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aranadir

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L’existence d’une limite à droite et d’une limite à gauche en a

est ce que quelqu'un peut m'expliquer ce paragraphe:
L’existence d’une limite à droite et d’une limite à gauche en a, mêmes égales, n’entraîne pas l’existence d’une limite en a.

yoshi

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Re : L’existence d’une limite à droite et d’une limite à gauche en a

Bonjour,

Est-ce que tu pourrais m'expliquer pourquoi tu ne respectes pas les règles de la maison et de la courtoisie en vigueur dans les rapports sociaux  : bonjour, bonsoir, salut..., merci, s'il vous plaît ?

C'était écrit là où tu as commencé ton texte....

Pas d'excuses..

En cette veille de Noël, je vais me montrer indulgent en ne fermant pas ta discussion...

Penses-y à l'avenir !

Merci d'avance

     Yoshi
- Modérateur -

Black Jack

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Re : L’existence d’une limite à droite et d’une limite à gauche en a

Bonjour,

Sans la moindre garantie.

Si j'en crois Wiki :

- pour une fonction non définie en p : une fonction a une limite en p si et seulement si elle a une limite (éventuellement infinie) à gauche Lg et une limite à droite Ld et qu'elles sont égales : Lg = Ld

- pour une fonction définie en p : une fonction a une limite en p si et seulement si elle a une limite à gauche Lg et une limite à droite Ld et qu'elles sont égales toutes deux à f(p) : Lg = Ld = f(p)

Et donc, soit la fonction f telle que :

f(x) = sin(x)/x pour x < 0
f(x) = 0 pour x = 0
f(x) = sin(x)/x pour x > 0

Cette fonction est définie en x = 0 , mais lim(x-->0-) f(x) = 1, lim(x-->0+) f(x) = 1 alors que f(0) = 0 ...

Mais, pas sûr du tout qu'il y ait unanimité des matheux (dont je ne suis pas) sur cela.

Dernière modification par Black Jack (24-12-2018 17:20:30)

yoshi

Modo Ferox

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Re : L’existence d’une limite à droite et d’une limite à gauche en a

Re,

J'y ai réfléchi aussi, mais comme ça fait une paie que je n'ai pas vraiment pratiqué ce genre de subtilité j'ai cherché et je suis tombé là-dessus :
https://www.math.u-psud.fr/~perrin/CAPE … limite.pdf

Ou alors, j'ai mal lu (j'ai un peu de mal ce soir...)
Je regrette de dire que j'ai découvert avec surprise qu'il y avait deux théorèmes dont le plus ancien n'était plus considéré  comme assez rigoureux dans "l'absolu" mais suffisamment pour être utilisé selon le contexte...Il semblerait si j'ai bien compris qu'on puisse travailler sur un ensemble E qu'on ait a n'appartenant pas à E et une limite à gauche en a et à droite en a, égales sans qu'il y ait de limite en a proprement dit...
Fred, Michel Coste, Roro, freddy et les autres, où sont vos lumières ? Restées sur le sapin ? ^_^

@+

Roro

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Re : L’existence d’une limite à droite et d’une limite à gauche en a

Bonsoir,

D'après les définitions de limite, limite à droite et limite à gauche, si la limite à droite est égale à la limite à gauche alors la limite existe et c'est cette valeur commune.

Je ne suis donc pas d'accord avec la phrase de aranadir.

Concernant l'exemple de Black Jack, il n'y a pas de contradiction : on a bien $\lim_{x\to 0}f(x) = 1$ (en revanche la fonction $f$ n'est pas continue en $0$ car $f(0)\neq 1$).

Roro.

P.S. Je viens de lire ce que Yoshi a écrit en même temps... le message que j'écris ci-dessus concerne les limites dans $\mathbb R$... Peut être qu'il y a des subtilités si on regarde des limites de la forme : $\lim_{x\to 0,\ x\in E}$... même si je n'y crois pas trop !

