surjectivite

Zebulor · 26-12-2018 18:00:01

Bonjour,

dans un cours sur les applications linéaires je lis ceci :

Considérons, pour n>1, l’application linéaire [tex] Rn[X] -->R_n+1[X] [/tex]
[tex] P(X) --> XP[X] [/tex]

Étudions d’abord le noyau de f : soit [tex] P(X)= {}a_n\!X^n+....+{}a_1\!X+{}a_0 [/tex] appartient à [tex] Rn[X] [/tex] tel que [tex] XP(X)=0 [/tex]

Alors [tex] {}a_n\!X^{n+1}+\dotsb+ {}a_0\!X=0 [/tex]

Ainsi tous les coefficients [tex] {}a_i [/tex] sont nuls et le noyau de f est nul. L’espace Im(f) est l’ensemble des polynômes de [tex] Rn+1[X] [/tex] sans terme constant : Im(f) est le sous espace vectoriel engendré par l'ensemble des [tex] X^{i} [/tex] (i allant de 1 à n+1)

Conclusion : f est injective, mais n’est pas surjective. Vive le latex.

Ma question est : pourquoi f n'est elle pas surjective ?

Merci

Michel Coste · 26-12-2018 19:13:36

Bonsoir,

Est-ce que la constante $1$ est dans l'image de $f$ ?
Pour le LaTeX : n'oublie l"underscore" _ pour les indices !

Zebulor · 26-12-2018 21:26:51

Bonsoir Michel Coste,

je ne sais pas si sa répond à ta question : Il s'agit d'une application linéaire de [tex] R_n[X] [/tex]

vers R indice (n+1) [X] (je n'arrive pas encore à mettre n+1 en indice)

Je suis encore débutant en latex.. Sinon j'ai restitué cette partie de cours mot à mot.

Michel Coste · 26-12-2018 23:00:13

Non, ça ne répond pas à ma question.

J'ai l'impression que le sens de ce que tu écris t'échappe complètement. me trompé-je ?

Zebulor · 27-12-2018 06:37:47

bonjour,

en effet cette partie de cours m'échappe pour le moment.. je vais relire tout ça après un petit déjeuneer

Zebulor · 27-12-2018 06:47:14

Le noyau de f se réduit au polynôme nul. C 'est OK.

Zebulor · 27-12-2018 06:51:24

..ce qui équivaut à l'injectivité de f en tant qu'application linéaire

yoshi · 27-12-2018 07:09:08

Salut,,

vers R indice (n+1) [X] (je n'arrive pas encore à mettre n+1 en indice)

Tu arrives à le faire pour n pas pour n+1 ?
Ce problème se posera aussi pour les exposants, les limites, les vecteurs, les angles, les intégrales, les sommations, les fractions ...
Ainsi 2^10 --> $2^10$
Mais 2^{10} --> $2^{10}$
Alors
R_{n+1}[X] --> $R_{n+1}[X]$

@+

Zebulor · 27-12-2018 07:19:54

Salut !
donc c'était des accolades qu'il me fallait. Merci Yoshi

Zebulor · 27-12-2018 07:27:44

P est un polynôme et non une fraction rationnelle du type k/X. Im f ne peut donc pas contenir de constante, d'où la non surjectivité de f. Je me trompe?

Michel Coste · 27-12-2018 08:56:06

Bonjour,

Zebulor a écrit :

L’espace $\mathrm{Im}(f)$ est l’ensemble des polynômes de [tex] R_{n+1}[X] [/tex] sans terme constant[/tex]

C'est ce que tu as écrit. Donc le polynôme constant $1$ n'appartient pas à l'image.
Ou alors tu ne comprenais pas la phrase citée ci-dessus ?

Zebulor · 27-12-2018 10:11:39

En effet cette phrase "L'espace Im(f) .......... sans terme constant" ne me semblait pas claire..

Voici un autre exercice plus ou moins ressemblant :

Soit [tex] I [/tex] un intervalle ouvert non vide de [tex] R [/tex], on déﬁnit l’application φ : [tex] C^∞(I,R) → C^∞(I,R) [/tex]
[tex] f → φ(f) = f''−2f' + f [/tex]

2.1. Prouver que φ est un endomorphisme de l’espace [tex] C^∞(I,R) [/tex] et déterminer son noyau.

2.2. L’application φ est-elle surjective ? Quelle propriété caractéristique de la dimension inﬁnie se trouve ainsi mise en évidence ?

Question 2.1 pour moi le noyau se réduit aux fonctions de type [tex] a*e^x [/tex]. La linéarité de φ se vérifie.

Question 2.2 . je sèche.

