Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Claire0112

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vecteurs

Bonsoir,
je suis dans le pétrin. Pourriez-vous m'aider s'il vous plait.

ABC un triangle et I milieu de [AB]
1) construire le point J tel que AJ =-AC
2) exprimer le vecteur IJ en fonction des vecteurs AB et AC
3) on note K le point tel que 2KB +KC=O. Exprimer BK en fonction de BC, puis construire K
4) en déduire que IK=1/6AB=1/3AC
5) que peut-on conclure ?

Merci beaucoup

Deugard

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Re : vecteurs

Bonsoir,
sur le dessin , il apparaît clairement une propriété concernant les trois points  I , J , et K ,
(conclusion du 5°) qui se déduit du 2° et du 4° en remarquant la relation existant entre
les vecteurs IJ et IK .

yoshi

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Re : vecteurs

Bonjour,

QLe travail pur et dur sur des vecteurs ne vous apparaît jamais très simple : il faut avoir une certaine habitude.
je vais te mettre "le pied à l'étrier".
Question 1
As-tu placé ton point J ? Si non, pourquoi ? Qu'est-ce qui t'arrête ?

Pour ta question 2. :
Comment traduis-tu avec des vecteurs la phrase I est le milieu de [AB] ?
As-tu compris comment on utilise la "relation de Chasles" ?
Si oui, alors décompose donc $\overrightarrow{IJ}$ en utilisant le point A :
$\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{...}+\overrightarrow{...}$

Question 3.
As-tu réussi à placer le point K ?
Si oui, tu as trouvé $\overrightarrow{BK}= \;...$ ?
Si non, dans l'égalité : $\overrightarrow{KB}+2\overrightarrow{KC}=\vec 0$
décompose $\overrightarrow{KC}$ en une somme de 2 vecteurs en passant par B (sans oublier les parenthèses) puis décompose le vecteur $\overrightarrow{BC}$ apparu dans la parenthèse en une somme de 2 vecteurs en passant par A, cette fois.
Simplifie la parenthèse, développe-la et isole $\overrightarrow{KB}$ d'un côté.
Déduis-en  $\overrightarrow{BK}$
Commence donc par là et en répondant à mes questions...

Pour le reste, ce sera pour après...

@+

Claire0112

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Re : vecteurs

Bonjour,
Merci d'avoir pris la peine pour mon dm
Par contre si je n'arrive pas à le faire c'est qu'on vient de faire la leçon mais sans exercices d'applications. Malheureusement mon professeur travail ainsi.
Mais je vais essayer de répondre à vos questions.
Merci

Claire0112

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Re : vecteurs

Voilà ce que j'ai fais
question 1)
le pointJ est identique au point A

question 2)
(vecteur)  IJ =AI + IB
               IJ =AB

question 3)
              2KB+KC =0
              2KB+(KB+BC)=0
              2KB+KB+BC  =0
              3KB+BC=0
              3KB=-BC
              BK=1/3BC

question 4)
              IK=1/6AB+1/3AC
              IK=IB+BK
              IK=1/2AB+1/3BC
              IK=1/2AB+1/3(BA+AC)
              IK=1/2AB+1/3BA+1/3AC

voilà, je ne suis pas  sûr de la question 4 et je n'arrive pas à faire la suite de la question 4
MERCI

yoshi

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Re : vecteurs

Re,

Non, le point J et le point A ne sont pas les mêmes.
Mais le reste, c'est plutôt bien...
Le vecteur  $\overrightarrow{AC}$ (par exemple possède)
- une longueur : AC, la longueur du segment [AC]
- un sens : la pointe de la flèche est sur le point C, le sens est de A vers C
- une direction c'est l'inclinaison de la droite (AC)

Pour avoir deux vecteurs égaux, il faut que ces deux vecteurs aient :
- la même longueur
- le même sens
- la même direction (c'est à dire être portés par la même droite ou des droites parallèles).

Ecrire que $\overrightarrow{AJ}=-\overrightarrow{AC}$ c'est dire que
les vecteurs $\overrightarrow{AJ}$ et {\overrightarrow{AC}$ ont
- la même longueur
- la même direction : puisqu'ils ont le point A en commun, ils ne sont pas parallèles mais sur la même droite
- de sens opposés : c'est le - qui le dit.

Tu traces donc la droite (AC), et sur cette droite, tu pars de A, " tu tournes le dos" à C, et tu places  J tel que AJ = AC (même longueur).

Autrement dit :
pointe de compas en A,
ouverture AC
tu laisses la pointe sur A et tu fais faire un demi-tour à la mine de crayon du compas  et tu recoupes la droite (AC) : c'est le point J.
A est placé entre C et J et AJ = AC.
Le sens de A à C c'est le sens opposé du parcours de A à J.

C'est bon ?

Q2 Décomposer le vecteur $\overrightarrow{IJ}$ en passant par ?, c'est écrire :
$\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{I?}+\overrightarrow{?J}$
Si on veut passer par A, on remplace le ? par A :
$\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AJ}$ :
* $\overrightarrow{AJ}$ c'est donné dans l'énoncé,
* $\overrightarrow{IA}$, il est dit : I milieu de [AB].
   Avec des longueurs exprime IA en fonction de AB (là, il n'est pas question de sens)
   Maintenant écris $\overrightarrow{IA}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$
   Attention : ont-ils le même sens ?
   Si tu réponds non, il faut faire comme pour $\overrightarrow{AJ}$ et $\overrightarrow{AC}$
   Donc, qu'est-ce que tu écris ?

