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yannD

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Construction d'un triangle inscrit dans un cercle

Bonjour Yoshi,

Dans l'exercice précédent, je rappelle l'énoncé : Un triangle ABC quelconque, est inscrit dans un cercle de centre O. Soient H le point d'intersection des hauteurs du triangle du triangle, D le point diamétralement opposé à A sur le cercle et M le milieu de [BC]. Et bien on part d'un triangle inscrit dans un cercle, là, j'ai fait la construction avec geogebra et j'ai tracé un cercle et j'ai placé (au pif) Trois points sur ce cercle . De cette façon, en traçant les 3 médiatrices et l'intersection de celles-ci , on va avoir le centre du cercle.

Mais comment le démontrer ? Si,  je place 3 points sur un cercle, pour trouver le centre de ce cercle, il me suffit de tracer 2 médiatrices pour l'avoir. ok. Mais pour le prouver ?

mon idée : comme le centre du cercle est le milieu de l'hypoténuse, est-ce qu'il faut, d'abord, démontrer que ce triangle est inscrit dans le cercle en prouvant  diamètre = l'hypoténuse, ?
ou alors, montrer que les 3 médiatrices ont le même point d'intersection ?
et dans ce cas, comment montrer que les 3 médiatrices ont le même point d'intersection ?

Dernière modification par yannD (10-03-2019 18:39:23)

Michel Coste

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Re : Construction d'un triangle inscrit dans un cercle

Bonsoir,

C'est quoi, l'hypoténuse d'un triangle quelconque ?

Sinon, rappel : la médiatrice des points distincts A et B est l'ensemble des points M tels que MA=MB.

Soit O le point d'intersection de la médiatrice de A et B et de la médiatrice de B et C (supposées non parallèles). Peux-tu comparer OA et OC ?

yoshi

Modo Ferox

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Re : Construction d'un triangle inscrit dans un cercle

Re,

C'était l'objet d'un problème "ouvert" que je jetais en pâture à mes 6e une fois vue la médiatrice.
Je me saisissais de la corbeille à papiers (murmures dans la salle... ?? mais kesklfé ?) et d'une craie.
Je plaquai l'ouverture de la corbeille contre le tableau et je traçai un arc de cercle.
Je reposais la corbeille, tendais règle et compas à la classe et demandais : qui veut finir le cercle ?...

Il fallait prendre 3 points sur l'arc de cercle, disons dans l'ordre A, B et C et tracer les médiatrices de [AB] et [BC].
Elle se coupaient en disons O.
Grâce à une propriété de la médiatrice que tu as déjà citée et utilisée, que peux-tu dire des longueurs OA, OB et OC et donc du point O ?

mon idée : comme le centre du cercle est le milieu de l'hypoténuse, est-ce qu'il faut, d'abord, démontrer que ce triangle est inscrit dans le cercle en prouvant  diamètre = l'hypoténuse, ?

L'énoncé demande un triangle quelconque c'est à dire non équilatéral, non isocèle, non rectangle et donc non rectangle-isocèle...
Quel-conque !

ou alors, montrer que les 3 médiatrices ont le même point d'intersection ?

S'il s'agit des 3 médiatrices dans un triangle, la réponse est simple : inutile de réinventer la roue. Un théorème te le dit...
Et je viens de voir que si tu veux le démontrer, Michel Coste t'a donné une piste mais il a écrit un peu vite...
Alors je te récris ça :
Dans un triangle ABC quelconque.
Tu traces les médiatrices des côtés[AB] (pas des points A et B) et [BC] par exemple.
Soit O leur point d'intersection.
Que peux-tu dire des longueurs OA et OB ? des longueurs OB et OC ?
Conclusion pour OA et OC ?
Par quel point passe donc la médiatrice de |AC] ?

@+

Michel Coste

Membre Expert

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Re : Construction d'un triangle inscrit dans un cercle

@yoshi : j'ai écrit court, mais pas vite !
Qu'est-ce qui n'irait pas dans ce que j'ai écrit ? (À part que je parle de médiatrice de deux points alors que l'on parle plus souvent de médiatrice d'un segment, mais c'est exprès).