Zebulor · 27-12-2018 12:25:53

ah mais… si f appartient à [tex] C^∞(I,R) [/tex] , n'importe quelle dérivée niéme aussi , d où Im([tex] C^∞(I,R))=C^∞(I,R) [/tex], d où la surjectivité.

Mais je sèche sur la question de la dimension..

D_john · 27-12-2018 12:30:21

Salut,
... sans certitude, intuitivement je dirais que φ est la somme d'une bijection (application identité) et de deux autres applications.
D'où la surjectivité.
A confirmer...

Michel Coste · 27-12-2018 15:43:07

Bonjour,

D_john, tu fais bien de ne pas être sûr de ce que tu écris, parce que ça ne va pas du tout.

Zebulor, tu as peut-être vu des choses concernant les équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants ?

Déjà, trouver le noyau de l'application revient à résoudre l'équation différentielle homogène ("sans second membre"). Tu devrais savoir que les solutions ne forment pas un espace vectoriel de dimension 1, mais ... je te laisse poursuivre.

Ensuite, se poser le problème de la surjectivité, c'est se demander si n'importe quelle fonction $f \in C^{\infty}(I,\mathbb R)$ a un antécédent par $\varphi$, ce qui revient à se demander si l'équation différentielle avec second membre $f$ a une solution dans $C^{\infty}(I,\mathbb R)$.

Dernière modification par Michel Coste (27-12-2018 15:43:46)

Zebulor · 27-12-2018 16:16:19

Bonjour,

Michel Coste, tu sembles vouloir m'indiquer que le noyau de l'application contient une combinaison linéaire de fonctions, dont celle que j'ai indiqué.. Ce sont de vieux souvenirs, je vais me replonger dans mes livres d'étudiant..

Pour ce qui relève de la surjectivité, je m'étais également posé la question de cette manière, sauf que, trompé par la question précédente, je considérais plutôt la résolution de l'équation différentielle sans second membre…

Une application d'un ensemble E vers un ensemble F est surjective si et seulement si Im(E)=F. En l'occurrence l'image de l'ensemble de départ est la même que celle de l'ensemble d'arrivée. Où se trouve donc l'erreur dans mon post de 11h25 ?

Merci pour ces contributions (y compris celle de D_John)

Michel Coste · 27-12-2018 16:22:02

le message #13 ?
Tu affirmes quelque chose sans avancer aucun argument raisonnable. En gros tu dis, parlant d'une application $u:A\to B$ : "pour tout $a \in A$, $u(a) \in B$ donc l'image de $u$ est $B$". Tu vois bien (j'espère) que ça ne fait pas sens.

Zebulor · 27-12-2018 16:43:59

le message #13 oui. Alors je vais préciser ma pensée, quitte à réécrire la même chose sous une forme différente. Je me vois comme élève et revendique par conséquent le droit de me tromper! (sourire)

Si une application f appartient à cet ensemble C infini (I,R), f' et f'' aussi.

L'image de f par cette application phi, comme somme d'applications appartenant à C infini (I,R) est aussi une application de C infini (I,R). Par conséquent l'image de C infini (I,R) par l'application phi est aussi C infini (I,R) d'où la surjectivité de phi.

Michel Coste · 27-12-2018 17:32:36

Tu répètes la même erreur, sans comprendre ce que j'essaie de te dire. S'il te plait, fais l'effort de lire et de comprendre.

Tu dis que tout élément de $A$ a une image dans $B$ et tu penses que ça montre que tout élément de $B$ a un antécédent dans $A$.

freddy · 27-12-2018 17:39:18

Zebulor a écrit :

le message #13 oui. Alors je vais préciser ma pensée, quitte à réécrire la même chose sous une forme différente. Je me vois comme élève et revendique par conséquent le droit de me tromper! (sourire)
Si une application f appartient à cet ensemble C infini (I,R), f' et f'' aussi.
L'image de f par cette application phi, comme somme d'applications appartenant à C infini (I,R) est aussi une application de C infini (I,R). Par conséquent l'image de C infini (I,R) par l'application phi est aussi C infini (I,R) d'où la surjectivité de phi.

Salut,

il faut que tu te poses la question dans l'autre sens : soit un élément de $C^{\infty}(I,R)$. Es - tu certain que son antécédent dans $C^{\infty}(I,R)$ existe ?
C'est ce que te demande MC en parlant de résoudre l'équation différentielle avec second membre.
Répondre à cette question te permettra de répondre à la question de la surjectivité de $\Phi $.

Zebulor · 27-12-2018 18:08:02

Michel Coste, désolé mais ton message de 16h22 ne m'était lisible qu'en partie. Le temps que le code Latex soit déchiffré par mon navigateur et il m'est désormais complètement lisible.

Freddy, je comprends maintenant où se trouve la subtilité.

Merci à vous

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