Q3
$2\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KC} =\vec 0$
              $2\overrightarrow{KB}+(\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{BC})=\vec 0$
              $2\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{BC}]  =\vec 0$
              $3\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{BC}=\vec 0$
              $3\overrightarrow{KB}=-\overrightarrow{BC}$
              $\overrightarrow{BK}=1/3\overrightarrow{BC}$
C'est juste !

Q4
On te demande de montrer que $\overrightarrow{IK}=\dfrac 1 6\overrightarrow{AB}+\dfrac1 3\overrightarrow{AC}$
Tu es arrivée à :
$\overrightarrow{IK}=\dfrac 1 2\overrightarrow{AB}+\dfrac 1 3 \overrightarrow{BA}+\dfrac 1 3\overrightarrow{AC}$
Il te reste juste à conclure.
Tu ne vois pas comment, parce que tu oublies que $\overrightarrow{AB}$  et  $\overrightarrow{BA}$ sont des vecteur opposés !
Remplace donc $\dfrac 1 3 \overrightarrow{BA}$ par $-\dfrac 1 3 \overrightarrow{AB}$ et réduis...

Q5
Tu sais maintenant que
$\overrightarrow{IJ}=\,...\;....$
et
$\overrightarrow{IK}=\dfrac 1 6\overrightarrow{AB}+\dfrac 1 3\overrightarrow{AC}$
Compare les coefficients devant  $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ dans les vecteurs $\overrightarrow{IJ}$ et $\overrightarrow{IK}$
Vois-tu comment passer simplement des coefficients dans $\overrightarrow{IK}$ aux coefficients dans $\overrightarrow{IJ}$ ?

@+

Claire0112

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Re : vecteurs

Bonsoir,
Encore merci.
Mais je n'arrive toujours pas à résoudre la question 2, j'ai réussi à répondre à certaines pistes que vous m'avez donné yoshi:
IA=1/2AB
Et non les vecteurs IA et AB n'ont pas le même sens
Mais je n'arrive pas à trouvé la réponse a cette question 2 qui me pénalise pour le question 5.

yoshi

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Re : vecteurs

Re,

C'est pourtant simple...
Tu peux tout à fait écrire IA=1/2AB pour les longueurs...
Mais pas $\overrightarrow{IA}=1/2\overrightarrow{AB}$ qui est faux : les deux vecteurs n'ayant pas le même sens, tu l'as dis toi-même...
On ne met = que si les deux vecteurs sont de même sens...

Alors, comment faire ?
Mais comme ça : $\overrightarrow{IA}=-\dfrac 1 2\overrightarrow{AB}$
Maintenant, relis ce que je t'ai écrit à propos du - devant $\overrightarrow{AC}$ dans ce que donne l'énoncé :
$\overrightarrow{AJ}=-\overrightarrow{AC}$
Est-ce plus clair ?

N-B : on aurait pu aussi penser à écrire $\overrightarrow{IA}=\dfrac  1 2\overrightarrow{BA}$, mais l'énoncé demande expressément:

en fonction des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$

@+

Claire0112

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Re : vecteurs

Bonjour,
Merci pour votre réponse qui m'a je crois aidée à trouver la solution pour la question 2 je pense que la réponse est la suivante:
IJ=-AB-AC donc IJ=BA+CA

yoshi

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Re : vecteurs

Salut,

Rooohh...
Et non, tu ne m'as lu (ou relu) correctement :
[tex]\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AJ}[/tex]
Je t'ai écrit :
1. [tex]\overrightarrow{AJ}[/tex] : c'est dans l'énoncé. [tex]\overrightarrow{AJ}=-\overrightarrow{AC}[/tex]
2. En ce qui concerne les longueurs, IA =1/2AB (le sens n'intervient pas), mais les vecteurs $\overrightarrow{IA}$  et $\overrightarrow{AB}$, eux,  sont de sens contraire... Donc la réponse est : [tex]\overrightarrow{IA}=-\dfrac 1 2\overrightarrow{AB}[/tex]
Il n'y avait plus qu'à assembler les morceaux :
[tex]\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AJ}=-\dfrac 1 2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}[/tex]

Qu'est-ce qui t'échappe là-dedans ?

@+

Claire0112

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Re : vecteurs

Bonjour,
Je vous remercie encore, je viens de comprendre, il est vrai que ce n’était pas compliqué.
Vue que c'est la première fois que je vois les vecteurs et sans avoir fais les applications auparavant .

yoshi

Modo Ferox

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Re : vecteurs

Salut,

On a tous eu une première fois...
L'important est de finir par comprendre.
As-tu trouvé comment passer de :
$\overrightarrow{IK}=\dfrac 1 6\overrightarrow{AB}+\dfrac1 3\overrightarrow{AC}$
à
$\overrightarrow{IJ}=-\dfrac 1 2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$ ?
Je les ai mis volontairement l'un en dessous de l'autre... pour une meilleure vision.

@+