demonstration dans un groupe [Résolu]

Gros Caramel · 03-10-2007 18:00:18

Bonjour,

Je bloque sur une demonstration qui pourtant devrait etre simple ... en tout cas j'en ai réussie des plus difficiles ... mais pour une raison que j'ignore, je bloque sur celle-la :

Soit un groupe G

démontrer que si a^-1 b a = c, alors a^-1 b^-1 a = c^-1

des idées?? (attention, ce groupe n'est *pas* abelien, donc pas de commutativité)

merci,
GC

FleuVe · 03-10-2007 18:13:40

Il n'est pas d'ordre 2 ton groupe?

Gros Caramel · 03-10-2007 18:19:49

Ordre 3. Voici une definition plus formelle :

Soit G, un groupe non-abélien tel que G={a,b,c}. Démontrer que

a^-1 b a = c, alors a^-1 b^-1 a = c^-1

Gros Caramel · 03-10-2007 18:30:20

En fait ... j'ai une solution ... mais elle est lourde car elle demande d'abord de démontrer que b=c

a^-1 b a = c
== b^-1 a^-1 b a = b^-1 c
== (ba)^-1 (ba) = b^-1 c
== (ba)^0 = b^-1 c
== e = b^-1 c
== c = b

De cette équivalence, on peut prouver la conclusion ... mais ca donne l'impression de passer par Tokyo pour aller à Paris

GC

yoshi · 03-10-2007 18:42:38

Bonjour,

Mes souvenirs sur la structure de groupe remontent à... un peu plus qu'avant-hier ;-)
Ici, je présume que (G,x) est un groupe ; que x est associative q'il y a un élément neutre pour x et que tout élément (autre que zéro) possède un inverse...
C'est bien ça ?

Je crois que j'ai trouvé..
Qu'est ce que tu obtiens si tu multplies :
[tex]a^{-1}ba\;\text{ par }\;a^{-1}b^{-1}a[/tex] ?

@+

Gros Caramel · 03-10-2007 19:03:56

yoshi a écrit :

Ici, je présume que (G,x) est un groupe ; que x est associative q'il y a un élément neutre pour x et que tout élément (autre que zéro) possède un inverse...
C'est bien ça ?

oui

Je crois que j'ai trouvé..
Qu'est ce que tu obtiens si tu multplies :
[tex]a^{-1}ba\;\text{ par }\;a^{-1}b^{-1}a[/tex] ?

on obtient e (élément neutre)

Dernière modification par Gros Caramel (03-10-2007 19:05:20)

yoshi · 03-10-2007 19:07:58

Re-bonsoir,

C'est bien ce que je voulais te faire dire..

Donc ça revient à devoir répondre à la question ; c * ? = e.... S'pas ?
Donc ?

@+

Gros Caramel · 03-10-2007 19:12:19

yoshi a écrit :

Re-bonsoir,
C'est bien ce que je voulais te faire dire..
Donc ça revient à devoir répondre à la question ; c * ? = e.... S'pas ?
Donc ?
@+

Oui effectivement ... une question cependant ... de quel "droit" peut-on ici utiliser la multiplication (qui n'est pas nécessairement défini dans le groupe G)

FleuVe · 03-10-2007 19:16:30

Gros Caramel a écrit :

En fait ... j'ai une solution ... mais elle est lourde car elle demande d'abord de démontrer que b=c
a^-1 b a = c
== b^-1 a^-1 b a = b^-1 c
== (ba)^-1 (ba) = b^-1 c
== (ba)^0 = b^-1 c
== e = b^-1 c
== c = b
De cette équivalence, on peut prouver la conclusion ... mais ca donne l'impression de passer par Tokyo pour aller à Paris
GC

b^-1*a^-1 =/ de (b*a)^-1 ( b^-1*a^-1 = (a*b)^-1 )
Donc à partir de là ...

Il faut utiliser que l'ordre est 3 ie a*a*a = e

yoshi · 03-10-2007 19:18:31

Re,

Je croyais que tu avais confirmé que (G,x) est un groupe ?

