Comparer deux nombres, c'est chercher lequel est supérieur à l'autre
Ça oui.
D'accord

yannD · 25-03-2019 19:55:31

Mais je ne comprends pas (au niveau logique) quand il est dit au #31
x1 < x2 implique x1 - x2 < x2 - x2
moi j'ai compris que x1 < x2 est équivalent à x1 - x2 < x2 - x2
mais pourquoi en simplifiant la 2e égalité on a =>
pourquoi x1 < x2 => x1 - x2 < x2 - x2

Dernière modification par yannD (25-03-2019 19:56:35)

yoshi · 25-03-2019 20:11:31

Re,

Ce "alors" te gêne...
La formulation d'une telle propriété est Si (hypothèse) alors conclusion.
(Tu as vu ça plein de fois en géométrie...)

L'addition ne change pas le sens d'une inégalité, seule la multiplication par un réel négatif change le sens d'une inégalité.

Donc si $x_1<x_2$ alors quel que soit [tex]b\in \mathbb{R}[/tex] on a $x_1+b<x_2+b$
Puisque c'est vrai pour n'importe quel b, c'est vrai pour [tex]b =-x_2[/tex] et on écrit donc :
si $x_1<x_2$ alors $x_1+(-x_2)<x_2+(-x_2)$ c'est à dire [tex]x_1-x_2<0[/tex]
C'est une explication.
L'autre est de de revenir à la définition de l'inégalité (stricte cette fois) :
si $x_1<x_2$ alors je peux aussi dire que $x_2>x_1$
Et la définition me dit que je ne peux écrire que $x_2>x_1$ que si et seulement si $x_2-x_1\in \mathbb{R}^{*+}$, donc si le signe de la différence est +, si elle strictement positive...

@+

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#26 24-03-2019 21:29:17

Re : Démontrer que la fonction f : x->ax² est croissante ou pas sur [0;+∞]

#27 25-03-2019 15:13:03

Re : Démontrer que la fonction f : x->ax² est croissante ou pas sur [0;+∞]

#28 25-03-2019 16:27:13

Re : Démontrer que la fonction f : x->ax² est croissante ou pas sur [0;+∞]

#29 25-03-2019 16:58:36

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#30 25-03-2019 17:05:26

Re : Démontrer que la fonction f : x->ax² est croissante ou pas sur [0;+∞]

#31 25-03-2019 18:40:34

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#32 25-03-2019 18:59:24

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#33 25-03-2019 19:03:58

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#35 25-03-2019 19:15:11

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#36 25-03-2019 19:21:53

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#37 25-03-2019 19:24:17

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#38 25-03-2019 19:25:18

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#39 25-03-2019 19:26:32

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#40 25-03-2019 19:27:05

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#41 25-03-2019 19:28:39

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#42 25-03-2019 19:30:10

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#43 25-03-2019 19:31:16

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#44 25-03-2019 19:32:20

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#46 25-03-2019 19:38:50

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#47 25-03-2019 19:47:47

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#48 25-03-2019 19:49:46

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#49 25-03-2019 19:55:31

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#50 25-03-2019 20:11:31

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