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Zebulor

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espace vectoriel

Bonjour,

dans un exercice je lis K désigne le corps R ou C. Dans le cadre d'un exercice où f est une application K[X] → K×K[X], P,→ f(P) = (P(0),P'),

peut on considérer K×K[X] comme un espace vectoriel ?

Dattier

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Re : espace vectoriel

Bonjour,

Oui : $\lambda.(a,P)+(c,Q)=(\lambda \times a+c,\lambda \times P+Q)$

Bonne journée.

Zebulor

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Re : espace vectoriel

re,

donc c'est simplement une question de combinaisons linéaires entre éléments de K x K(X).. ok merci

Comment en déduire que le K espace vectoriel K(X) n'est pas de dimension finie ? est ce c 'est du fait que deg(P') = deg (P) - 1 ?

Michel Coste

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Re : espace vectoriel

Bonjour,

1°) Fais attention à ce que tu écris : $K(X)$ ne désigne pas l'anneau des polynômes (mais le corps des fractions rationnelles). L'anneau des polynômes, c'est $K[X]$ avec des crochets.

2°) Déduire de quoi ?
Pour montrer que $K[X]$ n'est pas de dimension finie sur $K$, il suffit d'exhiber une famille libre infinie dans $K[X]$. Il y en a une bien connue, vois-tu laquelle ?

Zebulor

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Re : espace vectoriel

Bonjour, il s'agit bien de K[X] avec des crochets

afin d'etre plus clair voici l'exercice :

On définit une application f : K[X] →K×K[X], 

                                           P → f(P) = (P(0) ,P' ). bien lire  : P' et non P

1.1. Prouver que f est un isomorphisme d’espaces vectoriels.
1.2. En déduire que le K- espace vectoriel K[X] n’est pas de dimension finie.

Michel Coste

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Re : espace vectoriel

C'est effectivement plus clair quand tu donnes toutes les informations !

Question auxiliaire : si $E$ est un $K$-espace vectoriel de dimension finie $n$, quelle est la dimension de $K\times E$ ?  $E$ et $K\times E$ peuvent-ils alors être isomorphes ?

Dernière modification par Michel Coste (21-12-2018 16:08:44)

Zebulor

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Re : espace vectoriel

Oula. Je vais continuer mes révisions . 25 ans sans faire d'algébre et on oublie plein de choses.

Les espaces vectoriels sont plus spacieux que je me l'imaginais. Merci en tout cas.