Tu as écrit :

de quel "droit" peut-on ici utiliser la multiplication...

Si je n'ai pas compris le sens de ton interrogation, peux-tu préciser le "ici" notamment...
Dans ta démonstration "en passant par Tokyo", n'utilises-tu pas la multiplication aussi ?

A te lire

Gros Caramel · 03-10-2007 19:27:46

yoshi a écrit :

Re,
Je croyais que tu avais confirmé que (G,x) est un groupe ?
Tu as écrit :
de quel "droit" peut-on ici utiliser la multiplication...
Si je n'ai pas compris le sens de ton interrogation, peux-tu préciser le "ici" notamment...
Dans ta démonstration "en passant par Tokyo", n'utilises-tu pas la multiplication aussi ?
A te lire

Oui effectivement, (G,x) est un groupe ... mais cela ne veut pas dire que x = la "multiplication". Ma compréhension (peut-être erronnée) est que (G,x) signifie que la loi de composition x du groupe G est associative et supporte un élément neutre et un inverse.

Quand j'écris a x b, j'applique cette loi aux éléments a et b de G.

Si je fais abc x abc = a^2b^2c^2 je "distribue" a sur a, b sur b et c sur c. A strictement parler, abc x abc = a x b x c x a x b x c ... pour écrire abc x abc = a^2b^2c^2, il faudrait que la loi x supporte la commutativité.

Enfin, il me semble ;)

FleuVe · 03-10-2007 19:35:55

ton truc ca marche si c'est d'ordre 2 ie commutatif, mais d'ordre 3 j'arrive pas :blonde:

yoshi · 03-10-2007 19:43:44

Re,

J'avais pensé ainsi :
[tex](a^{-1}ba)(a^{-1}b^{-1}a)=e[/tex]
Or :
[tex]a^{-1}ba = c[/tex]
Donc :
[tex]c(a^{-1}b^{-1}a)=e[/tex]

Qu'est-ce qui cloche là-dedans ?

Je ne suis pas d'accord sur le terme de distributivité. Je ne connais pas d'opération distributive sur elle-même (j'ai bien conscience de ne pas tout savoir).
La distributivité met en jeu deux opérations. Pour moi, ici, tu utilises l'associativité de l'opération x ou * ou ...
Si tu récuses que x soit la multiplication, alors comment est définie la "puissance" en général, la puissance (-1) en particulier... Juste comme une notation pratique désignant l'inverse sans référence à la division, alors... Ca fait beaucoup de non-dits dans l'énoncé...

Maintenant, je pense que même si effectivement x n'a pas de rapport avec la multiplication telle qu'on la connaît, ça n'infirme en rien ce que j'ai fait... J'ai utilisé l'associativité de x ou * (ou tout autre symbole), le fait que a a^-1 = e, et que e est élément neutre...
D'ailleurs récuser la x, c'est aussi récuser l'écriture a^0 car le zéro est élément neutre de l'addition, qui n'est pas plus définie...

Non ?

@+

FleuVe · 03-10-2007 19:45:52

C'est lassociativité et non distributivité

asso: (a*b)*c=a*(b*c)
distri: a*(b+c)=a*b+a*c

Gros Caramel · 03-10-2007 19:58:29

yoshi a écrit :

Re,
J'avais pensé ainsi :
[tex](a^{-1}ba)(a^{-1}b^{-1}a)=e[/tex]
Or :
[tex]a^{-1}ba = c[/tex]
Donc :
[tex]c(a^{-1}b^{-1}a)=e[/tex]
Qu'est-ce qui cloche là-dedans ?
Je ne suis pas d'accord sur le terme de distributivité. Je ne connais pas d'opération distributive sur elle-même (j'ai bien conscience de ne pas tout savoir).
La distributivité met en jeu deux opérations. Pour moi, ici, tu utilises l'associativité de l'opération x ou * ou ...
Si tu récuses que x soit la multiplication, alors comment est définie la "puissance" en général, la puissance (-1) en particulier... Juste comme une notation pratique désignant l'inverse sans référence à la division, alors... Ca fait beaucoup de non-dits dans l'énoncé...
Maintenant, je pense que même si effectivement x n'a pas de rapport avec la multiplication telle qu'on la connaît, ça n'infirme en rien ce que j'ai fait... J'ai utilisé l'associativité de x ou * (ou tout autre symbole), le fait que a a^-1 = e, et que e est élément neutre...
D'ailleurs récuser la x, c'est aussi récuser l'écriture a^0 car le zéro est élément neutre de l'addition, qui n'est pas plus définie...
Non ?
@+