Dernière modification par Roro (24-12-2018 18:29:44)

Black Jack

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Re : L’existence d’une limite à droite et d’une limite à gauche en a

Bonjour,

Rien dans le texte d'aranador n'impose que la fonction soit continue en a.

La fonction que j'ai donné est bien définie en x = 0 ... et elle n'est pas continue.

Avec cette fonction, on a bien que les limites à gauche et à droite de 0 sont égales à 1, mais pas égale à f(0)

Cela dit, tout dépend des définitions acceptées pour la limite d'une fonction en 1 point et même si cela en dérange beaucoup, il n'y a pas unanimité de tous les matheux sur une et une seule définition.

C'est le cas pour une multitude de définitions sur presque n'importe quelle notion de mathématiques (même si cela doit encore fâcher certains).

Je l'ai fait à de très nombreuses reprises remarquer sur maints sites de math et recevant à chaque fois une volée de bois vert par ceux qui pensent (à tort bien entendu) qu'il n'y a qu'une seule définition (ou des définitions strictement équivalentes) pour chaque notion et que bien sûr c'est la définition qu'on leur a enseigné la bonne.

On a le cas chez Roro qui pense que :
"D'après les définitions de limite, limite à droite et limite à gauche, si la limite à droite est égale à la limite à gauche alors la limite existe et c'est cette valeur commune."

Je suis désolé de lui dire, que cela c'est la définition qu'il lui a été enseignée ... et pas forcément celle enseignée à d'autres.

Personnellement, ce n'est pas le fait même qu'il existe des définitions différentes pour une même notion qui me chagrine, mais bien tout ce que cela entraîne en pratique (en général, pas spécialement sur les limites) comme dégâts lorsqu'on travaille sur des dossiers techniques en multinationales ...

yoshi

Modo Ferox

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Re : L’existence d’une limite à droite et d’une limite à gauche en a

Salut,

Le lien posté hier soir va, hélas, effectivement dans le sens de ce que dit Black Jack...
C'est un donc un défaut criant de notre enseignement, et donc de ceux qui président à sa destinée, sur ces points précis et c'est bien fâcheux.

@+

Roro

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Re : L’existence d’une limite à droite et d’une limite à gauche en a

Bonjour,

J'ai dû mal à comprendre ce que vous dites car dans le post initial il n'était pas question de continuité alors que tous vos exemples ou contre exemples sont basés sur des problèmes de continuité (y compris le lien de Yoshi) !

De toutes façons, tant qu'on ne sait pas sur quel ensemble est pris la limite (dans quel ensemble vis la variable $x$ lorsqu'on parle de $\lim_{x\to 0}$ on ne peut rien dire !

Roro.

Dernière modification par Roro (25-12-2018 14:54:02)

Black Jack

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Re : L’existence d’une limite à droite et d’une limite à gauche en a

Bonjour Roro,

C'est toi qui a parlé de continuité ou de non continuité.
On n'en parle pas dans le post initial et donc on y parle de toutes de sortes de fonctions (continues ou non)

A partir du moment où on parle de la valeur d'une fonction pour une valeur de la variable (par le f(p)) et qu'on parle également des limites à gauche et à droite pour la même valeur de la variable, l'ensemble de définition contient la valeur de la variable et s'étend à gauche et à droite de celle-ci.

Dans mon exemple, soit :

Et donc, soit la fonction f telle que :

f(x) = sin(x)/x pour x < 0
f(x) = 0 pour x = 0
f(x) = sin(x)/x pour x > 0

La fonction f est définie sur R.

et lim(x--> 0-) f(x) = lim(x--> 0-) f(x) = 1 alors que f(0) = 1

On est donc, me semble-t-il dans un cas dont il était question dans le post initial.

... Qui ne colle évident pas avec :

"D'après les définitions de limite, limite à droite et limite à gauche, si la limite à droite est égale à la limite à gauche alors la limite existe et c'est cette valeur commune."

