Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Zebulor

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somme de sous espaces

Bonsoir,

voici un autre exercice, probablement très simple pour les quelques chevronnés  :

Soient E un K-espace vectoriel et f ∈L(E) vérifiant : f2 −3f + 2 Id = 0.  (f2 désigne f rond f)

1. Montrer que f est un automorphisme de E et exprimer son inverse f^(-1) en fonction de f.

2. Etablir : E = ker(f − Id )⊕ker(f −2 Id ).

Pour la question 1 je trouve f^(-1) (inverse de f) = -1/2 f + 3/2 Id. Ker f est réduit à 0, d'où la bijectivité de f ..

Pour la question 2 . L'intersection des 2 Ker est réduit au noyau. Ok

Ensuite il reste à montrer que E = ker(f − Id )+ker(f −2 Id ). J'ai considéré x quelconque dans E. On cherche a et b tels que a est un élément de Ker (f-Id) et b un élément de Ker(f-2Id)

On a donc f(a)=a et f(b)=2b. Ensuite je ne sais pas comment faire. On vérifie que f(x)=f(a)+f(b) vérifie bien l'equation  f2 −3f + 2 Id = 0.

Mais est cette vérification prouve que E = ker(f − Id )+ker(f −2 Id ) ?

Merci

Fred

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Re : somme de sous espaces

Bonjour,

  Je n'ai pas compris ce que tu voulais faire....
Il y a deux solutions pour répondre à cet exercice :
* ou bien tu connais le théorème de décomposition des noyaux, et c'est trivial!
* ou bien tu ne le connais pas (ce que je suppose) et dans ce cas, il faut le faire à la main.
Tu peux commencer par écrire que $Id=(f-2Id)-(f-Id)$.
Ainsi, n'importe quel vecteur $x$ s'écrit $x=(f(x)-2x)-(f(x)-x)$. Pose $a=f(x)-2x$ et $b=-(f(x)-x)$. A toi de jouer pour vérifier que $a\in \ker(f-Id)$ et que $b\in \ker(f-2Id)$... en utilisant l'équation vérifiée par $f$ bien sûr.

F.

Zebulor

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Re : somme de sous espaces

bonjour Fred,

ce que je voulais faire ? montrer que E = ker(f − Id )+ker(f −2 Id ). Mais c'est chose faite, je comprends mieux.

Merci et bonne soirée