Resalut Yoshi ... voici mon point de vue.

Prenons ~ comme opérateur pour ne pas créer de confusion. On a donc un groupe (G,~) et a,b,c E G

On réécrit donc l'expression a^-1ba
par a^-1~b~a
et
l'expression a^-1b^-1a
par a^-1~b^-1~a

Soit (a^-1~b~a)(a^-1~b^-1~a)

A mon (humble) avis, cette opération veut dire :

(a^-1~b~a)~(a^-1~b^-1~a)
ou (par associativité)
a^-1~b~a~a^-1~b^-1~a

Maintenant si on écrit

(a^-1~b~a)(a^-1~b^-1~a) = a^-2~b^0~a^2

C'est comme si on avait appliqué un principe de commutativité sur

a^-1~b~a~a^-1~b^-1~a

en "réorganisant" les termes comme suit :

a^-1~a~a~a^-1~b~b^-1

Or dans un groupe, si on a

a~b~c~a

On ne peut réécrire

a~a~b~c

Puisque c'est faire de la commutativité. Enfin c'est ma compréhension ...

FleuVe · 03-10-2007 20:03:49

Je viens de lire mieu: G n'est composé que de 3 élément?? ou a,b,c € au Groupe G?

Gros Caramel · 03-10-2007 20:06:33

FleuVe a écrit :

Je viens de lire mieu: G n'est composé que de 3 élément?? ou a,b,c € au Groupe G?

exactement

FleuVe · 03-10-2007 20:13:27

Donc en fait dans ces trois éléments il y a e, a, et son inverse, il n'y a que avec ce choix ou tu peux esperer avoir une structure de groupe.

Donc tu peux dire

a*c=c*a=b
b*a=a*b=a
b*c=c*b=c

donc en fait ton groupe est commutatif.

Et la ca doit marcher.

Du moins c'est ce que je pense.

Je vous laisse bonne soirée.

Bon courage.

FleuVe · 03-10-2007 20:14:54

Je precise: j'ai choisi b élé neutre a=c^-1

yoshi · 03-10-2007 20:17:12

Re,

Bon, je vais re-préciser ma pensée avec ta notation pour être sur la même longueur d'onde...

(a^{-1}~b~a)~(a^{-1}~b^{-1}~a)= a^{-1}~b~(a~a^{-1})~b^{-1}~a)
D'où
(a^{-1}~b~a)~(a^{-1}~b^{-1}~a)= a^{-1}~b~e~b^{-1}~a)
Et :
(a^{-1}~b~a)~(a^{-1}~b^{-1}~a)= a^{-1}~(b~e)~b^{-1}~a
Encore :
(a^{-1}~b~a)~(a^{-1}~b^{-1}~a)= a^{-1}~b~b^{-1}~a
Soit :
(a^{-1}~b~a)~(a^{-1}~b^{-1}~a)= a^{-1}~(b~b^{-1})~a
Ou encore :
(a^{-1}~b~a)~(a^{-1}~b^{-1}~a)= a^{-1}~e~a
On arrive au bout :
(a^{-1}~b~a)~(a^{-1}~b^{-1}~a)= (a^{-1}~e)~a
Et enfin :
(a^{-1}~b~a)~(a^{-1}~b^{-1}~a)= a^{-1}~a = e

Ai-je utilisé autre chose que l'associativité ? Je ne crois pas...