Cela signifie tout simplement, comme déjà dit, que ta "définition" n'est pas celle utilisée par celui qui avait écrit :
"L’existence d’une limite à droite et d’une limite à gauche en a, mêmes égales, n’entraîne pas l’existence d’une limite en a."

Ce qui malheureusement conforte le constat qu'il n'y a pas unanimité de tous les matheux sur une et une seule définition (ou sur des définitions strictement équivalentes) pour une même "notion" mathématique.

Roro

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Re : L’existence d’une limite à droite et d’une limite à gauche en a

OK. J'ai effectivement parlé de continuité le premier... en réponse à un mail qui évoquait une fonction et sous-entendait clairement un lien avec la continuité sans le dire...
 
Je ne veux pas polémiquer sur qui à dit quoi en premier... c'est simplement une question de convention pour cette notion de limite.

Bonnes fêtes !
Roro.

Michel Coste

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Re : L’existence d’une limite à droite et d’une limite à gauche en a

Soit $f$ une fonction définie sur un voisinage de $a\in \mathbb R$ à valeurs dans $\mathbb R$. Si $\lim_{x\to a, x>a} f(x)=\ell$ et $\lim_{x\to a, x<a} f(x)=\ell$, alors $\lim_{x\to a, x\neq a}=\ell$, mais $\lim_{x\to a}=\ell$ si et seulement si $f(a)=\ell$.
Rien de problématique là-dedans, pas de quoi en faire toute une histoire.

Black Jack

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Re : L’existence d’une limite à droite et d’une limite à gauche en a

Rien de problématique ...

Il n'empêche que si tous pouvaient s'entendre sur une et une seule définition (ou définitions strictement équivalentes) cela éviterait bien des soucis ... Pas pour les matheux qui se moquent des conséquences qui peuvent survenir dans l'usage pratique et pas en chambre.

Lorsqu'un cahier des charges n'est pas compris de la même manière par l'auteur et l'exécutant parce qu'on leur a enseigné des définitions différentes pour "la même chose" et bien cela peut entraîner bien des ennuis.

Je ne parle pas ici de la question sur les limites, mais aussi pour tout le reste.

Il n'y a pas d'unanimité même pour des "choses" basiques de chez basiques comme par exemple se comprendre sans ambiguïté si on écrit : pour x supérieur à y ... (ça des vraiment plus que basique).
Ici dans la plupart des pays d'Europe, cela sera traduit par x >= y, alors que pour tous les anglo-saxons, cela sera traduit par x > y.

Idem pour des milliers de choses qu'il est impossible de noter ici, ce serait d'ailleurs peine perdue.

On peut, bien entendu, fournir avec le cahier des charges, un répertoire de toutes les définitions utilisées, mais c'est très coûteux et plus qu'illusoire si on pense avoir résolu les problèmes ... on ne va consulter ce "répertoire" que si on ne comprend pas, mais certainement pas si on pense avoir compris, ce qui est le presque toujours le cas... même si c'est raté.

Je ne vais pas m'étendre plus avant, ce genre de discussion tourne presque toujours au vinaigre et de toutes manières cela n'y changera malheureusement rien du tout.

Michel Coste

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Re : L’existence d’une limite à droite et d’une limite à gauche en a

Bonsoir,

Il semble me souvenir que les problèmes qui sont réellement arrivés (chez Airbus par exemple, je crois me souvenir) venaient plutôt de standards différents entre ingénieurs plutôt qu'entre matheux, non ?

Black Jack

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Re : L’existence d’une limite à droite et d’une limite à gauche en a

Bonjour,

Il y a des problèmes de toutes sortes.
Les "physiciens" ont fait un effort considérable pour minimiser les problèmes dus aux différents systèmes d'unités.
En instaurant par exemple l'obligation de l'utilisation du SI (système international des unités) et à défaut l'obligation d'ajouter entre parenthèses, la valeur de la grandeur physique en unités SI si d'autres sont utilisées.
Les symboles des unités ont été standardisés et sont obligatoires.

