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tibo

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Variations de fonctions

Salut,

J'ouvre une nouvelle discussion pour répondre à la question de yannD.

Je sais que la fonction croissante est définie par :
quelque soit (x,y) appartenant à R
si x > y  alors f(x) > f(y)
et pour la fonction décroissante :
quelque soit (x,y) appartenant à R
si x > y alors f(x) < f(y)
on résume cela en disant que la fonction décroissante ne conserve pas l'ordre
mais là pour une fonction croissante ????????

Je vais me permettre de corriger tes définitions.
Déjà, une fonction est croissante (ou décroissante) sur un intervalle.
Cet intervalle peut être $\mathbb{R}=]-\infty;+\infty[$.
Et si la variation de $f$ n'est pas stricte, l'inégalité devient large.

Cela donne les définitions suivantes :
Soit $f$ une fonction définie sur $I$ un intervalle réel.

• On dit que $f$ est croissante sur $I$ si et seulement si
  pour tout $x$ et $y$ appartenant à $I$, (si $x<y$, alors $f(x)\le f(y)$).

• On dit que $f$ est strictement croissante sur $I$ si et seulement si
  pour tout $x$ et $y$ appartenant à $I$, (si $x<y$, alors $f(x)<f(y)$).

• On dit que $f$ est décroissante sur $I$ si et seulement si
  pour tout $x$ et $y$ appartenant à $I$, (si $x<y$, alors $f(x)\ge f(y)$).

• On dit que $f$ est strictement décroissante sur $I$ si et seulement si
  pour tout $x$ et $y$ appartenant à $I$, (si $x<y$, alors $f(x)>f(y)$).

Et j'en rajoute deux pour la route :

• On dit que $f$ est monotone sur $I$ si et seulement si
  ($f$ est croissante sur $I$  OU  $f$ est décroissante sur $I$)

• On dit que $f$ est strictement monotone sur $I$ si et seulement si
  ($f$ est strictement croissante sur $I$  OU  $f$ est strictement décroissante sur $I$)

Autrement dit, une fonction monotone sur $I$ ne change pas de variation sur $I$.

Voilà pour la partie cours un peu fastidieuse (pour rester poli).
On pourra retenir simplement que
- une fonction croissante conserve le sens de l'inégalité ;
- une fonction décroissant change le sens de l'inégalité.

Concernant la "subtile" différence entre croissant et strictement croissant,
dans la pratique, on omettra très souvent de préciser si les variations sont strictes.
En effet, beaucoup d'inégalités importantes en mathématiques sont au sens large, on donc on a rarement besoin de s'embêter avec ce détail.
Mais ce n'est pas toujours le cas, donc il vaut mieux l'avoir en tête pas trop loin.

Une petite application : Tu as dû voir au collège que dans une inégalité,
- si on multiplie de chaque coté par un réel strictement positif, alors le sens de l'inégalité ne change pas ;
- si on multiplie de chaque coté par un réel strictement négatif, alors le sens de l'inégalité change.
Par exemple, $4\le 5\quad\Rightarrow\quad 4\times 3\le 5\times 3$ ;
mais, ${}\qquad\quad4\le 5\quad\Rightarrow\quad 4\times(-3)\ge 5\times(-3)$.
C'est une conséquence directe des définitions au dessus.

En effet, multiplier par 3 revient à passer à la fonction $f$ avec $f:x\mapsto 3x$.
Or $f$ est une fonction linéaire de coefficient directeur positif ($3>0$),
donc $f$ est croissante,
donc l'inégalité ne change pas.
Et cela fonctionne de la même manière en remplaçant 3 par n'importe réel strictement positif.

Par contre, multiplier par -3 revient à passer à la fonction $g$ avec $g:x\mapsto -3x$.
Or $g$ est une fonction linéaire de coefficient directeur négatif ($-3<0$),
donc $g$ est décroissante,
donc l'inégalité change.
Et encore une fois, cela fonctionne de la même manière en remplaçant -3 par n'importe réel strictement négatif.

Un autre exemple avec la fonction carrée :
$4\le 5\quad\Rightarrow\quad 4^2\le 5^2$,
${}\quad$car la fonction carrée est croissante sur $\mathbb{R}_+$ ;
$-5\le -4\quad\Rightarrow\quad (-5)^2\ge (-4)^2$;
${}\quad$car la fonction carrée est décroissante sur $\mathbb{R}_-$

Et un dernier exemple avec la fonction inverse :
$4\le 5\quad\Rightarrow\quad \dfrac{1}{4}\ge \dfrac{1}{5}$,
${}\quad$car la fonction inverse est décroissante sur $\mathbb{R}_+^*$ ;
$-5\le -4\quad\Rightarrow\quad \dfrac{1}{-5}\ge \dfrac{1}{-4}$;
${}\quad$car la fonction inverse est décroissante sur $\mathbb{R}_-^*$

Voilà, ça fait beaucoup d'information d'un coup. Normalement, il me faut bien 3h de cours pour expliquer tout ça en classe. Donc je te laisse digérer tout ça et deux petits exercices.

1) À quel intervalle appartient $x^2$ si
     a) $2\le x\le 7$
     b) $-10\le x\le -5$
     c) $x\le -9$
     d) $-6\le x\le 4$     (attention pour celui-ci)

2) À quel intervalle appartient $\dfrac{1}{x}$ si
     a) $2\le x\le 7$
     b) $-10\le x\le -5$
     c) $x\ge 9$              (attention pour celui-ci)
     d) $-6\le x\le 4$     (attention pour celui-ci)

Tu dois bien entendu justifier tes réponses.