Ensuite :
c~(a^{-1}~b^{-1}~a)= e
D'où
a^{-1}~b^{-1}~a)= c^{-1}
Qu'est-ce qui te gêne cette fois ? Pas de puissance 2, pas de référence à une quelconque multiplication, pas de commutativité...
Je n'ai fait que poser et déplacer des parenthèses --> Associativité !

Sur ce,

Bonsoir et à demain...

PS

Je viens de voir que G = {a,b,c}, donc pour étayer ma démonstration je commence par dire soit e, élément neutre, tel que appartient à G...
Que e soit a, b ou c n'invalide pas ce que j'ai écrit..., mais je chercherai mieux demain.
D'ici là, quelqu'un nous aura bien mis d'accord...

Gros Caramel · 03-10-2007 20:20:54

yoshi a écrit :

Re,
Bon, je vais re-préciser ma pensée avec ta notation pour être sur la même longueur d'onde...
(a^{-1}~b~a)~(a^{-1}~b^{-1}~a)= a^{-1}~b~(a~a^{-1})~b^{-1}~a)
D'où
(a^{-1}~b~a)~(a^{-1}~b^{-1}~a)= a^{-1}~b~e~b^{-1}~a)
Et :
(a^{-1}~b~a)~(a^{-1}~b^{-1}~a)= a^{-1}~(b~e)~b^{-1}~a
Encore :
(a^{-1}~b~a)~(a^{-1}~b^{-1}~a)= a^{-1}~b~b^{-1}~a
Soit :
(a^{-1}~b~a)~(a^{-1}~b^{-1}~a)= a^{-1}~(b~b^{-1})~a
Ou encore :
(a^{-1}~b~a)~(a^{-1}~b^{-1}~a)= a^{-1}~e~a
On arrive au bout :
(a^{-1}~b~a)~(a^{-1}~b^{-1}~a)= (a^{-1}~e)~a
Et enfin :
(a^{-1}~b~a)~(a^{-1}~b^{-1}~a)= a^{-1}~a = e
Ai-je utilisé autre chose que l'associativité ? Je ne crois pas...
Ensuite :
c~(a^{-1}~b^{-1}~a)= e
D'où
a^{-1}~b^{-1}~a)= c^{-1}
Qu'est-ce qui te gêne cette fois ? Pas de puissance 2, pas de référence à une quelconque multiplication, pas de commutativité...
Je n'ai fait que poser et déplacer des parenthèses --> Associativité !
Sur ce,
Bonsoir et à demain...

Effectivement, merci

FleuVe · 04-10-2007 13:51:06

Excellente ta soluce yoshi mais en fait on utilise pas que G n'est composé que de 3 éléments, c'est bizarre comme exo !

yoshi · 04-10-2007 14:57:27

Bonjour,

FleuVe a écrit :

, c'est bizarre comme exo !

D'autant plus bizarre que, venant de me livrer à quelques essais, je tombe sur quelque chose de... renversant.
Si G={a,b,c} et que l'élément neutre est l'un deux, alors
- si a est l'élément neutre, a^-1 = a neutre aussi, d'où b = c, et G ne contient que deux éléments distincts,
- Si b est l'élément neutre alors a^-1~b~a = a~-1~a = b (élément neutre) = c. On a donc b = c = neutre. Mais dans ce cas a est son propre symétrique et a = e aussi !!! G={e]
- Si c est l'élément neutre, je l'appelle e pour que ce soit plus clair. Alors a^-1~b~a = e et donc a~(a^-1~b~a) = a~e = a.
D'où par associativité b~a = a et b = e. On a donc 2 éléments a et e et donc a est son propre symétrique : il est neutre aussi. G={e}

Qu'est-ce que c'est que cette histoire de fous ? Où fais-je une erreur de raisonnement ? S'il n'y en a pas, alors l'énoncé donné est incorrect...

Ma raison vacille ! Qui veut pointer du doigt mon erreur ?

@+

pin-pon · 04-10-2007 15:54:11

Bonjour.

Je me perd dans tout ce fil.

La réponse au problème initial a peut-être été déjà donné.