Et malgré cela, cela foire encore de temps en temps.

Par contre les matheux sont réfractaires à toute normalisation, par exemple (arbre qui cache la forêt), ils utilisent sans sourciller une multitude d'écritures différentes pour une même "chose".

Au hasard ; Pour l'arc tangente, on voit ;

arctg()
arctan()
atg()
atan()
[tex]tan^{-1}()[/tex]
[tex]tg^{-1}()[/tex]
...

et puis tous les mêmes, avec la première lettre seule en majuscule et puis tous les mêmes avec toutes les lettres en majuscules.

Avec évidemment la distinction entre la fonction (qui renvoie des valeurs dans ]-Pi/2 ; Pi/2[) et puis l'autre, qui n'est pas une fonction, et concernent tous les "angles" ayant pour tangente l'argument de "l'arctan()".

Et bien entendu, certains utilisent la première lettre en minuscule pour la fonction et la première lettre en majuscule pour la "non fonction".

... alors que d'autres font exactement le contraire ou change de notation au coup par coup.

Et spécialement ici les symboles [tex]tan^{-1}()[/tex], [tex]Tan^{-1}()[/tex], [tex]TAN^{-1}()[/tex] dont on ne sait pas de manière évidente s'il s'agit de la fonction ou non mais qui peut aussi être confondu avec [tex]\frac{1}{tan()}[/tex] et ...

Cela ne faire guère sérieux pour une science dite "rigoureuse".

Une bonne standardisation ne ferait de mal à personne et contrairement à ce que des comiques prétendent, cela ne freinerait en rien le développement des mathématiques.

J'en reste vraiment là ...

Dernière modification par Black Jack (26-12-2018 09:27:30)

Michel Coste

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Re : L’existence d’une limite à droite et d’une limite à gauche en a

Bonjour,

Ces variations dans les notations (qui tendent d'ailleurs fortement à s'estomper) font couler de l'encre sur les forums, mais ne posent concrètement aucun problème à ceux et celles qui pratiquent réellement les mathématiques. Ces problèmes sont surtout soulevés par des personnes éloignées de la pratique mathématique, qui avaient dans le temps utilisés d'autres symboles ou conventions que ceux maintenant largement en usage, justement du fait de la plus grande unification actuelle : par exemple des gens qui s'étonnent que les anneaux soient toujours unitaires, les corps toujours commutatifs etc.
Il reste bien sûr des variations bien connues, comme les différences d'usage pour la notation des intervalles ouverts, la notation du produit vectoriel etc.
Mais, je le répète, ceci ne pose pas réellement de problème dans la pratique mathématique (et ici, je sais de quoi je parle, contrairement à d'autres).

Dattier

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Re : L’existence d’une limite à droite et d’une limite à gauche en a

Bonjour,

J'aimerais rappeler que si les matheux reçoivent salaire en échange de leurs activités, contrairement à certains matheux des temps ancien qui étaient de riche bourgeois oisif, qui meublaient leurs temps en faisant des maths, c'est que la société attend de ces travaux des retombés.

Les premiers à re-utiliser les outils livrés par les matheux, sont les physiciens et ingénieurs, et en tant qu'utilisateurs (comme eux le font aussi), ils ont droit d'avoir un outil standardisé et non propre à tel ou tel groupe de matheux.

Tout comme un utilisateur lambda d'une machine à laver n'a pas à savoir comment marche sa machine à laver (ou à connaître par coeur le mode d'emploie de 100 pages) pour pouvoir l'utiliser, et ceci à revoir pour l'achat de chaque nouvelle machine à laver, il a savoir que le bouton de mise en tension est le bouton "on" et qu'il y a plusieurs mode de lavages, disponibles à l'aide de tel curseur (point)

Bonne journée.

Dernière modification par Dattier (26-12-2018 12:34:55)