Dernière modification par tibo (06-03-2019 10:29:35)

yannD

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Re : Variations de fonctions

Bonjour ( monsieur …)

Merci beaucoup.

yannD

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Re : Variations de fonctions

.         Pour justifier les réponses, je ne sais pas trop comment vous voulez que je travaille, aussi, pour la fonction carrée, j'ai mieux compris en faisant un dessin. J'ai essayé de faire une photo mais l'image prise est inversée et pas très claire alors j'ai saisi x^2 dans la barre de commande pour avoir la courbe de la fonction carrée.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1) À quel intervalle appartient $x^2$ si

  a )  $2≤ x ≤ 7$

$2 < x < 7 <=> 4 < x^2 < 49$

comme l'image de 7 n'apparaît pas j'ai tout d'abord fait un dessin au papier pour trouver une échelle plus petite pour l'axe des ordonnées afin de pouvoir représenter l'image de 7 sur le dessin.
ainsi , j'ai pris  1 carreau pour 5 unités

Pour avoir l'image de 2 sur l'axe des ordonnées :
   - à partir du point $(2 ; 0)$, j'ai tracé une parallèle à l'axe des ordonnée pour obtenir le point d'intersection entre cette droite et la courbe
et à partir de ce point d'intersection, j'ai tracé une parallèle à l'axe des abscisses qui me donne l'image de 2 sur l'axe des ordonnées

  J'ai fait de même pour lire l'image de 7 sur l'axe des ordonnées, c'est à dire en traçant une 1ere droite parallèle à l'axe des ordonnées à partir
du point d'abscisse (7 ; 0).

Ainsi, sur le dessin, on voit bien que les images sont placées dans le même ordre que les antécédents.

D'où : $2 < x < 7 <=> f(2) < x^2 < f(7)$

b) $-10 ≤ x ≤ - 5$

Pour avoir l'image de 10 sur l'axe des ordonnées :

- j'ai tout d'abord changé l'échelle pour l'axe des ordonnées
et j'ai pris 1 carreau pour 10 unités, (comme c'est la fonction carrée, on obtient tout de suite des valeurs qui sont très grandes…-)

- à partir du point $(-5 ; 0 ) $, en traçant une parallèle à l'axe des ordonnée,   j'obtiens le point image sur la parabole
et en traçant la parallèle à l'axe des abscisse passant par ce point : je peux lire l'image de - 5 sur l'axe des ordonnées.

Et je fais de même pour avoir l'image de -10 sur l'axe des ordonnées :
- à partir du point (-10 ; 0) , j'ai  tracé une parallèle   à l'axe des ordonnée pour avoir le point sur la courbe
puis à partir de ce point, j'ai  tracé une parallèle à l'axe des abscisses et je lis  l'image de -10 sur l'axe des ordonnées

Donc, sur le dessin, on voit bien que les images sont rangées dans l'ordre inverse des antécédents.

D'où : $-10 < x < - 5 <=> f(-10) > x^2 > f(-5) $

Dernière modification par yannD (06-03-2019 15:08:31)

yannD

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Re : Variations de fonctions

Pour la c)
$x ≤ - 9$

C'est un peu plus dur, là, on cherche les images de tous les antécédents qui sont plus petits que -9.
- J'ai tracé une parallèle à l'axe des ordonnées à partir du point (-9 ; 0)  pour avoir le point sur la parabole
-  puis en traçant la parallèle à l'axe des abscisses à partir de ce point sur la courbe, je lis l'image de - 9

On me demande l'image des carrés des nombres inférieurs à - 9 non, des nombres supérieurs ou égal à -9 ( plus petits que - 9 ) donc ce sont tous les carrés placés au dessus de f(-9).

D'ou :

$x ≤ - 9 <=> x^2 ≥ f(-9)$

Dernière modification par yannD (06-03-2019 15:40:50)

tibo

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Re : Variations de fonctions

Salut,

1)a) Très bien
Pour la justification, tu l'as fais graphiquement. C'est un bon réflexe au lycée de tracer la courbe pour avoir une idée, mais on ne peut pas se reposer dessus pour une justification rigoureuse.
On pouvait justifier ainsi
${}\quad 2\le x\le 7$
$\Rightarrow 4\le x^2\le 49$     car la fonction carrée est croissante sur $\mathbb{R}_+$.
$\Leftrightarrow x^2\in[4;49]$

b) Idem
Tu as bien remarqué sur la courbe que l'ordre des images est inversé.
On pouvait encore le justifier avec les variations de la fonction carrée.
${}\quad -10\le x\le -5$
$\Rightarrow 100\ge x^2\ge 25$     car la fonction carrée est décroissante sur $\mathbb{R}_-$.
$\Leftrightarrow x^2\in[25;100]$

yannD

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Re : Variations de fonctions

Bonsoir, oui, quand on me demande de faire encadrement et d'appliquer les théorèmes sur les variations de fonctions, et bien je fais un dessin.
    Si je dois trouver les images , je commence par tracer une 1ère droite parallèle à l'axe des ordonnées à partir de l'abscisse : ce qui me permet d'avoir "une première lecture" sur la courbe ( ou sur la droite )  .
    ET c'est la parallèle à l'axe des abscisses me donne l'idée de l'endroit où je vais "atterrir" sur l'axe des ordonnées ( je ne sais pas si je peux m'exprimer comme ça…).

Dernière modification par yannD (06-03-2019 18:35:56)