Mais je donne quand même la mienne :

comme : [tex]a^{-1} b a = c[/tex]
Alors : [tex] (a^{-1} b a)^{-1} = c^{-1}[/tex]

Et il se trouve que si le groupe n'est pas forcement commutatif :
[tex] (a^{-1} b a)^{-1} = a^{-1} b^{-1} (a^{-1})^{-1} = a^{-1} b^{-1} c[/tex]
Ce qui se vérifie facilement (en multipliant les deux inverses).
d'une manière général : [tex] (ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}[/tex]

Sinon Yoshi : c'est simplement la preuve qu'un tel groupe ne peut pas être d'ordre 3 il me semble.

Dernière modification par pin-pon (04-10-2007 15:56:11)

yoshi · 04-10-2007 16:54:25

Bonsoir,

Merci pin-pon, ta conclusion me rassure...
J'avais envisagé ta méthode et puis je n'ai pas donné suite à cause de [tex](a^{-1}b)^{-1}[/tex] qui est une forme de distributivité de la "puissance" sur la loi de composition interne... ce qui nous introduit une 2e opération, qui si elle est distributive sur la première, permet d'aboutir à un corps (si mes vieux souvenirs sont valables).
Or l'exercice spécifiait un groupe, point, non abélien de surcroît. Tu sembles avoir contourné le problème, même si la notation a^-1 est celle de la du symétrique de a pour la loi en question...

Bon, outre que oui je pense que ce que j'ai écrit prouve bien que ce genre de groupe n'existe pas, ou que la relation de départ ne peut pas être vérifiée. En effet, l'énoncé stipule seulement : si.... alors....
Et bien même avec mes conclusions ça reste vrai dans chaque cas.

Ouf ! Je garde ma tête..

Merci encore

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 03-10-2007 18:00:18

demonstration dans un groupe [Résolu]

#2 03-10-2007 18:13:40

Re : demonstration dans un groupe [Résolu]

#3 03-10-2007 18:19:49

Re : demonstration dans un groupe [Résolu]

#4 03-10-2007 18:30:20

Re : demonstration dans un groupe [Résolu]

#5 03-10-2007 18:42:38

Re : demonstration dans un groupe [Résolu]

#6 03-10-2007 19:03:56

Re : demonstration dans un groupe [Résolu]

#7 03-10-2007 19:07:58

Re : demonstration dans un groupe [Résolu]

#8 03-10-2007 19:12:19

Re : demonstration dans un groupe [Résolu]

#9 03-10-2007 19:16:30

Re : demonstration dans un groupe [Résolu]

#10 03-10-2007 19:18:31

Re : demonstration dans un groupe [Résolu]

#11 03-10-2007 19:27:46

Re : demonstration dans un groupe [Résolu]

#12 03-10-2007 19:35:55

Re : demonstration dans un groupe [Résolu]

#13 03-10-2007 19:43:44

Re : demonstration dans un groupe [Résolu]

#14 03-10-2007 19:45:52

Re : demonstration dans un groupe [Résolu]

#15 03-10-2007 19:58:29

Re : demonstration dans un groupe [Résolu]

#16 03-10-2007 20:03:49

Re : demonstration dans un groupe [Résolu]

#17 03-10-2007 20:06:33

Re : demonstration dans un groupe [Résolu]

#18 03-10-2007 20:13:27

Re : demonstration dans un groupe [Résolu]

#19 03-10-2007 20:14:54

Re : demonstration dans un groupe [Résolu]

#20 03-10-2007 20:17:12

Re : demonstration dans un groupe [Résolu]

#21 03-10-2007 20:20:54

Re : demonstration dans un groupe [Résolu]

#22 04-10-2007 13:51:06

Re : demonstration dans un groupe [Résolu]

#23 04-10-2007 14:57:27

Re : demonstration dans un groupe [Résolu]

#24 04-10-2007 15:54:11

Re : demonstration dans un groupe [Résolu]

#25 04-10-2007 16:54:25

Re : demonstration dans un groupe [Résolu]

Pied de page des forums