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Zebulor

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Inversibilité d'un endomorphisme

Bonsoir,

j'ai un doute sur la correction d'un exercice dont voici l'énoncé :

soit [tex]u[/tex]  et  [tex]v[/tex] des endomorphismes d'un K espace vectoriel de dimension finie tels que [tex]u^2-u \circ v +2u-Id=0[/tex]. Montrer que [tex]u[/tex] et [tex]v[/tex] commutent.

La correction propose ceci : "[tex]u \circ (u-v+2Id)=Id[/tex] (égalité 1) donc [tex]u[/tex] est inversible, d'inverse [tex]u-v+2Id[/tex], donc [tex](u-v+2Id) \circ u = Id[/tex] (égalité 2). En comparant les développements il vient [tex]u \circ v = v \circ u[/tex] "

N'a ton pas plutôt :  [tex]u \circ (u-v+2Id)=Id[/tex] ET  [tex](u-v+2Id) \circ u = Id[/tex] impliquent [tex]u[/tex] inversible  d'inverse [tex](u-v+2Id) \circ u [/tex] ?

Dernière modification par Zebulor (15-01-2019 21:47:07)

D_john

Invité

Re : Inversibilité d'un endomorphisme

Bonsoir,

L'égalité 1 suffit pour affirmer que u est inversible et obtenir l'expression de l'inverse u^-1. De cette expression on tire v que l'on compose avec u pour obtenir finalement v°u = u°v. Tout me semble clair.

freddy

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Re : Inversibilité d'un endomorphisme

Salut,

[tex]u \circ (u-v+2Id)=Id[/tex] (égalité 1) donc [tex]u[/tex] est inversible.

De là, tu tires : $(u \circ (u-v+2Id))\circ u=u$ puis tu as $ (u^{-1}\circ u )\circ ((u-v+2Id)\circ u)=u^{-1}\circ u $

et donc  $ (u-v+2Id)\circ u=Id$

Donc l'égalité 1 implique la 2.

En réalité, on sait que l'unicité du symétrique permet d'écrire $u^{-1}\circ u=u\circ u^{-1}=Id$

Dernière modification par freddy (15-01-2019 23:46:20)

Zebulor

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Re : Inversibilité d'un endomorphisme

Bonjour freddy et D_John

j'avais un doute car je faisais un parallèle avec les fonctions de variable réelle..  dans ce cas pour une fonction [tex]f[/tex], il me semble que la simple égalité [tex]f \circ g=Id[/tex] ne suffit pas pour conclure que [tex]g[/tex] est la fonction réciproque de [tex]f[/tex] ..

Merci pour vos réponses !

freddy

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Re : Inversibilité d'un endomorphisme

Salut,

oui, faut d'abord prouver la bijectivité, mais sur les endomorphismes, la voie est directe !
Il y a une raison profonde à cela, faut la connaître.

Dernière modification par freddy (16-01-2019 12:25:59)

Zebulor

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Re : Inversibilité d'un endomorphisme

Salut,

"raison profonde" dis tu freddy ...

D_john

Invité

Re : Inversibilité d'un endomorphisme

Salut,

... la raison profonde doit être le théorème du rang (car ton k-ev est de dimension finie). Intuitivement, on comprend bien que dès qu'un endomorphisme est inversible à droite (ou à gauche), la dimension de son noyau est nulle. C'est donc une permutation de l'ev.

freddy

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Re : Inversibilité d'un endomorphisme

Re,

non, la raison profonde tient à la définition de l'élément symétrique d'un groupe.

Zebulor

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Re : Inversibilité d'un endomorphisme

Re,

je vais méditer vos réponses ..

Dernière modification par Zebulor (16-01-2019 21:51:30)

Zebulor

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Re : Inversibilité d'un endomorphisme

Salut!

Freddy tu veux me dire que l'image réciproque de [tex]x[/tex] par l'endomorphisme [tex]f[/tex] est l'image de l'inverse de [tex]x[/tex]..

freddy

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Re : Inversibilité d'un endomorphisme

Salut,

mais non ! C'est l'endomorphisme qui est l'objet à regarder, pas l'image de $x$ par lui.
Faut reprendre les éléments d'algèbre générale sur les groupes, anneaux, corps ... que tu trouveras dans la Bibmaths.

Zebulor

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Re : Inversibilité d'un endomorphisme

Salut!

ok merci. je vais regarder

D_john

Invité

Re : Inversibilité d'un endomorphisme

Salut à tous,

Tandis que Zebulor médite, je dépoussière mes connaissances sur le thème :

Re,
non, la raison profonde tient à la définition de l'élément symétrique d'un groupe.

Comme on n’est pas dans un groupe mais dans un monoïde d’endomorphismes d’espaces vectoriels de dimension finie, j’ai un doute sur cette raison profonde... d’autant plus qu’en fouillant un peu, je suis tombé sur ce wiki :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Matrice_inversible
où l’on peut lire (ligne 6 de l’intro) : “D’après le théorème du rang, chacune des deux conditions A.B = In ou B.A = In suffit.” [... pour affirmer que A est inversible].
Ma contribution #6 était donc judicieuse.
Mais comme je sais que freddy ne raconte pas de blagues (du moins que je puisses déceler avec mon niveau) je redouble d’acharnement, en remontant aux sources. Merci à tous les deux de m'avoir branché sur cette bonne révision.

Donc pour le moment, je n’ai pas encore jeté l’éponge... et je continue à explorer les propriétés des endomorphismes pour trouver cette voie directe.

freddy

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Re : Inversibilité d'un endomorphisme

Salut à tous,

Tandis que Zebulor médite, je dépoussière mes connaissances sur le thème :

Re,
non, la raison profonde tient à la définition de l'élément symétrique d'un groupe.

Comme on n’est pas dans un groupe mais dans un monoïde d’endomorphismes d’espaces vectoriels de dimension finie, j’ai un doute sur cette raison profonde... d’autant plus qu’en fouillant un peu, je suis tombé sur ce wiki :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Matrice_inversible
où l’on peut lire (ligne 6 de l’intro) : “D’après le théorème du rang, chacune des deux conditions A.B = In ou B.A = In suffit.” [... pour affirmer que A est inversible].
Ma contribution #6 était donc judicieuse.
Mais comme je sais que freddy ne raconte pas de blagues (du moins que je puisses déceler avec mon niveau) je redouble d’acharnement, en remontant aux sources. Merci à tous les deux de m'avoir branché sur cette bonne révision.

Donc pour le moment, je n’ai pas encore jeté l’éponge... et je continue à explorer les propriétés des endomorphismes pour trouver cette voie directe.

Salut,

je pense que tu as raison, je suis allé un peu trop vite !

Zebulor

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Re : Inversibilité d'un endomorphisme

Salut à vous,

a force de trop méditer on va léviter. f est inversible en dimension finie; mais en dimension infinie … faut voir..

Dernière modification par Zebulor (20-01-2019 08:20:01)